簡述數形結合思想在初中數學教學中的滲透

摘 要：初中數學知識具有承上啟下的作用，既能幫助學生鞏固小學數學知識，又能為學生今后更高層次的學習打下基礎。文章從數形結合的使用原則和常用方法入手，指出數形結合思想在初中數學教學中的重要價值，詳細闡述了數形結合思想的教學應用和滲透途徑，以期為相關教師提供參考。

關鍵詞：初中數學;數形結合;使用原則;教學方法

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2022）30-0067-04

引? 言

初中數學知識體系主要分為三大類：一是關于數字的知識，如實數、代數、方程及方程組、不等式及不等式組等;二是關于圖形的知識，如平面幾何、立體幾何;三是數形結合的知識，主要體現在解析幾何

上。數形結合思想本質上是將直觀的圖像和抽象的數學語言相結合，在圖形問題和代數問題之間相互轉化，實現代數問題幾何化，幾何問題代數化[1]。隨著教學理念的轉變和教學方法的創新，近年來數形結合思想在初中數學教學中的應用越來越廣泛，已經成為解決實際問題的一種重要方法。以下筆者結合實踐經驗，針對數形結合思想在初中數學教學中的應用和滲透進行探討。

一、數形結合的使用原則和常用方法

（一）數形結合的使用原則

1.等價性原則

數形結合并不是在所有數學問題中均可以應用，而是當代數和幾何具有等價性時，才能實現兩者的轉化。一些圖形的表達方式有局限，提供的信息量少，盲目采用數形結合，會導致解題不嚴謹。以數軸為例，數軸上的點和實數是一一對應的關系，這兩者具有等價性，因此可以采用數形結合思想。

2.雙向性原則

對于一些數學問題，如果只進行代數分析或幾何分析，都不能明確知識的內在聯系，此時便可采用數形結合，實現圖形和代數的雙向轉化。以平方差公式、完全平方公式的推導為例，基于雙向性的數形結合思想，一方面是利用多項式的乘法法則，從數的角度進行推導;另一方面是利用四邊形面積的變化，從形的角度進行推導[2]。如此便可將數字問題直觀化、圖形問題邏輯化，方便學生理解。

3.簡單性原則

針對不同的數學問題，采用的解題方法也不同，而且解題方法可能不止一種。有些問題采用圖形法更加簡單快捷，有些問題則需要精準計算。在應用數形結合時，學生應找到最簡單的解題方法，而不是機械性地將數與形結合，應對復雜問題進行簡單化處理，以形成清晰的邏輯和解題步驟。

（二）數形結合的常用方法

1.以形助數

以形助數有利于學生直觀理解抽象問題，幫助學生形成清晰的解題思路。初中生的閱歷少，而且思維容易受到多方面因素的影響，理解抽象知識時有難度。以形助數，就是利用簡單的圖形來理解復雜的數學問題，形成一定的解題技巧。

2.以數解形

以數解形有利于分析圖形結構特點，實現從幾何到數量的有效轉化。學生掌握幾何中的數量關系后，結合圖形的結構特征，將兩者整合起來就能形成解題思路，為解答更復雜的數形結合問題打下基礎。初中數學教材中有很多使用字母或數字表示的公式，在教學這些公式時，教師可以采用數形結合。教師在教學中滲透這一思想時，應注重培養學生的信息篩選能力，引導學生對數量關系進行深入理解，從而使其掌握相應的圖形結構[3]。

3.數形互變

數形互變有利于把握數與形的關聯，在解題中實現數形互助。教學時，教師應引導學生從已經掌握的數學知識和結論入手，探究數和形之間的變化，使其深入挖掘這兩者的內在聯系，更好地感知數字與圖形。

二、數形結合思想在初中數學教學中的重要價值

（一）激發學生的學習興趣

和小學數學相比，初中數學涉及的知識體系有所擴大，學習難度也有所提高。初中生的思維方式正處于過渡時期，他們對理論知識的學習興趣不濃，學習效率低下。在教學過程中，教師采用數形結合思想可以改變這一現狀，圖形和數字的結合、轉化、互變，能為學生創設一個真實的學習情境，有助于激發學生學習興趣，提高學生學習積極性，使其自覺參與到課堂活動中。

