對一類中考最值問題的深入探究

李加祿

【摘要】 本文嘗試通過利用托勒密不等式解決費馬點最值問題，實現通性通法，從多角度進行深入剖析并進行推廣，得到了一般化的結論，同時也為解決此類問題提供了更為廣闊的思路.

【關鍵詞】 費馬點最值;托勒密不等式;通法;推廣

近年來，以數學文化為背景的試題己成為中考命題的熱點和新亮點，費馬點最值問題受到命題者的青睞.圖形的旋轉變換是解決“費馬點問題”非常重要的一種工具，通過旋轉或放縮進行線段轉化，從而達到解決問題的效果.但是，當所求最值中三條線段的系數有不為1時，旋轉中心和旋轉角就難以確定，學生感到束手無策.鑒于此筆者進行了深入研究，發現利用托勒密不等式可以快速找到解決費馬點最值問題的突破口，突破思維障礙，實現通性通法，并進行推廣得到一般化的結論.

1 費馬點簡介

費馬點定義：法國數學家費馬曾提出一個數學名題： 在三角形所在平面內求一點， 使該點到三角形三個頂點的距離之和最小，稱此為費馬點問題.該點也稱為這個三角形的費馬點.

費馬點的相關結論：

（1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是各邊的張角都是120°的點.

（2）若三角形有一個內角大于等于120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點.

2 預備定理

托勒密不等式：在任意凸四邊形ABCD中，兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，當且僅當四點共圓時取等號.圖1

（即AB·CD+AD·BC≥AC·BD，當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號）

證明 如圖1，設∠CAD=θ，∠ACD=β，作∠BAE=θ，∠ABE=β相交于點E，連接DE，易證

△ABE∽△ACD，

于是ABAC=AEAD=BECD，

得AB·CD=AC·BE，①

又因∠BAC=∠DAE=∠θ+∠EAC，

ABAC=AEAD，

所以△ABC∽△AED，

于是ACAD=BCED，

得AD·BC=AC·DE，②

由①+②得

AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC·DE，

即AB·CD+AD·BC

=AC·（BE+DE）≥AC·BD

（當且僅當B，E，D三點共線時取等號），

此時，A，B，C，D四點共圓（AB·CD+AD·BC=AC·BD）（如圖2）.托勒密不等式可以簡記為“左右積+上下積中間積”.

3 托勒密不等式應用

3.1 系數比都為1的費馬點問題

例1

如圖3是A，B，C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P為△ABC內的一個動點，連接PA，PB，PC.求PA+PB+PC的最小值.

分析 如圖4，由于PA，PB，PC三邊前的系數之比為1∶1∶1，進一步聯想到需要構造的三角形是等邊三角形，進而在四邊形APCD中利用托勒密不等式進行轉化PA+PB+PC的最小值為BD的長度，易得∠BCD=90°，則在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的長度.

解 如圖4，以AC為邊向外構造等邊△ACD，在四邊形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，設CD=x，則CD=AD=AC=x=4，進而PA·x+PC·x≥PD·x，PA+PC≥PD，不等式兩邊同加PB，得PA+PB+PC≥PB+PD，所以PA+PB+PC≥BD（當且僅當B，P，D三點共線且A，P，C，D四點共圓時取等號），即PA+PB+PC的最小值為BD的長度.在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD=42+52=41，故PA+PB+PC的最小值為41.

例2 如圖5，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42.點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是.

解 類比例1，易知OM，ON，OG三邊前的系數之比為1∶1∶1，以MG為邊向外構造等邊△MGA，進而在四邊形MOGA中，由托勒密不等式將OM+ON+OG的最小值轉化為AN的長度，以AN為斜邊構造Rt△ABN，易得∠BMN=45°，BN=BM=32，AB=72，則由勾股定理求得AN=229，故OM+ON+OG的最小值為229.

3.2 系數比為勾股數的費馬點問題

例3

如圖6，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=3，AC=4.在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，則12PA+32PB+PC的最小值是.

分析 觀察到三邊的權重系數之比不為1，于是將12提到括號外得到

12（1PA+3PB+2PC），

即PA，PB，PC三邊權重系數之比為1∶3∶2，只需以AC為邊構造一個△ACD，使得三邊之比為1∶3∶2，易知△ACD為直角三角形，那么怎樣確定直角呢？其實仔細觀察不難發現PC前面的系數為2（系數比中最大），根據大邊對大角可知AD邊所對的角為直角，進而在四邊形APCD中利用托勒密不等式進行轉化求解.

