靈活設參數，解決圓問題

朱伯順

【摘要】 在初中圓的一些問題中，常常會遇到一些求兩條線段比值的問題，我們可以設兩個字母參數表示這兩條線段的長度，不妨讓其中一個表示已知數，另一個表示未知數.然后從題中條件找到一個等式，列出方程，通過解方程得到這兩個參數之間的數量關系，從而問題得以解決.下面以幾個例題加以說明.

【關鍵詞】 雙參數;方程

例1 如圖1，PA，PB是圓O的切線，AC是直徑，AB是弦，連接PC，PC交AB于點E.若∠APC=3∠BPC，求PE：CE的值.

分析 這是一個雙切圖模型，常見的輔助線是連接OP，CB.設OP與AB交于點F.

由切線長定理可證OP垂直平分AB，由AC為直徑，可證CB⊥AB，于是可得OP∥CB.這是雙切圖中的基本結論.

由條件∠APC=3∠BPC易證PB=BC，從而可得PA=PB=BC.再設PF=x，PA=2a.通過相似列出有關a與x的方程，解得a與x之間的關系，也就得到PF與PA（或PB）的關系，從而得到PE與CE的比值關系.

解 連接OP，CB，設OP與AB交于點F. 因為PA，PB是圓O的切線，

所以PA=PB，OP平分∠APB，

所以PF⊥AB，AF=BF，

所以∠AFO=90°.

因為AC是⊙O的直徑，

所以∠ABC=90°.

所以∠AFO=∠ABC，

所以OP∥CB，

所以∠OPC=∠PCB.

設∠BPC=α，∠APC=3α，

所以∠APB=4α，∠OPB=2α.

所以∠OPC=∠OPB-∠BPC=2α-α=α，

因為OP∥CB，

所以∠OPC=∠PCB=α.

所以∠CPB=∠PCB，

所以CB=PB.

因為AF=BF，OA=OC，

所以BC=2OF，

設PA=PB=BC=2a，OF=a，

設PF=x，因為

PA⊥AC，PF⊥AB，

所以∠PAO=∠PFA=90°，

因為∠APF=∠APO，

所以△PAF∽△POA，

所以PAPO=PFPA，

所以PA2=PO·PF，

所以（2a）2=（x+a）x，

解出x1=-1+172a，

x2=-1-172a（舍去），

所以PF=-1+172a.

因為OP∥CB，

所以△PFE∽△CBE，

所以PECE=PFCB=-1+174.

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，AE與過點D的切線互相垂直，垂足為E.

（1）求證：AD平分∠BAE;

（2）若CD=DE，求sin∠BAC的值.

解 （1）連接OD，因為ED是切線，

可得ED⊥OD，

因為AE⊥ED，

所以AE∥OD，

所以∠EAD=∠ADO，

因為AO=DO，

所以∠DAO=∠ADO，

所以∠EAD=∠DAO.

即AD平分∠BAE.

（2）連接BD，因為AB為直徑，

所以∠ADB=90°，

因為∠ABC=90°，

可得∠DAB=∠CBD，

因為∠DAB=∠EAD，

所以∠EAD=∠DBC，

因為∠BDC=∠E=90°，

CD=ED，

所以△AED≌△BDC，

所以AD=BC.

可設AD=BC=a，CD=x，

易證△CDB∽△CBA，

可得BC2=CD·CA，

所以a2=（x+a）x，

解出a1=-1+52a，

x2=-1-52a（舍去）.

所以CD=-1+52CB.

所以sin∠BAC=sin∠CBD

=CDCB=-1+52.

例3 如圖3，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O上兩點，C是BD的中點，過點C作AD的垂線，垂足是E.連接AC交BD于點F.

（1）求證：CE是⊙O的切線;

（2）若DCDF=6，求cos∠ABD的值.

解 （1）連接BC，OC，OD.

設OC交BD于點H.

因為C是BD的中點，

所以CB=CD，

所以CB=CD.

