關于反比例函數的三大特性探究

劉偉俠

【摘要】反比例函數是初中重要的函數，中考常以反比例函數為基礎進行綜合考查.往往該類問題綜合性強，條件信息隱蔽，解析時需要充分把握反比例函數及其圖象的特性，利用函數的圖象特性來轉化條件.本文具體探究反比例函數的特性.

【關鍵詞】反比例函數;中考數學;對稱性

特性1 坐標特點

反比例函數的圖象為平滑的曲線，曲線上的點均滿足函數的解析式y=kx（k為常數，且k≠0），對其變形則可得xy=k，對于該值可以理解為任意一點的橫坐標和縱坐標的乘積為定值.在求解時可利用圖象上坐標的特點，利用xy=k來構造方程推導點坐標.

例1 如圖1所示，四邊形OABC為矩形，而四邊形ADEF為正方形，點A和D均在坐標x軸的正半軸上，點C在坐標y軸的正半軸上.點F在線段AB上，點E和C均在反比例函數y=kx的圖象上.已知OA=1，OC=6，則正方形ADEF的邊長為 .

解析 解析時需要充分數形結合，已知OA的長，求正方形ADEF的邊長，即AD的長，可表示為AD=OD-OA=xD-OA，而點D和E的橫坐標相等，即xD=xE，故解析的關鍵是確定點E的橫坐標.

根據條件可知點B的坐標為（1，6），設正方形ADEF的邊長為m，則AD=DE=m，OD=1+m，則點E的坐標可以表示為（1+m，m）.又知點E和A均位于反比例反比例函數圖象上，故其坐標滿足（1+m）·m= xA·yA=6，點E在第一象限，可解得m=2，即點E（2，1），所以正方形ADEF的邊長為2.

評析 本題目推導點坐標時充分利用反比例函數圖象上點的坐標特點，即由xy=k來構造方程，通過解方程則可以簡潔的獲得結果.

特性2 函數圖象中的面積關系

反比例函數圖象存在特殊的面積關系，也就是函數k的幾何意義：如圖2所示的函數圖象中，有S△AOC=k2，S矩形ABOC=k.

對于該特性的證明可以結合面積公式，即S△AOC= OB·OC2=xA·yA2=k2，而四邊形ABOC為矩形，對角線AO平分面積，則S矩形ABOC=2 S△AOC=k.

求解k值

例2 如圖3所示，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點B和D均在雙曲線y=kx（x>0）的圖象上.如果圖中陰影三角形△OBP的面積為4，則k值為 .

解析本題目給出陰影三角形的面積，求數值k，顯然是考查反比例函數系數k的幾何意義，需要轉化陰影部分的面積.

已知△AOB和△ACD均為正三角形，則∠AOB=∠CAD=60°，則AD∥BD，則點P和A到直線OB的距離相等，可推知△OBP與△OBA的面積相等，即S△OBP=S△OBA=4.

過點B作x軸的垂線，設垂足為點E，如圖4所示，則S△OBE=S△BAE=12S△OBA=2.由于點B和D均在雙曲線y=kx（x>0）的圖象上.由反比例函數系數k的幾何意義可知S△OBE=S△BAE= k2=2，所以k的值為4.

評析 上述例題主要考查反比例函數系數k的幾何意義，需要理解圖象上任意一點作坐標軸的垂線，垂足、原點O和該點所形成的三角形的面積均為k2.另外求重疊圖形的面積，要善于利用面積割補法.

特性3 圖象的對稱性

反比例函數的圖象實際上是對稱圖形，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.對稱軸是直線y=±x，關于直線對稱的兩點坐標值可互換.即點A（4，3）關于y=x對稱的點為（3，4）.而關于中心對稱的兩點，坐標值的符號會發生互換，即互為相反數.因此對于設定反比例函數上的對稱關系點，可直接根據該對稱特性求出.

軸對稱

例3 如圖5所示，△ABC為等腰直角三角形，其頂點A和C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函數y=3x（x>0）的圖象與AB和BC相交于點D和E，連接DE.當△BDE∽△BCA時，則點E的坐標為 .

解析 上述題目依托反比例函數構建直線了相似三角形，求點E的坐標需要充分利用反比例函數的圖象特性.

在圖象中作直線y=x，與DE相交點設為P，易得∠POC=45°，∠BAC=90°，可推得OP∥AB.已知△BDE∽△BCA，分析可知AB⊥DE，所以OP⊥DE.直線y=x是函數y=3x（x>0）圖象的對稱軸，則點D和E是一組對稱點，設點E（a，3a）（a>0），由反比例函數對稱點特性可得點D（3a，a）.過點D分別作BC和x軸的垂線，設垂足分別為F和G，如圖6所示，則DG=FC=a，EC=3a，EF=CF-CE=a-3a，BF=2EF=2（a-3a）.

分析圖象可知BE+EC=BC，所以有2a-3a+3a=22，可解得a=322，所以點E的坐標為（322，2）.

評析 上述兩道例題在求解時分別利用了反比例函數的中心對稱和軸對稱特性，利用特性直接推導對稱點坐標，極大的減低了解題難度.實際上點坐標關聯特點是表象，點到對稱中心或對稱軸的距離相等才是對稱的本質所在.

總之，探究總結反比例函數的特性有著現實的意義，不僅有助于深化理解函數知識，還可以有效拓展解題思維.特性探究中要把握圖象特點，進行線段、點、面積之間的轉化，總結探索，嚴謹論證，基于模型形成結論.