梅森質數大搜索

趙新勝

2018年12月，人們用計算機成功發現了第51個質數，是當今已知最大的質數.這個質數是2的82589933次方減1，即282589933-1，擁有24862048位數字，如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過100公里！

我們都知道質數是只能被1和本身整除的數，例如，2，3，5，7，11等.2300多年前，希臘數學家歐幾里德證明了質數是無限的，并提出少量質數可寫成2P-1的形式，這里的P也是一個質數.此后許多數學家曾對這種質數進行了研究.起先，人們很容易找出了前四個符合這種形式的質數，那就是3，7，31，127（當P分別為2，3，5，7時）.同學們不要以為這種數很好找，當人們找到五個這種質數時已過去了一千多年.一千多年才艱難地跨出一步，可見發現這種質數是多么的不容易！

那為什么這種質數又稱為梅森質數呢？原來，在17世紀的法國有個教士馬丁·梅森 ，他花費了很大的精力，對形狀如2P-1的數進行了研究.他發現，如果P是合數，2P-1肯定不是質數.例如P=4時，24-1=15=3×5不是質數;當P是質數時，2P-1是不是質數呢？他驚喜地發現：

當P=2時，22-1=3;

當P=3時，23-1=7;

當P=5時，25-1=31;

當P=7時，27-1=127.

這里的3，7，31，127都是質數，于是梅森在1600年提出了一個猜想：當P是質數時，任何形如2P-1的數都是質數.

這是數學家研究問題常用的方法：先對這個問題找到一個或幾個特殊解，進而從各個方面反復地考察這些解，從中找出問題的一般規律.當然，這樣得到的規律或提出的猜想還有待證明，并不一定正確.同學們都知道肯定一個猜想，需要對問題的各種情況進行論證;否定一個猜想，卻只需要一個反例.梅森猜想提出后，不少數學家認為當P為質數時，2p-1不一定都是質數，但都沒有找出具體的反例來說明其是錯誤的.

1903年10月，哥倫比亞大學教授科爾應美國數學協會的邀請，在紐約作學術報告.科爾從容地走上講臺，卻一言不發，只是轉身在黑板上寫出了這樣一個算式：267-1=193707721×761838257287，便默默地回到了自己的座位上.到會的數學家們很快“聽”懂了報告的含義，會場上立刻爆發出經久不息的掌聲.科學家們明白了他已證明267-1是一個合數，而不是梅森所說的質數，解決了三百多年來沒有解決的難題.梅森的猜想是錯誤的.

盡管如此，他給數學家們指明了尋找最大質數的一個方向.人們對梅森的探索精神和在這個問題上所做的貢獻，還是給予充分的肯定，把形狀如2P-1的數叫“梅森數”，形狀如2P-1的質數叫做“梅森質數”.

不難看出，隨著P的增大，梅森質數增大的十分迅速，要找出梅森質數所需要的計算也迅速增加.多少年來，數學家們沿著梅森開辟的道路，爭奪發現已知的最大質數的榮譽一刻也沒有停止過.

1772年，瑞士數學家歐拉在雙目失明的情況下，以頑強毅力靠心算發現了第8個當時最大的梅森質數（P=31），它的記錄保持了一個多世紀.在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛一共才找到12個梅森質數.1964年伊利諾大學的數學家在計算機上算出了第23個梅森質數，這時的P=11213，它有3376位數字.當時讓全世界都羨慕這一成就，在該校數學系寄出的每一封信上都印上了這個巨大的梅森質數.隨著互聯網的發展，電腦的智能化，人們探索梅森質數的步伐有所加快.美國密歇根州立大學一位26歲的學生邁克爾·謝弗他志愿參加“互聯網梅森質數搜索計劃”（GIMPS），他才花了19天就發現了第40個梅森質數，成為全球幾十萬名志愿者中發現新梅森質數的幸運兒.

梅森質數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值.它是發現已知最大質數的最有效途徑，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展.由于梅森質數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森質數的研究成果是一個國家科技創新能力的重要標志之一.

人們到底能找到多少個梅森質數？自然數是無盡的，人類的智慧也是無盡的.