又因為OB=OD，

所以OC垂直平分BD，

所以∠OHB=90°，

因為AB是⊙O的直徑，

所以∠ADB=90°，

所以∠OHB=∠ADB，

所以OC∥AE，

所以∠ECH+∠E=180°，

因為CE⊥AD，

所以∠E=90°，

所以∠ECH=90°，

所以CE⊥OC，

因為OC是半徑，

所以CE是⊙O的切線.

（2）由DCDF=6，可設DF=a， DC=6a，

設FH=x，DH=DF+FH=a+x，

由（1）知OC垂直平分BD，

所以BH=DH=a+x，

BC=DC=6a，

FB=FH+BH=a+2x，

因為AB是直徑，

所以∠ACB=90°，

所以∠ACB=∠FHC.

又因為∠CFH=∠CFB，

所以△FHC≌△FCB，

所以CF2=FH·FB，

所以CF2=x（a+2x），

因為CF2-FH2=CH2，

CB2-BH2=CH2，

所以CF2-FH2=CB2-BH2，

所以x（a+2x）-x2=（6a）2-（a+x）2，

解得x1=a，x2=-52a（舍），

所以BH=a+x=2a，

CH=2a，

設OB=OC=R，OH=R-2a，

因為OB2=BH2+OH2，

所以R2=（2a）2+（R-2a）2，

解得R=322a，

所以cos∠ABD=BHOB=223.

例4 如圖4，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于F，

（1）求證：CF=BF;

（2）若tan∠CDM=2，求sin∠ABD的值.

解 （1）連接OC，OD.

設OC交BD于點H.

因為C是BD的中點，

所以CB=CD，

所以CB=CD.

因為OB=OD，

所以OC垂直平分BD，

所以∠CHB=90°，

所以∠HCB+∠HBC=90°.

因為CE⊥AB于E，

所以∠CEB=90°，

所以∠ECB+∠EBC=90°.

因為OB=OC，

所以∠EBC=∠HCB，

所以∠ECB=∠HBC，

所以BF=CF.

（2）因為∠CDM+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

所以∠CDM=∠ABC.

因為tan∠CDM=2，

所以tan∠ABC=2，

所以CEBE=2，

可設BE=a，CE=2a，CF=BF=x，

所以EF=CE-CF=2a-x，

因為BF2=EF2+BE2，

所以x2=（2a-x）2+a2，

解得x=54a，

所以BF=54a，

EF=2a-x=34a ，

所以sin∠ABD=EFBF=35.

例5 如圖5，AB是⊙O直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，點E在AD的延長線上.

（1）求證：∠BDC=∠A;

（2）若CE2=DE·AE，CD=2BC，求BDCE的值.

解 （1）連接OD，因為CD是切線，

所以CD⊥OD，

所以∠ODC=90°，

所以∠ODB+∠BDC=90°.

因為AB是⊙O的直徑，

所以∠ADB=90°，

所以∠A+∠OBD=90°.

因為OB=OD，

所以∠ODB=∠OBD，

所以∠A=∠BDC.

（2）因為CE2=DE·AE，

所以CEAE=DECE，

因為∠E=∠E，

所以△EDC∽△ECA，

所以∠DCE=∠A，

由（1）知∠A=∠BDC，

所以∠DCE=∠BDC，

所以BD∥CE，

所以△ADB∽△AEC，

所以BDCE=ABAC.

設BC=a，因為CD=2BC，

所以CD=2a，

設OB=OD=x，由（1）知

∠ODC=90°，

所以OC2=OD2+CD2，

所以（x+a）2=x2+（2a）2，

x=32a，

所以AB=2x=3a，

AC=AB+BC=3a+a=4a，

所以BDCE=ABAC=34.

總結 在上面的幾個題目中，都是設了兩個參數分別表示兩條線段的長度，其中參數a看作已知數，參數x看作未知數.利用相似或勾股定理列出方程，解出兩個參數的數量關系（一般用看作已知數的字母來表示看作未知數的字母），從而解決問題.

下面留一道習題，讀者們有興趣可以做一下，體會上面題目所用到的方法.

練習

如圖6，AB與圓O相切于點C，OA交圓O于點D，連接CD，∠ODC+∠B=90°.

（1）求證：DC∥OB;

（2） 若OA∶OB=2∶3，求sin∠B的值.