含字母參數的不等式（組）問題求解幾招

莊保海

【摘要】 含字母系數的不等式（組）問題是不等式中常見的問題之一，這類問題大多是已知不等式（組）的解集，要求確定字母系數的值或取值范圍.

【關鍵詞】 字母參數;口決法;分類討論法;數軸圖示法

在不等式（組）的學習中，經常會遇到含字母參數的不等式（組）問題，這類問題的解答，對思維有較高的要求，而考試卻常常出現，為了幫助同學們掌握這類問題的解答方法，下面簡單介紹解題的幾種方法，供同學們參考.

1 口決法

求（含字母參數）不等式（組）解集時常用口決“同大取大;同小取小;小大大小中間找;大大小小解不了（無解）”來確定解集.

例1 關于x的不等式組2x-3>0，x-2a<3恰好有2個整數解，則實數a的取值范圍是.

分析 首先解每個不等式，根據不等式組只有2個整數解，確定整數解的值，進而求得a的范圍.

解 2x-3>0，x-2a<3，①②

解①得x>32;

解②得x<3+2a，

不等式組的解集是32

因為不等式組只有2個整數解，

所以整數解是2，3.

則3<3+2a≤4，

所以0

注 本題考查的是一元一次不等式組的整數解，根據x的取值范圍，得出x的整數解.求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

例2 關于x的一元一次不等式組2x-a>0，3x-4<5無解，則a的取值范圍是.

分析 分別求出這兩個不等式的解集，然后根據不等式組無解，得到關于a的不等式，解不等式即可.

解 2x-a>0，3x-4<5，①②

解不等式①得x>12a;

解不等式②得x<3，

因為不等式組無解，

所以12a≥3，

所以a≥6.

2 分類討論法

系數含有字母參數的不等式，要分類討論系數的正負才能確定不等式的解集，從而求出字母參數的取值范圍.

例3 若不等式x+52>-x-72的解都能使（m-6）x<2m+1成立，則實數m的取值范圍是.

分析 解不等式x+52>-x-72得x>-4，據此知x>-4都能使不等式（m-6）x<2m+1成立，再分m-6=0和m-6≠0兩種情況分別求解.

解 解不等式x+52>-x-72得x>-4，

因為x>-4都能使不等式（m-6）x<2m+1成立，

①當m-6=0，即m=6時，

則x>-4都能使0·x<13恒成立;

②當m-6≠0，則不等式（m-6）x<2m+1的解要改變方向，

所以m-6<0，

即m<6，

所以不等式（m-6）x<2m+1的解集為

x>2m+1m-6，

因為x>-4都能使x>2m+1m-6成立，

所以-4≥2m+1m-6，

所以-4m+24≤2m+1，

所以m≥236，

綜上所述，m的取值范圍是236≤m≤6.

3 數軸圖示法

結合數軸表示不等式（組）的解集，把參數解集看成動點來確定字母參數的取值范圍.

例4 已知關于x的不等式組-2x-3≥1，x4-1≥a-12無實數解，則a的取值范圍是（? ）

（A）a≥-52.?? （B）a≥-2.

（C）a>-52.（D）a>-2.

分析 分別解兩個不等式，根據不等式組無實數解，得到關于a的不等式，解之即可.

解 解不等式-2x-3≥1得x≤-2，

解不等式x4-1≥a-12得x≥2a+2，

因為關于x的不等式組-2x-3n≥1，x4-1≥a-12無實數解，

在數軸上畫出這個不等式組解集的的可能區間，如圖1，

所以a滿足不等式2a+2>-2，

解得a>-2，

故選（D）.

小結

1.常數項含參不等式：只需要把字母參數看成已知數，用參數來表示不等式解集，再結合條件確定參數的值.

2.系數含參不等式：通過分類討論參數的正負，利用不等式的性質求出不等式的解集，再結合條件確定參數的取值范圍.

3.已知含參數不等式（組）的解（尤其注意一些特殊解，比如：無解，有解，有幾個整數解）求參數的值或范圍，先求不等式（組）的解集，再結合數軸把參數解集看成數軸上的動點來確定參數的值范圍，要注意臨界值的確定.

4.含參數方程（組）和不等式：先把方程（組）的解用參數表示，再與不等式的解集進行對應起來，構造新的不等式，求出參數的取值.