關(guān)于一道幾何綜合題的深度探究

于敏香

【摘要】幾何綜合探究有助于全面提升學(xué)生的能力，教學(xué)中有必要選取具有代表性的問題開展解題引導(dǎo)，問題的選取建議圍繞基本知識定理進(jìn)行考點串聯(lián)，實現(xiàn)幾何要素點、線、面的綜合.本文以一道考題為例進(jìn)行深入探究.

【關(guān)鍵詞】幾何綜合;面積比值;一題多解

1 問題呈現(xiàn)

問題 在ABCD中，已知∠BAD=α，∠ADC的角平分線為DE，與對角線AC的交點為點G，與射線AB的交點為點E，現(xiàn)將線段EB繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)α2，可得線段EP.

（1）如圖1所示，當(dāng)α=120°時，連接AP，請直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系;

圖1 圖2

（2）如圖2所示，當(dāng)α=90°時，過點B作BF⊥EP于點F，試分析線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）當(dāng)α=120°時，連接AP，如果BE=12AB，請直接寫出△APE和△CDG面積的比值.

2 問題解析

本題目為幾何綜合題，以旋轉(zhuǎn)為背景，融合了平行四邊形、三角形等基本圖形.問題共分三問，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，求解三角形的面積比值.所涉三問采用關(guān)聯(lián)設(shè)問的形式，設(shè)∠BAD=α，設(shè)定α為不同值，分別構(gòu)造不同圖形來探究，下面逐問分析.

2.1 把握旋轉(zhuǎn)特性，代換推線段關(guān)系

第（1）問設(shè)定α=120°，并連接AP，探究AP與AC的數(shù)量關(guān)系，直觀感知可知兩者相等.可推知∠B=60°，可連接PC，探索圖中的等腰或等邊三角形，逐步證明，過程如下.

由于ABCD為平行四邊形，則AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=120°，可推知∠B=∠ADC=60°，則∠BEP=60°.由旋轉(zhuǎn)知識可知EP=EB，連接PB，PC，AQ，EQ，如圖3所示.則△BPC為等邊三角形，所以BP=EP，通過等角代換可得∠AEP=∠CBP.

又知DE為∠ADC的角平分線，則∠ADE=∠CDE=30°，所以∠AED=∠CDE=30°=∠ADE，可得AD=AE=BC，進(jìn)而可證△APE≌△CPB（SAS），由全等性質(zhì)可得AP=CP，∠CPB=∠APE.等角代換可得∠APC=∠BPE=60°，則△APC為等邊三角形，故AP=AC.

2.2 關(guān)注特殊圖形，巧破三邊關(guān)系

第（2）問設(shè)定α=90°，則四邊形ABCD為矩形，通過連線構(gòu)建了圖2，探究AF，AB，AD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.其中△FEB為等腰直角三角形，后續(xù)探索可以關(guān)注其中的特殊圖形，由對應(yīng)定理推導(dǎo)三邊關(guān)系，具體如下.

連接CF，如圖4所示，α=90°，則四邊形ABCD為矩形.已知DE為∠ADC的角平分線，分析可得AD=AE=BC.

已知BF⊥EP，則∠BFE=90°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)知識可知△FEB為等腰直角三角形.由等角代換可得∠CBF=∠AEF，可證△BCF≌△EAF（SAS），由全等性質(zhì)可得CF=AF，∠CFB=∠AFE.進(jìn)一步可求得∠ACF=∠CAF=45°，所以△ACF為等腰直角三角形，則AC=2AF.在Rt△ABC中使用勾股定理，可得AC2=AB2+BC2，綜合可得AB2+BC2=2AF2.

2.3 分類構(gòu)建模型，分析面積比值

第（3）問是在（1）問基礎(chǔ)上的進(jìn)一步構(gòu)建，設(shè)定BE=12AB，此時點E的位置有兩種情形：一是點E在線段AB上，此時點E為AB的中點;二是點E在線段AB的延長線上.后續(xù)探究需要關(guān)注點E的位置，采用分別討論的策略加以突破，下面具體探究.

結(jié)合（1）問可知BC=AD=AE=AB-BE，結(jié)合條件可得AB=CD=2BE.

情形1 當(dāng)點E在線段AB上時，如圖5所示，結(jié)合旋轉(zhuǎn)條件可得PE=BE=AE=AD，且∠AEP=∠BAD=120°，有PE∥AD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.設(shè)ABCD的面積為S，則S△ACD=12S，S△APE=S△ADE=14S.

因為AB∥CD，可證△AEG∽△CDG，由相似性質(zhì)可得AGCG=AECD=12，可推知CGAC=23，所以S△CDG=S△ACD=13S，進(jìn)而可得S△APES△CDG=14S13S=34.

情形2 當(dāng)點E在線段AB的延長線上時，作輔助線：延長EP交DC的延長線于點F，連接AF，如圖6所示.

因為BE=12AB，則BE=13AE.在ABCD中，已知∠BAD=α=120°，則∠ABC=60°，BC∥AD，AB∥CD，所以∠AED=∠CDE，結(jié)合角平分線特性可推知AD=AE.由旋轉(zhuǎn)知識可得PE=BE，∠PEB=α2=60°，∠ABC=∠PEB，可推知EF∥BC，即EF∥BC∥AD，所以四邊形BEFC和四邊形AEFD均為平行四邊形，可得AD=EF，AE=EF，則有PE=13EF.

設(shè)四邊形AEFD的面積為S，則S△AEF=S△AED=12S，則S△APE=13S△AEF=16S.由情形一可知△AEG∽△CDG，所以AGCG=EGDG=AECD.又因AECD=3BG2BE=32，所以AGCG=EGDG=32，從而可推知S△AEG=35S△AED=310S，則有S△CDG=49S△AEG=215S，進(jìn)而可得S△APES△CDG=16S215S=54.

綜上可知，△APE和△CDG面積的比值為34或54.

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