解 如圖，以AC為直角邊向外構造Rt△ACD，在四邊形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，設CD=x，則AD=2x，AC=3x=4，

解得x=433，

進而PA·x+PC·（2x）≥PD·（3x），

PA+2PC≥3PD，

不等式兩邊同加3PB，得

PA+3PB+2PC≥3PB+3PD，

所以PA+3PB+2PC≥3BD

（當且僅當B，P，D三點共線且A，P，C，D共圓時取等號），

即12PA+32PB+PC的最小值為32BD的長度，再以BD為斜邊構造Rt△BDE，易得

∠DCE=30°，CE=2，DE=223，

進而利用勾股定理求得

BD=2373，

故12PA+32PB+PC的最小值為792.

3.3 系數比為任意三角形的費馬點問題

例4

如圖7，在△ABC中，∠ABC=15°，BC=52，AB=5.在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，則PA+3PB+PC的最小值是.

分析 考慮到PA，PB，PC三邊權重系數之比為1∶3∶1，顯然三邊系數之比不構成直角三角形，而是等腰三角形，以AB為邊向外構造等腰△ABD，由3·PB可知PB所對的邊為AD=3x，則BD=BA=x，利用銳角函數易求∠ABD=120°，進而在四邊形APBD中利用托勒密不等式將最小值轉化為線段CD的長度，再構造直角三角形求解CD.

解 如圖8，以AB為邊向外構造等腰△ABD，在四邊形APBD中，由托勒密不等式

PA·BD+PB·AD≥AB·PD，

設AB=BD=x=5，則

AD=3x=53，

PA·x+PB·3x≥PD·x，

PA+3PB≥PD，

不等式兩邊同加PC，得

PA+3PB+PC≥PD+PC，

所以PA+3PB+PC≥CD

（當且僅當C，P，D三點共線且A，P，B，D四點共圓時取等號），

即PA+3PB+PC的最小值為CD的長度.

利用銳角三角形函數易求∠ABD=120°，

∠DBE=45°，

BE=DE=522，

CE=1522，

在Rt△CDE中利用勾股定理求得CD=55，

故PA+3PB+PC的最小值為55.

總結 通過以上幾個例題解析，我們發現利用托勒密不等式解決費馬點最值問題的核心方法就是先找出三邊權重比例系數，再構造一個三邊之比恰好是權重系數的三角形，進而在四邊形中利用托勒密不等式和兩點之間線段最短將最小值轉化為某條線段的長度，本質就是轉折為直，最后構造直角三角形求解線段的長.

4 推廣

如圖9，在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，則xPA+yPB+zPC的最小值是.

結論1 若以x，y，z為邊不能構成三角形，則P為系數最大的那項的頂點.

證明 不妨設x>y>z，則

xPA+yPB+zPC≥（y+z）PA+yPB+zPC≥y（PA+PB）+z（PA+PC）≥yAB+zAC

（當且僅當P與A點重合時取等號），

故此時P為A點.

結論2 若x，y，z能構成三角形的三邊，則xPA+yPB+zPC的最小值為

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β），

（其中cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，）

證明 如圖9，以AC為邊向外構造△ACD，使得CD=xm，AD=zm，AC=ym，在四邊形APCD中，由托勒密不等式得

（xm）PA+（zm）PC≥（ym）PD，

即xPA+zPC≥yPD，

不等式兩邊同時加上yPB，

xPA+yPB+zPC≥yPB+yPD，

則xPA+yPB+zPC≥y（PB+PD）≥yBD

（當且僅當B，P，D三點共線時取等號）.

為了便于計算BD，將圖9分解為以三個圖形（圖10），不妨設∠ACB=θ，∠ACD=β，

則∠BCD=θ+β，

在△ABC和△ACD中，由余弦定理得

cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，

在△BCD中，

BD=a2+（xm）2-2a（xm）cos（θ+β），

而AC=ym=b，則m=by，

BD=a2+x2b2y2-2axbycos（θ+β），

兩邊同乘以y，

yBD=a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

xPA+yPB+zPC≥

a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

故xPA+yPB+zPC的最小值為

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β）

（其中，cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy）

特別地，當△ABC是邊長為a的等邊三角形時，PA+PB+PC的最小值為3a.

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