GeoGebra軟件在高中數學教學中的探究性應用

張文香

近些年，隨著我國社會生產力和科學技術的不斷發展，教育領域也有了較大的變革，教學的理念、方式、手段等都逐漸現代化，這使教師在教學過程中能夠獲得更高的效率和質量，學生學起來也能夠更加輕松和積極。數學是研究多數科學技術的基礎學科，其承擔著培養學生空間想象、抽象思維、邏輯演繹推理等能力的重要職責。GeoGebra軟件作為現代化的教學工具之一，對幫助學生理解和鞏固知識有著較為積極的促進作用。因此，教師在教學過程中應當注重該軟件的實際運用價值，將其科學、合理地運用在課堂上。

數學是素質教育的重要組成部分，教師在教學過程中要豐富學生的基礎數學知識以及提高學生的基本能力，全面提高學生的學科核心素養，使學生能夠得到更好的發展。GeoGebra軟件的軟件對構建高效課堂有著較為積極的意義，教師應掌握其使用方法，以優化課堂的教學質量。為了幫助廣大教師能夠更好地運用GeoGebra軟件，以更直觀形象的方式引導學生學習數學知識，本文將立足當前高中數學的教學現狀，從GeoGebra軟件的基本功能以及特點出發，就其在高中數學教學中的應用策略進行探究。

一、GeoGebra軟件的功能及特點

GeoGebra軟件的名稱來源于“Geo”與“Gebra”的組合，這就很明顯地表現出了GeoGebra軟件兼具了幾何與代數這兩大功能。該軟件由美國亞特蘭大大學數學系教授Markus Hohenwarter所設計，其作為一種自由且跨平臺的動態數學軟件，能夠將幾何、代數、表格、圖形等直觀地呈現在學生眼前。此外，GeoGebra作為一個動態幾何軟件，幾乎涵蓋了幾何畫板了所有功能，無論是簡單點、線，面，還是相對復雜的圓錐曲線、函數圖形，都能夠通過GeoGebra的繪圖區輕松展示。GeoGebra還能夠對方程、函數等代數問題作出準確且迅速的處理，因為其以Java編程為基礎。因此，其動態網頁的輸出效果相對于其他軟件而言更加優異，從而能夠有效促進技術交流以及資源共享。與其他的幾個主流軟件如幾何畫板、超級畫板等相比，GeoGebra更加突出的方面在于以下三點：一是功能更加全面，上文中已經提到GeoGebra有涵蓋幾何畫板的所有功能，此外，GeoGebra具備幾何作圖、代數運算、數據處理等多種功能。因此，其更能適應中小學短時的課堂教學，教師在教學過程中，可以一開多用，避免了各種軟件反復切換導致的時間浪費。二是GeoGebra的應用有利益教師之間的相互交流和學習。該軟件特有的“作圖過程”以及“作圖過程導航條”可以復盤教師整個教案設計的過程，教師在課后，可以就其所制作的內容向其他教師請教，這十分有利于教師的反思工作。三是GeoGebra軟件免費，教師在使用的過程中可以實現資源共享，與此同時也方便了教師進行線上的交流和學習，符合當下的環境趨勢。

二、應用GeoGebra軟件時的注意事項

教師在使用GeoGebra軟件的過程中主要需要注意以下問題：一是教師需要讓學生基本掌握GeoGebra軟件的大致使用方法。GeoGebra軟件相對其他軟件來說更加容易學習，不過高中學生學起來還是需要一定的時間。因此，教師在教導學生進行應用時可以在復習課上導入這個軟件，并引用一些例子幫助學生理解和操作，使學生能夠逐步掌握其中的應用技巧。在不耽誤教學進度的前提下，學生也能夠較好地掌握GeoGebra軟件的使用，并在此過程中對相關數學知識再次進行較好的回顧。而GeoGebra軟件則能夠在學生后續進行協作式的學習發揮巨大的作用。二是要尊重學生的主體地位，鼓勵學生自主學習。學生的自主性是保證課堂效率和質量的前提，因此，教師要引導學生凡事多加觀察、親身實踐、積極交流，在GeoGebra軟件的應用學習中給予學生一定的試錯空間，從而促使學生更加積極地投身數學學習。三是教師的準備工作必須全面，充分考慮到在GeoGebra軟件的使用過程中可能出現的各種問題，并準備好相關的規避或應對措施。教師需要考慮到整節課的過程教學，還需要準備好GeoGebra軟件的數學對象，如教師授課過程、學生合作交流等情境下可能會使用到的對象。此外，教師還需要設計師生、生生之間的互動環節，并考慮到這些環節是否需要教師的引導和協助，而這些過程GeoGebra軟件是否又需要被應用到。四是聯系學生的課外時間，保證課外所使用在數學學習上的時間是高效且有意義的。課堂教學的時間相對較短，且教育目的和培養目標應該是被貫徹至課堂內外的。因此，教師在上課前就需要將GeoGebra軟件所設計的課件通過線上平臺發送給學生，讓學生進行事先預習以及自主探索，這樣能夠使教師的課堂教學事半功倍。

