中學數學中應用構造法的解題策略

張宏敏

【摘要】構造法是指通過問題的特殊性構造出一個新的關系結構來解決原有問題的方法.本文主要從等價轉換、特殊結構、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個思考角度對如何利用構造法分析和思考問題進行論述，以便幫助學生更好的應用構造法解題.

【關鍵詞】構造法;中學數學;解題策略

構造法解題是指當按固有思維難以快速有效解決問題時，嘗試結合已知條件、性質等，選擇一定的數學對象去構造新的數學載體，從而解決問題的分析方法.構造法作為數學一種常用的數學方法，主要體現了創造性思維在數學中的應用.因為被構造的對象比較多樣化，通常為數、式、函數、方程、數列、復數、幾何變換、數學模型等內容.因此，在應用構造法解題過程中，并沒有固定的解題模式.但因構造法具有一定的廣泛性與普遍性，所以可以根據具體實際問題的不同特點和需要制定不同的解決策略[].本文主要從等價轉換、特殊結構、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個思考角度對構造法解題策略進行說明.

1 等價轉換

構造等價轉換是指在應用常規解法難以解決問題時，通過題目中的已知信息，分析函數、解析幾何、向量等知識的相關性，將原問題巧妙地等價轉化為容易處理的新問題，即由一種處理方式轉換為另一種處理方式，從而使問題得以解決.

例已知a、b為正數，a+b=12，那么a2+4+b2+9的最小值是多少？

分析 此題若直接采用代入法解決問題，則需計算不等式最值，計算量較大.因為a2+4+b2+9中根號里均為兩個數字的平方和，所以，可以使用構造法將a2+4+b2+9中的平方和轉化求線段長度，并利用勾股定理來解決此題.

解 如下圖，作線段AB，使AB=a+b，構造RtΔAED和RtΔBEC，以AB、AD為鄰邊構造矩形ABFD.

設AD=2，BC=3，AE=a，BE=b，則DE=a2+4，CE=b2+9，所以a2+4+b2+9的最小值就是CD的長，當點C、E、D三點共線時，即ΔDCF為直角三角形時，CD長度最短，CD=CF2+DF2=13，所以a2+4+b2+9的最小值為13.

2 特殊結構

構造特殊結構是指通過觀察、歸納、類比將題目中的已知信息轉化為常見的特殊結構，從而可以利用這些特殊結構的性質嘗試尋找到問題之間的連接點，將問題轉化為可以解決的問題.如根據所要解決問題形式和結構特征，構造出合適的函數，再從函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、有界性等方面加以分析，求解問題.

例 已知為b為正實數，證明b+4b+1b+4b≥174.

分析 本題若要直接證明沒有明確思路，但通過觀察可以看出題目形式類似于對勾函數，由此可設b+4b=x，即可構造特征函數f（x）=x+1x，從而進行證明.

證明 可設b+4b=x，由于b為正實數，可得x=b+4b≥2b·4b=4，由函數f（x）=x+1x，即可證明b+4b+1b+4b≥174.

3 反向思考

反向構造是指在解題過程中，當從正向按部就班考慮難以索解或沒有明確的方向時，此時要考慮從反向思考，推導出滿足結論的條件，構造這個條件去求解問題[2].這種處理方式也是我們經常用到的“正難則反、反正結合”的思考方式.反向思考即構造滿足題目條件，但不滿足題目結論的例子，以此來證明所構造條件的錯誤.在構造反例時要注意反例的正確、簡單、全面[3].

例 設函數f（x）=x2+x-a+1，x∈R，討論f（x）的奇偶性.

分析 此題要判斷f（x）的奇偶性，只要找到x0在定義域內使f（-x0）≠f（x0）且f（-x0）≠-f（x0），在此題中，當x0=a時，與題目矛盾.

解 當a=0時，f（x）=x2+x-a+1是偶函數.當a≠0，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2a+1，-f（a）=-a2-1.此時f（-a）≠f（a），否則a=0，f（-a）≠-f（a），否則a2+a+1=0，所以fx既不是奇函數也不是偶函數.

4 充分、必要條件

從充分、必要條件進行構造通常通過研究已知條件的性質，試圖從這些性質的某種組合出發，挖掘條件背后的隱含意思，去尋找一個可行的構造.這種構造能夠幫助我們理解問題，并通過相關的數學知識將問題轉化為已有的認識，進行求解.

4.1 考慮充分條件

考慮充分條件是在當孤立的題設條件無法找到解題思路時，構造一個使題設條件成立的充分條件，用此條件替代原條件放入題中[]，從而將問題的思路放寬放，找到解決問題的思路并求解.

