一道競賽試題不同角度的幾種解法

童常健

競賽試題，往往會因為角度不同，從而產(chǎn)生不同的解法.對競賽試題的研究，有助于幫助我們從不同角度看問題，從而提高思維能力.現(xiàn)以一道競賽試題為例，從各個不同角度看一下解法，以饗各位讀者.

例 已知，如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，∠BDC=30°.求證：AD=BC.

解法1 如圖2，以BC為邊向上作等邊△BCE，連接AE.

由AB=AC，EB=EC，AE=AE，

可得△ABE≌ACE（SSS），

則∠AEC=360°-60°2=150°，

即∠AEC=∠CDA.圖2

由∠BDC=30°，

∠BAC=20°，

則∠ACD=10°，

因為∠EAC=∠BAC2=10°，

所以∠EAC=∠DCA，

又因為AC=AC，

所以△ADC≌△CEA（AAS），

則AD=CE=CB.

解法2 在AC上找點E，連接DE，使得DE=AD;在DB上找點F，連接EF，使得EF=DE，連接FC.

由∠A=20°，DE=AD得

∠AED=∠A=20°，

由EF=DE得

∠EDF=∠EFD=40°，

則∠DEF=100°，∠FEC=60°.

由∠EDF=40°，∠BDC=30°，得

∠CDE=∠FDE-∠BDC=10°，

由∠BDC=30°，∠A=20°，得

∠DCE=∠BDC-∠A=10°，

則DE=CE，

所以△EFC為等邊三角形，

∠ECF=60°.

由AB=AC，得

∠B=∠BCA=180°-20°2=80°，

則∠BCF=20°，

∠BFC=80°，

即△BCF為等腰三角形，

所以BC=FC，AD=BC.

解法3 如圖4，以AC為邊向左側(cè)作等邊△ACE，連接BE.

由∠BAC=20°，AB=AC，得

∠ABC=∠ACB=80°，

由△ACE為等邊三角形，得

∠ACE=60°，

所以∠ECB=∠ACB-∠ACE

=80°-60°

=20°，

即∠BCE=∠DAC.

由AB=AC=AE，

∠EAB=∠EAC-∠BAC=60°-20°=40°，

則∠ABE=180°-40°2=70°，

∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°+80°=150°.

因為∠BDC=30°，

所以∠ADC=150°，

即∠EBC=∠CDA.

又因為CE=AC，

所以△EBC≌△CDA（AAS），

則AD=BC.

解法4 如圖5，以AB為邊在AB右側(cè)作等邊三角形ABE，同解法1可以證明

△EBC≌△CAD（AAS），

則AD=BC.

解法5 如圖6，在AC上找點E，連接DE，使得DE=AD，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，連接BF.

由∠A=20°，DE=AD得

∠AED=∠A=20°，

又因為∠BDC=30°，

得∠DCA=10°，∠EDC=10°，

即AD=DE=EC.

又因為AB=AC，

所以AE=BD.

由∠FDB=∠FDE-∠BDE=60°-40°=20°，

得∠FDB=∠A，

又因為AD=DF，

所以△FDB≌DAE（SAS），

則BF=DE=EC，

∠FBD=20°.

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB=180°-20°2=80°，

則∠FBC=20°+80°=100°，

∠FBC+∠BCA=180°，

從而可以得到FB∥EC，

所以四邊形FBCE為平行四邊形，

則FE=BC，AD=EF=BC.

解法6 如圖7，在AC上找點E，連接DE，使得DE=AD，以DE為邊向右側(cè)作等邊△DEF，連接CF.

由解法5可知，

AD=DE=EC，

則AD=EF.

由∠A=20°，得

∠ADE=180°-20°-20°=140°，

因為∠AEF=∠DEF-∠DEA

=60°-20°

=40°，

得∠CEF=140°，

即∠CEF=∠ADE.

所以△CEF≌△EDA（SAS），

則CE=AD，

又因為AB=AC，

所以BD=AE，

則BD=CF.

由∠B=∠BCA=80°，∠ACF=20°，

得∠B+∠BCF=180°，

則BD∥CF，

所以四邊形BCFD為平行四邊形，

則FD=BC，AD=DF=BC.