含有參數的一元二次不等式恒成立問題

張小華

【摘要】含有參數的一元二次不等式恒成立問題是高中數學的一類重點問題，這類題型經常與函數、方程，圖象等相關知識綜合.在此，我結合以下實例，談談解決含有參數的一元二次不等式恒成立問題的幾種方法.

【關鍵詞】子集法;值域法;降次法

含有參數的一元二次不等式的恒成立問題把“三個二次”有機地結合起來，在解決這類問題的過程中，我們經常會讓一元二次函數，一元二次方程，一元二次不等式相互轉化，轉化過程中又要涉及到一元二次函數圖象，一次函數圖象，二元二次方程的圖象等問題.本文就探討這類問題的幾種求解方法.

1 二次函數圖象法

含有參數的一元二次不等式在R上的恒成立問題，可以轉化為一元二次函數圖象與橫軸沒有交點的問題來求解.這個方法我們可稱之為二次函數圖象法.

（1）ax2+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要條件是a>0，Δ=b2-4ac<0.

（1）ax2+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要條件是a<0，Δ=b2-4ac<0.

例1 若不等式（a-3）x2+2（a-3）x-5<0對一切x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 當a-3=0即a=3時，不等式為-5<0對一切x∈R恒成立.

當a≠3時，y=（a-3）x2+2（a-3）x-5的圖象開口向下，且與x軸沒有交點

則a-3<0Δ=4（a-3）2+20（a-3）<0

即a<3-2

所以 實數a的取值范圍是（-2，3]

現在我們利用二次函數圖象來解決一個不等式在實數集上的恒成立問題

對于任意實數x，不等式mx2+mx+1>0恒成立，求實數m的取值范圍

解析 當m=0時，不等式為1>0對一切x∈R恒成立.

當m≠0時，y=mx2+mx+1的圖象開口向上，且與x軸沒有交點

由m>0Δ=m2-4m<0，解得0

綜上，m的取值范圍是[0，4）

2 分類討論求二次函數最值

一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題，由于含有參數，不等式對應的二次函數圖象的對稱軸往往不固定，這個時候我們可以分類討論，利用函數最值求參數的取值范圍.

其一般類型是f（x）=ax2+bx+c（a>0）

f（x）≥m（m為具體實數）恒成立f（x）min≥m

例2 g（x）=x2+2ax+12，當x∈[-2，3]時，g（x）≥a恒成立，求實數a的取值范

解析 對于任意x∈[-2，3]，g（x）≥a恒成立.

即x2+2ax+12-a≥0對任意x∈[-2，3]恒成立，

令f（x）=x2+2ax+12-a.f（x）圖象的對稱軸是x=-a

則問題轉化為當x∈[-2，3]，f（x）min≥0

則有①-a≤-2f（x）min=f（-2）=16-5a≥0

或②-2<-a<3f（x）min=f（-a）=-a2-a+12≥0

或③-a≥3f（x）min=f（3）=5a+21≥0

解①得2≤a≤165

解② 得-3

解③ 得-215≤a≤-3

綜上可知，實數a的取值范圍是[-215，165]

現在我們用分類討論求二次函數最值的方法來解決一個給定區間上的恒成立問題

若x∈[-3，2]時，不等式x2+ax+8≥a恒成立，求參數a的取值范圍

解析 令f（x）=x2+ax+8-a， f（x）圖象的對稱軸是x=-a2

則問題轉化為當x∈[-3，2]時，f（x）min≥0

則有

①-a2≤-3f（x）min=f（-3）=17-4a≥0

或②

-3<-a2<2f（x）min=f（-a2）=-a24-a+8≥0

或③

-a2≥2f（x）min=f（2）=a+12≥0

解① 得a不存在

解② 得-4

解③ 得-12≤a≤-4

綜上可知，實數a的取值范圍是[-12，4]

3 子集法

f（x）=ax2+bx+c（a>0），若f（x）<0在給定區間（m，n）上恒成立，則區間（m，n）是不等式 f（x）<0的解集的子集，則有f（m）<0f（n）<0，這個方法我們可稱之為子集法.

例3 若對任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a為常數），求實數a的取值范圍.

解析 令f（x）=x2-3x+a，則由題意得，

f（-2）=（-2）2-3×（-2）+a≤0f（6）=62-3×6+a≤0，

解得a≤-18

現在我們用子集法來解決一個給定區間上的恒成立問題

已知函數f（x）=x2-3ax-2+a，a∈R.對于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a恒成立，試求實數a的取值范圍.

解析 因為f（x）-a=x2-3ax-2，則x∈[0，2]，f（x）≤a成立，

只要x2-3ax-2≤0在[0，2]上恒成立

令g（x）=x2-3ax-2，則只要g（x）≤0在[0，2]上恒成立即可.

所以g（0）≤0，g（2）≤0，即0-0-2≤0，4-6a-2≤0，

解得a≥13.

則實數a的取值范圍是[13，+∞）.