例 設f（x）、h（x）是定義在R上的函數，且h（x）=f（x）f（x+1），判斷h（x）是否可能為偶函數，且不為常值函數？

分析 可以構造一個使h（x）為偶函數的一個充分條件，判斷f（x）是否存在滿足這個條件的情況.

解 若f（x）滿足f（-x）=f（x），f（-x+1）=f（x+1）（x∈R）

則有h-x=f-xf-x+1=fxfx+1=hx.

已知fx=cosπx滿足f（-x）=f（x），f（-x+1）=f（x+1）（x∈R）

此時hx符合題目要求.故h（x）可能為偶函數，且不為常值函數.

4.2 考慮必要條件

考慮必要條件是指在從條件著手思考，考慮滿足問題中條件必要條件，構造這種條件，即假定所需對象已被構造出，用此條件來解決問題.

例 若f（x）=4x-2x+1，（x≥0），求f-1（0）.

分析對于此類為題，通常先判斷原函數是否有反函數，如果有，計算出反函數在求解，但解題過比較復雜.對于此題可以先不求出反函數，而是利用原函數同反函數之間的關系求解，求f-10，也就等同于求fx=0時x的值.

解當fx=0時，4x-2x+1=0，解得x=1，所以f-10=1

5 局部到整體

從局部到整體進行構造是指按某種程序逐步確定所需對象，將問題分解為多個層次，細化問題，先分成多個局部作構造，再進行合成，從而解決整個問題，此種思考方式主要應用于函數問題中.在處理此類問題的過程中要注意分解形式要符合題目要求.對于復雜的函數問題，可以先將部分問題看作一個整體，以此來簡單一部分題設的之間的關系.也可以通過對一些不存在或者無法考慮的關系式進行構造，使之所要表的關系在數學題目中進行了詮釋，化簡整個過程.

例求證：x+y1+x+y≤x+y1+x+y.

分析 觀察題目可知，這是一個多層函數，且2個分式的結構相似，由

此我們逐層對此題進行分析，先構造函數fx=x1+x，再在此基礎上利用函數單調性來證明該不等式，從而解決問題.

解 構造函數fx=x1+x，x≥0，則f′x=1+x-x1+x2=11+x2，

所以fx在x≥0上單調遞增，令x1=x+y，x2=x+y，

又因為0≤x1=x+y≤x+y=x2，所以fx1≤fx2，

即x+y1+x+y≤x+y1+x+y.

6 特殊到一般

特殊與一般是兩種相輔相成的方法，從特殊到一般是指將特殊條件歸為共同的、通常的問題，從而進行一般化的分析與處理[].將特殊構造一般化是指在處理具體化的問題時將條件進行一般化處理，尋找條件中共同的源頭，構造出所體現的共同結構，從而運用這種結構的性質來解決問題.

例 比較10041005與10051004的大小

分析 本題如果直接計算，運算量大，且發現兩個兩個數均為冪函數形式，因此先構造nn+1與n+1n，比較nn+1與n+1n的大小，等價于比較n1n與n+11n+1的大小，構造y=n1n即可求解.

解 令y=n1n，則lny=1nlnn兩邊求導，得到y=1-lnnn2得：y′=n1nn21-lnn.

當00即y=n1n為增函數;當n>e時，y′<0即y=n1n為減函數，

所以100411004大于100511005，故10041005大于10051004.

7 結束語

構造法通常是通過觀察和分析來發現問題中不同部分之間的聯系，并對其進行構造來解決問題，因此在進行構造的過程中要遵循以下原則：直觀性原則、相似性原則、等價性原則，簡潔性原則.直觀性原則是指所構造的對象能夠將條件和結論之間的關系清晰而具體的表現出來，使整個題目的解題思路變的明確.相似性原則是指發揮聯想作用，通過分析題目中信息與所學習過的何種知識之間的聯系，尋找他們之間的相關性和相似性，通過這種性質進行構造.等價性原則是指在進行構造時，所構造對象的滿足條件，限制范圍等是一樣的，或者說兩種表示方式反映的是同一事實.簡潔性原則是在應用構造法時能夠簡化問題，將復雜的題目簡化，如果進行構造反而使問題變得復雜，則失去了構造的意義.

本文通過分析從等價轉換、特殊結構、反向思考、充分、必要條件、特殊到一般、局部到整體六個思考角度對構造法進行分析，可知構造法是解答數學問題的一種重要方法.在利用構造法解題也要遵循以下步驟：題目是否可以使用構造法求解，明確解構造法根本目的;其次需要我們首先掌握數學問題的特征，以此為依據明確解題方案，最終迅速、準確的完成解題.運用構造法解題，不僅能提升解題的效率，還有助于培養學們的創造性思維能力和發散性思維能力.