（二）強化知識記憶能力

數學是一門工具性學科，要想學好數學、用好數學，學生首先要牢牢記憶概念、特征、定理、公式等基礎知識，如此才能在解決問題時選用相應的知識點。學生在采用數形結合思想記憶數學知識時，能在腦海中形成具象的畫面，不但記得準確，而且記得時間更長。如此，在面對真實的數學問題時，學生才能做到“下筆如有神”。

（三）培養學生的數學思維

數學知識源于生活，同時又為實際生活服務。從生活中提煉數學元素，有助于培養學生的數學思維，使其真正做到學以致用[4]。在學生采用數形結合思想解決抽象問題時，教師要引導學生觀察、聯想、分析，拓展學生思維空間。學生掌握數形結合思想，又能反作用于學習過程，將不同知識點融會貫通，建立屬于自己的知識體系。

三、數形結合思想在初中數學教學中的應用

以下結合例題，介紹數形結合思想在實數、整式運算、坐標系、函數、方程中的應用情況。

（一）實數

例題1：如圖1，數軸上有A、B、C、D四個點，根據它們各自的位置，判斷哪一個點最接近？

數軸上的點和實數一一對應，利用數軸可以進行實數加減，也能表示相反數、絕對值、不等式的解集等。例題1本質上是求解的大小，可按照以下步驟進行：先計算，再計算、，最后計算。解題過程如下。

由30.25<35<36，可得5.5<<6;所以11<<12，-12<<-11;所以-1<<0，即C點最接近。

（二）整式運算

例題2：圖2是由4個全等的長方形拼成，根據中間空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關于a、b關系的恒等式。

圖形比較形象直觀，但定量計算時要依靠代數。對于復雜的圖形，學生應從不同角度觀察圖形的特征，從而發現隱藏條件，用數量正確表示圖形。針對例題2，可以采用以數解形法，解題過程如下。

觀察圖形，中間空白部分的面積有兩種表示方法：①先得出中間正方形的邊長，然后根據面積公式計算面積，即中間正方形的邊長是（a-b），面積表示為（a-b）2。②先計算大正方形的面積，然后減去周邊4個長方形的面積，大正方形的邊長是（a+b），面積表示為（a+b）2;1個長方形的面積是ab，4個長方形的面積之和是4ab;因此中間小正方形的面積是（a+b）2-4ab。

即根據圖2得到a、b關系的恒等式是：（a-b）2=（a+b）2-

4ab，剛好是完全平方公式的推導過程。

（三）坐標系

例題3：如圖3，已知正方形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，邊AB上有一點D坐標是（4，3）。當△CBD繞著點C旋轉90°，那么旋轉后點D對應的點D坐標是（）。

A.（1，8） ? ? ? ? ? B.（-1，0）

C.（8，1）或（-1，0） D.（1，8）或（-1，0）

該題考查的是在平面直角坐標系中，坐標點位和圖形變換的關系。圍繞已知條件，解題時重點有兩個：一是△CBD旋轉90°分順時針和逆時針兩種情況;二是根據圖形特征計算點D的坐標。解題過程如下。

因為點D（4，3）在邊AB上，可得BC=OA=4，

AD=3，BD=1。①當△CBD順時針旋轉90°，點D在x軸上，此時OD=1，即D坐標是（-1，0）。②當△CBD逆時針旋轉90°，點D到x軸、y軸的距離分別是8和1，即D坐標是（1，8）。綜上，點D的坐標是（-1，0）或（1，8），答案選擇D。

（四）函數

例題4：已知一次函數y1=kx+b和y2=x+a的圖像如圖4，對于以下結論：①k<0;②a>0;③當x<3時，y1A.0B.1C.2D.3

數形結合思想在函數中的應用具有代表性，因為函數不僅有表達式，還有對應的圖像[5]。表達式和圖像的相互轉化，能提供全面的信息，這些信息就是解題關鍵，解題過程如下。

分析圖像可知：①y1=kx+b的圖像呈下降趨勢，和y軸相交于正半軸，說明k<0，b>0。②y2=x+a的圖像呈上升趨勢，和y軸相交于負半軸，說明a<0。③兩個函數的交點橫坐標是3，從圖像位置關系看，x<3時，y1的圖像在y2上方，說明y1>y2。因此，正確結論只有1個，答案選擇B。

