直角三角形的判定

張興筑

【摘要】 直角三角形是三角形中一類特殊的三角形，很多幾何問題需要借助直角三角形來解決，準確判定或構造直角三角形，是解決問題的關鍵. 本文舉例說明判定直角三角形的幾種方法.

【關鍵詞】 直角三角形;判定

1 根據三角形的角來判定

定義 如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三角形;

定理 如果三角形中有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形.

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點E，F分別在AD，CD上，且AE=DF=2，BE與AF交于點G，點H是BF的中點，連接GH，求GH的長.

解 因為四邊形ABCD是正方形，

所以∠BAE=∠ADF=90°，

AB=AD.

在△BAE與△ADF中

AB=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

所以△BAE≌△ADF.

于是∠ABE=∠DAF.

因為∠ABE+∠AEB=90°，

所以∠DAF+∠AEB=90°.

于是∠BGF=∠AGE=90°.

因為∠C=90°，

BC=5，CF=3，

所以BF=BC2+CF2

=52+32

=34.

因為∠BGF=90°，

點H是BF邊的中點，

所以GH=12BF=342.

2 根據三角形三邊的關系來判定

勾股定理的逆定理：如果三角形中兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角.

例2 如圖2，在△ABC中，點D是邊BC的中點，AB=5，AD=6，AC=13 . 求證：AB⊥AD .

證明 如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接CE.

因為點D是BC的中點，

所以CD=BD.

在△CDE與△BDA中，

CD=BD，∠CDE=∠BDA，DE=AD，

所以△CDE≌△BDA.

于是∠CED=∠BAD，

CE=AB=5.

在△ACE中，CE=5，

AE=2AD=12，AC=13，

因為52+122=132，

即CE2+AE2=AC2.

于是∠CED=90°.

從而∠BAD=90°.

所以AB⊥AD .

3 根據三角形的中線與邊的關系來判定

定理 如果三角形一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，點E為邊AC的中點，過點E的直線交BC邊于點F，點D為直線EF上一點，且AD=CD，過點A作AG∥BC交DE于點G，當BF=AG時，求證：△ABC是直角三角形.圖3

證明 如圖3，連接AF.

因為AD=CD，

點E為邊AC的中點，

所以DF⊥AC.

于是AF=CF.

因為點E為邊AC的中點，

AG∥BC，

所以∠AGE=∠CFE，AE=CE.

在△AEG和△CEF中，

∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE，

所以△AEG≌△CEF.

于是AG=CF.

因為BF=AG，

所以BF=CF=AF，

即AF=12BC.

因此△ABC是直角三角形.

練習

1.如圖4，已知等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別是AB，BC邊的中點，F為AC邊上的點，且∠C=2∠CEF，點G為EF的中點，連接DG，求DG的長.

2.如圖5，在正方形ABCD中，已知點E是邊BC的中點，點F在邊AB上，且BF=13AF，請你判定DE與EF之間的數量關系和位置關系，并說明理由.

3.如圖6，在△ABC中，∠ABC=5∠ACB，D是AC邊上的點，BD垂直于∠BAC的平分線AF，垂足為點F，M是BC邊的中點，E是線段BM上的一點，且EM=EF，求證：DE⊥BC.

4.如圖7，在△ABC中，AC=BC，點D為邊AB的中點，點E為AB邊上的一點，過點B作BF⊥CE，垂足為點F，BF與CD相交于點G，當AE=CG時，求證：CD=AD .

答案

1.192.

2.DE=2EF，DE⊥EF.

3.提示：連接FM.

4.提示：過點A作AM⊥CE，垂足為點M，與CD的延長線交于點N.