一道中考試題中的結(jié)論及應(yīng)用

潘興偉

【摘要】 若一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象及兩坐標(biāo)軸相交，則直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)與直線(xiàn)和兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的線(xiàn)段相等.這是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象相結(jié)合的一類(lèi)問(wèn)題中的一個(gè)基本的結(jié)論——線(xiàn)段相等，這個(gè)基本結(jié)論可以說(shuō)是隱性的，因?yàn)樗哂须[蔽性，通常被人們所忽視，也不易發(fā)現(xiàn)，只有認(rèn)真探究才能挖掘出來(lái).這個(gè)基本的結(jié)論具有普遍的實(shí)用性，可給解決一些一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象結(jié)合的有關(guān)題型帶來(lái)巨大方便，尤其是做填空、選擇類(lèi)試題時(shí)可直接應(yīng)用這個(gè)結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】 中考試題;一次函數(shù)圖象;反比例函數(shù)圖象

1 中考試題及結(jié)論

試題 圖1

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點(diǎn)A，B.過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E;過(guò)點(diǎn)B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點(diǎn)K，連接CD.

（1）若點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：AN=BM.

（2）若點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=kx的圖象的不同分支上，如圖2，AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論.

解 （1）因?yàn)锳C⊥x軸，AE⊥y軸，

所以四邊形AEOC為矩形.

因?yàn)锽F⊥x軸，BD⊥y軸，

所以四邊形BDOF為矩形.

因?yàn)锳C⊥x軸，BD⊥y軸，

所以四邊形AEDK，DOCK，CFBK均為矩形.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

所以O(shè)C=x1，AC=y1，

x1·y1=k;

OF=x2，F(xiàn)B=y2，

x2·y2=k.

因?yàn)镾矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k，

S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k.

所以S矩形AEOC=S矩形BDOF.

因?yàn)镾矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK，

S矩形CKBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK，

所以S矩形AEDK=S矩形CFBK.

所以AK·DK=BK·CK.

所以AKCK=BKDK.

因?yàn)椤螦KB=∠CKD=90°，

所以△AKB∽△CKD.

所以∠CDB=∠ABK.

所以AB∥CD.

因?yàn)锳C∥y軸，所以四邊形ACDN是平行四邊形.

所以AN=CD.

同理BM=CD.

所以AN=BM.

（2）AN與BM仍然相等.證明方法同（1），不再贅述.

2 結(jié)論應(yīng)用

例1

如圖3，已知直線(xiàn)y=-x+2分別x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)y=kx交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若AB=2EF，則k的值是（? ）

（A）-1.???? （B） 1.

（C）12.（D）34.圖3

解 直線(xiàn)y=-x+2與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），AO=BO=2.

過(guò)點(diǎn)E作EC⊥x軸于點(diǎn)C，則有EC∥BO，

所以 △ACE∽△AOB，

所以 AEAB=ACAO，AC=EC.

因?yàn)锳B=2EF，

所以EF=12AB，

由結(jié)論知AE=BF，

2AE+EF=AB，

即2AE+12AB=AB，

所以AE=14AB，

所以AC=14AO=14×2=12，

所以EC=12，CO=2-12=32，

所以k=CO·EC=32×12=34.

故選（D）.

例2 如圖4，已知直線(xiàn)y=12x+1與雙曲線(xiàn)y=kx交于A，B兩點(diǎn)，分別與x軸，y軸交于C，D兩點(diǎn)，連接OA，OB，若S△OCD=S△OAD+S△OBC，則k=.

解 直線(xiàn)y=12x+1與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（-2，0），D（0，1），即OC=2，OD=1.

因?yàn)镾△OCD=S△OAD+S△OBC，

且△OCD，△OAD，△OBC的高相等，

由上述結(jié)論，知AD=BC，

所以S△OAD=S△OBC（等底等高），

所以S△OCD=2S△OAD=2S△OBC，

利用三角形的面積可推出

CD=2AD.

過(guò)點(diǎn)A作AE∥DO交x軸于點(diǎn)E，則有

CDDA=COOE，

所以O(shè)E=DACD·CO=AD2AD×2=1，

即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

將x=1代入y=12x+1，得y=32，

所以k=xy=1×32=32.

例3 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，OC是△OAB的中線(xiàn)，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)y=3x（x>0）的圖象上，則△OAB的面積等于.

解 如圖5，延長(zhǎng)AB與y軸交于點(diǎn)D，分別過(guò)C，B作CF⊥x軸，BE⊥x軸于點(diǎn)E，因?yàn)镺C是△OAB的中線(xiàn)，

所以AC=CB，

由上述結(jié)論，知AC=DB，

所以AC=CB=BD，

所以AF=FE=EO，

即F，E為線(xiàn)段AO三等分點(diǎn)，

所以S△BOE=S△BEF=S△BFA=13S△OAB，

又S△BOE=12k=32，

所以S△OAB=3S△BOE=92.

例4 如圖6，直線(xiàn)y=-33x+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線(xiàn)y=kx在第一象限交于B，C兩點(diǎn)，且AB·AC=4，則k=.

解 分別過(guò)點(diǎn)B，C作BG⊥y軸于點(diǎn)G，CF⊥y軸于點(diǎn)F，CE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)直線(xiàn)AC與x軸交于D，

所以∠ABG=∠ACF=∠ADO，

∠BAG=∠DCE，

由結(jié)論知AB=CD，

所以△ABG≌△CDE，

所以AG=CE.

由直線(xiàn)y=-33x+b可求得直線(xiàn)AD與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，b），D（3b，0），

所以O(shè)A=b，OD=3b，

所以tan∠ADO=OAOD=b3b=33，

所以∠ADO=30°.

所以AG=sin∠ABG·AB=sin∠ADO·AB

=sin30°·AB=12AB.

FC=cos∠ACF·AC=cos∠ADO·AC

=cos30°·AC=32AC，

所以k=FC·CE=FC·AG=32AC·12AB

=34AB·AC=34×4

=3.