（五）方程

例題5：如圖5，已知某花園是長方形ABCD，長度為50m、寬度為30m，規劃在內部修建3條寬度相同的道路，其中兩條和邊AB平行，另一條和邊BC平行，其余部分種植花草，每一塊草地的面積是50m2，

問道路寬度是多少？

方程及方程組是解決幾何問題的有效方法，根據已知條件和圖形特征列出方程然后進行計算，可以減少計算量，是數形結合思想的重要體現。本例題考查的知識點是一元二次方程，解題過程如下。

假設道路寬度為x，結合圖形將6塊草地平移后組成一個長方形，那么它的長是50-2x，寬是30-x。已知每塊草地的面積是50m2，6塊草地的面積之和是300m2，可列出方程（50-2x）（30-x）=50×6，化簡可得x2-55x+600=0，求解得到x1=15，x2=40，結合題目將x2舍去，最終得到道路寬度為15m。

四、如何在教學中更好地滲透數形結合思想

（一）模仿實踐，初步感受數形結合思想

數形結合思想剛開始應用在教學中，應該從簡單的案例入手，讓學生直觀感受。例如，數軸可以描述有理數的絕對值，教師可以提出問題：互為相反數的兩個數，它們的絕對值有什么關系呢？對于這個問題的解答，教師可以利用數軸上的點表示數，然后讓學生模仿和實踐，從而發現它們距離原點的距離相等，即絕對值相等。

（二）對比運用，深化理解數形結合思想

初步感受數形結合思想后，教師可在教學中運用對比方法，讓學生進行深入理解。以函數為例，一次函數比較函數值的大小，通常結合函數的增減性即可做出判斷。但是，反比例函數的圖像不連續，是由兩條曲線組成的。這時，教師可以讓學生自己嘗試，畫出反比例函數的圖像，然后區分象限進行考慮;如果在同一個象限，可利用增減性比較函數值大小。教師讓學生對比嘗試，借助圖形解決問題，能加深其對數形結合思想的理解，以便其解題時靈活運用。

（三）獨立思考，充分掌握數形結合思想

當學生對數形結合思想有了深入了解后，教師應作為引導者和管理者，發揮學生的主體作用，讓他們通過獨立思考，充分掌握數形結合的應用方法。一方面，教師可以利用一連串具有相關性的問題，引導學生培養觀察、猜想、歸納能力，通過由數到形、由形到數的轉化，提高數形結合思想的運用能力。另一方面，學習數學知識是為了解決實際問題，教師還應為學生創設真實的生活情境，讓學生學會采用數形結合的思想去解決實際生活中的問題，從而簡化解題步驟，提高解題效率[5]。

結? 語

綜上所述，數形結合是一種重要的數學思想，能激發學生的學習興趣，提高學生知識記憶能力，培養學生數學思維。文章以實數、整式運算、坐標系、函數、方程等課程知識為例，結合例題介紹了數形結合思想在解題中的應用。在實際教學過程中，教師應考慮學生的實際情況，合理設計教學方案，讓學生循序漸進地感受、理解、掌握數形結合思想，實現預期教學目標。

[參考文獻]

【1】李巖青.“四點突破”理念在初中數學數形結合教學中的應用探索：以“反比例函數的幾何意義”教學設計為例[J].數學學習與研究，2020（07）：281.

【2】陳小紅.初中數學數形結合思想教學研究與案例研究[J].讀與寫，2021，18（04）：157.

【3】吳學軍.數形結合引思激趣：論數形結合思想在初中數學教學中的滲透[J].數理化解題研究，2019（35）：17-18.

【4】李強.如何在初中數學的教學當中運用數形結合思想[J].中學課程輔導（教學研究），2021（30）：3.

【5】陶玉娥.數形結合思想在初中數學教學中的滲透路徑[J].科學咨詢，2021（20）：252-253.

作者簡介：李敏（1977.8-），女，福建光澤人，任教于福建省光澤縣第三中學，中學一級教師，本科學歷，2004年被評為光澤縣“教壇新秀”，多次獲得光澤三中“優秀班主任”稱號，2021年被評為光澤縣“三八紅旗手”。