構造隱圓解賽題

徐智勇

【摘要】 幾何構造是解決較復雜幾何問題的一條極為重要的途徑，而其中對隱圓，即對隱藏于條件背后的圓的發現與構造往往能為問題的解決帶來意想不到的便利環境.適宜通過構造隱圓來解決問題的情形很多，比如在定邊定角、對角互補等模型中均可以加以嘗試.

【關鍵詞】 構造隱圓

圓作為初中數學知識體系中的重要內容，與諸多幾何元素之間存在著數量和位置方面的關系，并在解決幾何問題時經常表現出特有的靈活性.賽題中關于圓的考查方式基本有三類：

（1）圓作為條件直接呈現于題干中，即顯圓;

（2）圓的結構或淺或深地隱藏于條件中，即隱圓;

（3）顯圓、隱圓二者兼備.

本文主要介紹一些可以通過構造隱圓來解決問題的常見思路，以供讀者參考.

首先給出競賽問題中常用到的兩個判定結論，以方便后續討論.

結論1 如圖1，若凹四邊形PAOB滿足OA=OB，且∠P=12∠AOB，則點P在以點O為圓心，OA為半徑的圓上.

結論2 如圖1，若凸四邊形QAOB滿足OA=OB，且∠Q=180°-12∠AOB，則點Q在以點O為圓心，OA為半徑的圓上.

注 結論與“定邊對定角”模型本質上是一致的，其證明思路也很基礎，故不再詳述.

例1 如圖2，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB=4，PD=3.則AD·DC的值為.

解法1 如圖3，過點P作∠APB的角平分線PE，交AD于點E，則由角平分線性質可知

AEDE=PAPD=PBPD

ADDE=73

及∠DPE=12∠APD，

且∠APB=2∠ACB，

故∠DPE=∠DCB，

即P，E，B，C四點共圓，

故ED·DC=PD·DB=3×1=3，

故AD·DC=73ED·DC=7.

解法2 由條件

PA=PB，

∠APB=2∠ACB，

再聯系結論1可知點C在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，即如圖3，并延長BP交⊙P于點E，從而

AD·DC=ED·DB

=（EP+PD）·（PB-PD）

=（PB+PD）·（PB-PD）

=（4+3）×（4-3）

=7.

例2 如圖4，已知凸四邊形ABCD滿足∠CAD=45°，∠ACD=30°，∠BAC=∠BCA=15°.則∠DBC的度數為.

解法1 如圖4，由條件可在CD上找到一點E，使得∠CAE=30°，則∠CAE=∠ACE=30°，

且∠BAC=∠BCA=15°，

故易知△ABE與△CBE關于BE軸對稱，進而

∠AEB=∠CEB=60°，

且∠BAE=∠BAC+∠EAC=60°，

故∠AEB=∠BAE，

即B，A，D，E四點共圓，

故∠BDC=∠BAE=45°，

且∠BCD=45°，

從而∠DBC=90°.

解法2 一方面，由∠BAC=∠BCA=15°可知BA=BC及∠ABC=150°;

另一方面，由∠CAD=45°，∠ACD=30°可知∠ADC=105°，

故∠ADC=180-12∠ABC.

于是，滿足結論2，故點D在以點B為圓心，BA為半徑的圓上，從而

∠DBC=2∠CAD=90°.

點評 例1，例2兩道賽題都提供了不同的隱圓構造方法，其中直接運用結論1，2的思路則明顯更簡練一些.

例3 如圖5，在凸四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB于點E.證明：AE=12（AB+AD）.

證明 如圖5，在AB取一點D，使得AD′=AD，則結合條件AC平分∠BAD易證△ACD′≌△ACD（SAS），

故CD′=CD.

又由∠ABC+∠ADC=180°可知A，B，C，D四點共圓，且AC平分∠BAD，

故CB=CD=CD′，

再結合CE⊥AB，可知BE=D′E，進而

AB+AD=（AE+BE）+AD′

=AE+（D′E+AD′）

=2AE，

即得AE=12（AB+AD）.

