遞推數列求解競賽中的概率問題

蘇麗娟

【摘要】在數學競賽中，經常出現一些以遞推關系為背景的求概率的問題.對于這類問題若運用直接法求概率，困難較大，而根據問題特點建立關于概率的遞推模型，利用遞推的方法，再結合數列知識轉化為計算數列通項公式，可使問題得到順利解決.

【關鍵詞】遞推數列;競賽;概率

下面舉例說明遞推數列在求解競賽中概率問題中的應用.

1由一階遞推數列求概率

形如an+1=Aan+B（n∈N*，A≠1）的遞推公式的數列稱為“一階遞推數列”，求解這類問題首先配湊常數λ，即an+1+λ=A（an+λ），展開、整理后與遞推公式比較系數得（A-1）λ=B，則λ=BA-1，進而轉化為等比數列求解.

例1某情報站有A、B、C、D四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種.設第一周使用A種密碼，第七周也使用A種密碼的概率是（用最簡分數形式）.（2012年全國高中聯賽）

解設第k周使用A種密碼的概率為Pk，則第k周未使用A種密碼的概率為1-Pk，

則Pk+1=13（1-Pk）（n∈N*），

即Pk+1=-13Pk+13.

設Pk+1+λ=-13（Pk+λ），

則Pk+1=-13Pk-43λ.

令-43λ=13，得λ=-14，

所以Pk+1-14=-13Pk-14.

因為第一周使用A種密碼，

所以P1=1，P1-14=34，

于是Pk-14是以 34為首項，-13為公比的等比數列，

所以Pk-14=34·-13k-1，

即Pk=34·-13k-1+14，

故P7=34·-137-1+14=61243.

例2甲、乙兩人輪流擲一枚質地均勻的骰子，甲先擲.規定：若甲擲到1點，則甲繼續擲，否則由乙擲;若乙擲到3點，則乙繼續擲，否則由甲擲.兩人始終按此規則進行.則第n次是甲擲的概率為Pn=.（2014年全國高中聯賽山東預賽）

解甲擲到1點和乙擲到3點的概率均為16，甲未擲到1點和乙未擲到3點的概率均為56.

設第k次由甲擲的概率為Pk，

則由乙擲的概率為1-Pk.

因為甲先擲，所以P1=1.

第一次由甲擲，則第二次繼續由甲擲的概率為P2=16，乙擲的概率為1-16=56，

于是第k+1次由甲擲的概率為

Pk+1=16Pk+56（1-Pk），

即Pk+1=-23Pk+56.

設Pn+1+λ=-23（Pn+λ），

則Pn+1=-23Pn-53λ.

令-53λ=56，得λ=-12.

所以Pn+1-12=-23Pn-12.

即數列Pn-12是以P1-12=12為首項，-23為公比的等比數列.

所以Pn-12=12·-23n-1，

即Pn=12+12·-23n-1.

2由二階遞推數列求概率

形如an+2=Aan+1+Ban（n∈N*）的遞推公式的數列稱為“二階遞推數列”，求解這類問題首先在遞推關系式的兩邊加上λan+1進行配湊：an+2+λan+1=（A+λ）an+1+Ban，即an+2+λan+1=（A+λ）an+1+BA+λan.令λ=BA+λ，求出λ的值，進而轉化為等比數列求解.

例3為了釋放學生壓力，某校高三年級一班進行了一次投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置上，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設甲每次投籃命中的概率為23，乙每次投籃命中的概率為12，且各次投籃互不影響.

（1）經過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望;

（2）若經過n輪投籃，用pi表示第i輪投籃后，甲的累計得分低于乙的累計得分的概率.

①求p1，p2，p3;

②規定p0=0，經過計算機模擬計算可得pi=api+1+bpi-1（i≥1，i∈N），請根據①中p1，p2，p3值求出a，b的值，并由此求出數列{pn}的通項公式.（2021年全國高中聯賽甘肅預賽）

解（1）X的可能取值為-1，0，1，

則P（X=-1）=13×12=16，

P（X=0）=23×12+1-23×1-12=12，

P（X=1）=23×12=13，

所以X的分布列為

X-101P161213

期望E（X）=-1×16+0×12+1×13=16，

即經過1輪投籃，甲得分的期望為16分.

（2）①由（1）得p1=16.

經過兩輪投籃，甲的累計得分低于乙的累計得分的有兩種情況：一是甲兩輪都得分為-1分;二是兩輪中甲一輪得0分，另一輪得-1分.

p2=162+C12×12×16=736.

經過三輪投籃，甲的累計得分低于乙有四種情況：

-1-1-1;-1-1+0;-1+0+0;-1-1+1.

p3=163+C23162×12+C13×16×122+

C23162×13

=43216.

②將p0，p1，p2，p3的值分別代入pi=api+1+bpi-1，得

16=736a，736=43216a+16b，

解得a=67，b=17.

所以pi=67pi+1+17pi-1，

pi+1=76pi-16pi-1.

設pi+1+λpi

=76+λpi-1676+λpi-1，

即pi+1+λpi=76+λ·pi-17+6λpi-1.