4 值域法

所給的不等式能通過恒等變形使參數與不含參數的二次函數分離于不等式兩端，問題轉化為求二次函數的值域，然后求出參數范圍，這個方法可稱之為值域法.

一般地有：①a>f（x）（a為參數）恒成立a>f（x）max

② a

例4 已知函數f（x）=lg（x+ax-3），若對任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0，試確定實數a的取值范圍.

解析 f（x）>0即f（x）=lg（x+ax-3）>lg1，則x+ax-3>1，

對任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0可等價轉化為x+ax-3>1在x∈[3，+∞）上恒成立，

即 a>-x2+4x在x∈[3，+∞）上恒成立，

設g（x）=-x2+4x，則g（x）=-（x-2）2+4，

當x=3時，g（x）max=3，所以a>3

現在我們用值域法求解例3中的參數取值范圍.

若對任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a為常數），求實數a的取值范圍.

解析 當x∈[-2，6]時，不等式x2-3x+a≤0恒成立等價于a≤-x2+3x恒成立，則由題意得a≤（-x2+3x）min（x∈[-2，6]）.而-x2+3x=-（x-32）2+94，則當x=6時，

（-x2+3x）min=-18，所以a≤-18

5 降次法

當不等式是關于a，x的二次不等式，所求的變量x在給出的不等式中最高次數也是二次，變量a在給出的不等式中最高次數是一次且其范圍已知，此時可以把不等式當作關于a的一次不等式，使問題降次，轉化為一次不等式在給定區間上的恒成立問題.一次不等式恒成立問題又可轉化為一次函數與一次函數圖象的問題.這個方法可稱之為降次法.

關于a的一次函數f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）>0的充要條件為f（m）>0f（n）>0

關于a的一次函數f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）<0的充要條件為f（m）<0f（n）<0

例5 對任意a∈[-1，1]，不等式x2+（a-5）x+5-3a>0，求x的取值范圍.

分析 題中的不等式是關于x的一元二次不等式，問題可轉化為關于a的一次不等式（x-3）a+x2-5x+5>0在a∈[-1，1]上恒成立的問題.

解析 令f（a）=（x-3）a+x2-5x+5，則原問題轉化為f（a）>0恒成立（a∈[-1，1]）.

當x=3時，可得f（a）<0，不合題意.

當x≠3時，應有f（1）>0f（-1）>0

解之得x<2-2或x>4

所以x的取值范圍為（-∞，2-2）∪（4，+∞）

現在我們用降次法求解一元二次不等式的恒成立問題.

若不等式5x-2>a（3x2-1）對滿足a≤2的所有a都成立，求x的取值范圍.

解析 原不等式可轉化為a（3x2-1）-（5x-2）<0

令f（a）=a（3x2-1）-（5x-2），對滿足a≤2的a，f（a）<0恒成立，

當x=-33時，可得f（a）>0 不合題意.

當x=33時，可得f（a）<0 合題意.

當x≠±33應有 f（-2）<0f（2）<0

所以-2（3x2-1）-（5x-2）<02（3x2-1）-（5x-2）<0

解得12

綜上 x的取值范圍是（12，56）

6 函數圖象位置關系法

有的時候給出的不等式帶有二次根號，被開方式是一個關于x的二次式，用代數方法解決這類恒成立問題行不通，這個時候我們可以考慮不等式相關聯的兩個函數，通過函數圖象之間的位置關系得出參數的取值范圍.用得較多的位置關系是直線與半圓的位置關系.

直線與半圓相切圓心到直線的距離d=r

直線與半圓相離圓心到直線的距離d>r

例6 關于x的不等式-x2-4x≤512x+1-a恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 令 f（x）=-x2-4x，g（x）=512x+1-a，則問題轉化為f（x）≤g（x）恒成立

結合函數圖象，如圖1所示，

f（x）的圖象是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖象是直線5x-12y+12-12a=0，

當直線與半圓相切時，圓心到直線的距離

d=5×（-2）+12-12a52+（-12）2=2，

解得a=-2或a=73

因為f（x）≤g（x）恒成立，所以直線在半圓的上方或直線與半圓相切，所以a≤-2，

即實數a的取值范圍是（-∞，-2]

現在我們用函數圖象位置關系法來解決一個與二次不等式有關的恒成立問題.

關于x的不等式4-x2<3x+b恒成立，求實數b的取值范圍

解析 令 f（x）=4-x2，g（x）=3x+b

結合函數圖象，如圖2所示，

f（x）的圖象是半圓x2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖象是直線3x-y+b=0

當直線與半圓相切時，圓心到直線的距離d=b32+（-1）2=2 解得b=±210.

因為g（x）>f（x）恒成立，所以直線在半圓的上方，所以b>210，

即實數b的取值范圍是（210，+∞）

總之，含有參數的一元二次不等式恒成立問題涉及不等式，方程，函數，以及函數圖象等知識點，解決方法因題而異，各種方法之間有一個共同的特點，那就是將原不等式等價轉化，使含參數的不等式問題明朗化，進而得到解決.