點評 利用對角互補得到四點共圓結構在數學競賽中是一種常規思路，可以一定程度上簡化問題的證明過程.近年來，在中考試題中可以看到一些關于本例的拓展延伸.

例4 如圖6，AD為△ABC中線且AD<12BC，DE，DF分別平分∠ADB，∠ADC，EA=EB，FA=FC，且∠AEB+∠DCF=90°.證明：E，F，C三點共線.

證明 如圖6，由AD為△ABC中線且AD<12BC，故可延長DA至點G，使得DB=DG=DC，連接EG，FG.

由DE，DF分別平分∠ADB，∠ADC可知

△DBE≌△DGE，

△DCF≌△DGF，

故EA=EB=EG，

FA=FC=FG，

進而EF垂直平分AG，

即DA⊥EF.

同時，由EA=EG可知

∠EAG=∠EGA，

及由△DBE≌△DGE又知

∠EBD=∠EGD，

故∠EBD=∠EAG，

從而E，B，D，A四點共圓，即

∠AEB=∠ADC，

故∠ADC+∠DCF=∠AEB+∠DCF=90°，

即DA⊥CF，

且DA⊥EF，

從而E，F，C三點共線.

點評 本例中由條件AD

例5 如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC=5，D為邊BC上異于中點的點，點C關于直線AD的對稱點為E，EB的延長線與AD的延長線交于點F.求AD·AF的值.

解 如圖7，連接AE，DE，CF.由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，且由對稱性可知∠AED=∠ACD，

故∠AED=∠ABD，則A，E，B，D四點共圓，進而∠BED=∠BAD，

且再由對稱性可知

∠FED=∠FCD，

故∠FCD=∠BAD，

則又有A，B，F，C四點共圓，

進而∠ABD=∠CFD，

且∠ABC=∠ACB，

故∠ACD=∠AFC，

即得△ACD∽△AFC，

易知AD·AF=AC2=5.

點評 本例的求解看似與圓沒有直接的聯系，但在對稱點條件下進行連線嘗試后，逐漸浮現出了兩組四點共圓關系，進而實現了角度之間的連續轉化，最終實現了一對關鍵的相似關系來解決問題.

中考中也存在許多與隱圓相關的問題，有些問題的綜合程度已接近或達到競賽的要求，能夠較好地考查學生靈活運用相關知識解決問題的能力.限于篇幅，以一道動態幾何最值問題為例，并輔以數學競賽中的常用方法來簡化計算過程.

例6 如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB=2AD，AE=3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積的最大值為.

證明 如圖8，作Rt△ABC的外接圓，即知當點C取直徑AB所對半圓弧中點時，Rt△ABC取得面積最大值（此時定邊AB上的高最大），易知SRt△ABC最大=4.同時，由梅涅勞斯定理可知

CEEA·ABBD·DOOC=1，

且DB=2AD，

AE=3EC，

故DOOC=2，

即DODC=23，

從而由共邊定理可知

S△ABOS△ABC=DODC=23，

且SRt△ABC最大=4，

則SRt△ABO最大=83.

點評 本例的難點在于發現S△ABO與S△ABC之間存在著固定的比值，進而結合隱圓知識先得到SRt△ABC最大=4，再轉化為SRt△ABO最大=83.圖9

練習

1.如圖9，已知∠B=30°，∠C=45°，∠BDC=150°，且BD=CD=5，則AB=（? ）

（A）75.? （B）52.

（C）53.（D）5+5.

2.如圖10，在正△ABC的邊BC上取一點D，圖10使CD=2BD，作CH⊥AD于點H，連接BH，則∠DBC-∠DAB是（? ）

（A） 0.（B）負數.

（C）正數.（D）無法確定.

3.在△ABC中，已知AB=AC，D為邊BC的中點，BE⊥AC于點E，BE與AD交于點P.若BP=3，PE=1，則AE=（? ）

（A）62.（B）2.

（C）3.（D）6.

1

4.如圖11，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=75°，∠ABC=90°，∠BCD=105°，對角線AC，BD交于點S，且DS=233SB.求證：AD=DC.

答案

1.（C）. 2.（A）. 3.（B）. 4.略.