一道二次函數(shù)面積最值問題的多種解法

李改生

【摘要】 函數(shù)的綜合題，歷來是初中學(xué)業(yè)水平考試的重要內(nèi)容之一，它常與代數(shù)、幾何等知識(shí)緊密聯(lián)系，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力要求較高，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求三角形等的面積問題是其中的一個(gè)常考考點(diǎn)，要求學(xué)生要能靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答，是學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，本文就有關(guān)二次函數(shù)最值問題進(jìn)行一點(diǎn)膚淺的解法探討.

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù);面積;最值;解法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).在學(xué)業(yè)水平考試中占有一定的分量，且常以壓軸題形式呈現(xiàn)，特別是二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，更為常見，其中，求三角形面積的最大值問題又是最基本的問題.本文就一道二次函數(shù)與面積最值問題，談點(diǎn)常見的解法，供各位讀者參考.

原題呈現(xiàn) 已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（-1，0），且當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小.

（1）求拋物線的解析式;

（2）設(shè)（1）中拋物線交y軸與點(diǎn)C，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△DAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由;

（3）在（1）中的拋物線上的第一象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有，請(qǐng)說明理由.

解 （1）由函數(shù)增減性及拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，結(jié)合圖象過A（-1，0），求出b，c的值，進(jìn)而寫出拋物線的解析式（y=-x2+4x+5）.

（2）由“將軍飲馬”問題，先求出直線BC的解析式（y=-x+5），進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）.

本文著重探究第（3）問中面積的最大值的幾種解法，對(duì)第（1）（2）問不再詳細(xì)解答.下面看一下本題第（3）問的解法研究.

方法1 割補(bǔ)圖形法.

求幾何圖形的面積，用割補(bǔ)圖形法是常見的一種方法，此類方法主要是把所求圖形的面積適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)，轉(zhuǎn)化為有利于面積表達(dá)的常見幾何圖形，進(jìn)而求解.

解法1 如圖1，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2+4x+5）（0

因?yàn)镾△PBC=S四邊形BOCP-S△BOC=S四邊形BOCP-252，

若S四邊形BOCP有最大值，則S△PBC就有最大值.

所以S四邊形BOCP=SRt△BPE+S梯形EOCP

=12PE·BE+12OE（PE+OC）

=12（-x2+4x+5）（5-x）+12x（-x2+

4x+5+5）

=…….

解題策略 先用坐標(biāo)法表示出各條所需線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)△BPC的面積等于四邊形COBP的面積與△BOC的面積之差，得到四邊形COBP的面積關(guān)于橫坐標(biāo)x的二次函數(shù)，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)及△BPC最大值.

解法2 如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△OBP+S△OCP-S△OBC

=12×5（-x2+4x+5）+

12×5x-12×5×5

=-52x-522+1258，

所以，當(dāng)x=52時(shí)，S△BPC取最大值為1258.

解題策略 根據(jù)△BPC的面積等于四邊形COBP的面積與△BOC的面積之差，而四邊形COBP的面積又等于△OCP與△BOP的面積之和，于是得到四邊形COBP的面積關(guān)于橫坐標(biāo)x的二次函數(shù)，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)及△BPC最大值.本題還可以用矩形覆蓋法進(jìn)行求解.

方法2 “鉛垂高，水平寬”面積法.

如圖3，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高”（h），我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的另一種方法，S△ABC=12ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

用鉛垂法求面積是一種重要的方法，在教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為廣泛.

解法3 如圖4，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，設(shè)P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△FPB+S△PFC

=12PF·BE+12PF·OE

=12PF·OB=52PF

=-52x-522+1258，

所以當(dāng)x=52時(shí)，△PBC取最大面積為1258，….

解題策略 用坐標(biāo)法表示出PF的長(zhǎng)度之后，用S△PBC=S△FPB+S△PFC列出函數(shù)關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)化為求PF的最大值.

方法3 切線法（作平行線法）.

作一條直線與拋物線相切，即只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在此公共點(diǎn)位置時(shí)，三角形△PBC的面積最大.

若要使△PBC的面積最大，可BC以為底，根據(jù)三角形面積公式求解.因?yàn)锽C是不變的，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△PBC的面積最大，即點(diǎn)P到BC的距離最大，于是過P作BC的平行線m，當(dāng)m與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，BC上的高CN最大.

解法4 如圖5，直線BC的解析式為y=-x+5，過P點(diǎn)作BC的平行線PE交y軸于點(diǎn)E，從而可以設(shè)直線PE的解析式為y=-x+m，與y=-x2+4x+5聯(lián)立得方程x2-5x+m-5=0，由只有一個(gè)公共點(diǎn)，得到Δ=0，所以（-5）2-4（m-5）=0，得到m=254，此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為0，454的，此時(shí)BC邊上的高最大，作CN⊥PE于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等知CN就是BC邊上的高，要使△BPC的面積最大，只需CN最大.

CN=EC·sin∠CEP=EC·sin∠OCB

=454-5×22=2528，

所以，此時(shí)S△PBC=12BC·CN=12·52·2528

=1258.

解題策略 將直線BC向右平移到與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這個(gè)公共點(diǎn)就是P點(diǎn)的位置，找到P點(diǎn)到BC的距離，即為BC邊上的高，利用平行線的一些性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)計(jì)算出BC邊上的高CN的最大值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)題目的求解.

方法4 三角函數(shù)法.本題可以用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解.

解法5 如圖6，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，作PM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=12·BC·PM

=12×52×PF·sin∠PFM

=522[-x2+4x+5-（-x+5）]·sin∠BFE

=522（-x2+5x）·sin∠OCB

=-522（x2-5x）·OBBC

=-52x-522+1258

……

解題策略 以BC為底，找到BC邊上的高PM，在Rt△PMF中，利用三角函數(shù)知識(shí)可得到PM=PFsin∠PFC，再根據(jù)∠PFC=∠EFB，結(jié)合PE∥OC，得到∠OCB=∠EFB，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為PM=PF·sin∠OCB來進(jìn)行求解.

方法5 對(duì)稱法 圖7

將△PBC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移或軸對(duì)稱變化后，利用圖形的性質(zhì)進(jìn)行求解.本文用軸對(duì)稱法進(jìn)行求解.

解法6 如圖7，分別作P，C兩點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，D，連接BD，DQ，BQ，則

△PBC≌△QBD，

又C（0，5），

P（x，-x2+4x+5）（0

所以D（0，-5），

Q（x，x2-4x-5），

CD=10，

PQ=2（-x2+4x+5），

所以S△PBC=12（S△PBQ+S梯形CDQP-S△BCD）

=1212PQ（5-x）+12（-2x2+8x+10+

10）x-12×10×5

=-52x2+252x

=-52x-522+1258

……

解題策略 用軸對(duì)稱將△BPC沿x軸翻折得到△QBD，與△BCD組合構(gòu)成五邊形CDQBP，然后用五邊形CDQBP的面積減去△BCD的面積的一半即是△BPC的面積.

總之，從以上的幾種解法可以得出一個(gè)規(guī)律.過點(diǎn)P作輔助線，然后利用相關(guān)性質(zhì)，找出各元素之間的關(guān)系.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后找出各線段的代數(shù)式，再通過面積計(jì)算公式，得出二次函數(shù)頂點(diǎn)式，求出三角形面積的最大值.