三、髙中數學教學中應用GeoGebra軟件開展學習的理論分析

將GeoGebra軟件與數學教學相結合，能夠幫助學生更好地認識和理解數學理論知識。美國著名數學學者杜賓斯等人創立了數學概念學習的APOS理論模型，該模型認為學生學習數學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段：操作或活動（Action）階段、過程（Process）階段、對象（Object）階段，以及概型（Schema）階段。學生能夠在這個過程中構建一個相對完整的數學概念體系。在此框架的基礎上，又有一些學者提出在應用APOS理論模型的過程中加以計算機編程、多媒體情境等教學手段能夠獲得更好的教學效果。本文所分析的GeoGebra便是進行網絡計算機數學編程的重要軟件，在展開學科理論的教學過程中，GeoGebra軟件都將成為輔助學生形成科學知識體系的重要手段。此外，除了在學者理論的基礎上展開分析以外，多樣化表征同樣也能夠給予我們想要的答案。學生理解數學理論的能力與學生的表征能力有著十分密切的關聯，多樣化的表征能夠促使學生更好地理解各個知識之間的內在邏輯與聯系。而數學領域最為主要的表征方式有：心智表征、計算機表征、數學表征、解釋表征以及符號表征。GeoGebra軟件都能夠通過編程的形式將這些表征方式的核心概念以形象的圖示呈現在多媒體上，學生通過下文中所提及的方式能夠更好地理解GeoGebra的應用，并在結合GeoGebra展開數學學習的過程中加強自身的表征能力，形成兩者之間的相互促進、相互輔佐。

四、GeoGebra軟件在高中數學中的應用策略

（一）結合協作式學習模式發揮學生的主觀能動性

新課改強調教師在教學過程中要注重培養學生的探究能力和實踐能力。協作式學習模式使學生能夠以小組的形式進行探究學習，從而讓學生相互交流、取長補短、共同進步。該模式與GeoGebra軟件相結合，能夠在啟發學生思維以及培養學生數形結合思想方面達到“1+1>2”的效果，這與新課改中數學學科核心素養的培養要求不謀而合，該教學方式在落實最新教育理念及要求的同時，還能夠促使學生獲得思維的進步和能力的提升。在該模式中，教師首先需要結合學生的特點進行分組，在布置探究任務后，教師以自身的語言描述以及GeoGebra軟件配合紙幣作為學生之間的交流依據和媒介。這個過程中，教師需要不斷地走動觀察，鼓勵每一個學生發揮出自身的主觀能動性，并給予學生適當的試錯空間，使學生能夠以自身思維的獨特性對問題發表見解，并發揮出敢于質疑、勇于創新的精神，積極地投入課堂交流中。其次，教師還需要及時發現問題和接收學生之間的討論信息，對出現的問題進行歸納，討論結束后，教師需要邀請小組代表對討論的內容進行闡述，并讓其他小組分析這個小組所總結的內容中的優點以及存在的問題。最后，所有小組匯報完畢后，由教師對小組的答案進行歸納，并利用GeoGebra軟件進行演示分析，解答學生疑惑，總結課堂內容。

（二）創設導數應用的學習情境

創設學習情境是現階段教師進行教學最重要的手段之一，教師需要通過構建學科相應的情景，使學生通過最直觀和形象的形式理解相關知識。創設教學情境在現階段的教學中極為常見，其能夠有效激發學生的學習興趣，樹立學習數學的自信心，讓學生能夠深度感受數學知識的魅力，從而愛上數學學習，以主動、積極的狀態投入數學課堂中。在數學教學中，導數這一章的培養目標明確指出，學生需要學會利用導數來判斷函數是單調遞增還是單調遞減。因此，教師在運用GeoGebra時，需要積極利用其功能繪制相應的導函數圖像，并進一步創設學習情境，使學生能夠將原函數的極值點與導函數的零點相對應和聯系起來。在GeoGebra的應用中，教師只需進行簡單的兩次輸入：“Roots[g，x（Corner[1]），x（Corner[2]）]”“Extremum[f，x（Comer[1]），x（Comer[2]）]”，就可以呈現出上文中所要求的圖像。此外，因為GeoGebra的便利性，教師僅需掌握其豐富命令的基礎指令，GeoGebra就可以實現自動補齊，這對教師和學生而言都大大提高了課堂效率。另外，還有值得提到的一點，GeoGebra能夠重現制圖過程。因此，教師在教學反思時能夠迅速地回顧教學過程，并通過對GeoGebra軟件的數據再現，發現教學過程中存在的問題，并及時進行糾正，這在一定程度上為教師之間的共享和交流提供了便利，促使教師提高自身教學水平的同時，也為教師的思路建構、課堂的補充拓展提供了便利，有利于教師構建合適的學習情境。

（三）引導學生進行獨立思考和自主研學

在應用GeoGebra教學時，教師可以引導學生理解教材中的基本內容，并適當挖掘其中的內涵，使學生能夠對所學知識有一個更為深刻的認識。培養學生獨立思考和自主學習的能力，是高中數學教學中的重要一環，教師要事先準備好GeoGebra課件，帶領學生先探索課程內容，為學生之后的獨立探究打下堅實的基礎。在傳統的教學課堂上，學生獨立思考過程中最大的障礙在于學生的自主學習缺少反饋，無論是教師還是學生的直接、間接反饋都不夠充分和及時，這就導致了教師的主導與學生的主體連接不夠密切，缺乏互動和溝通，從而使學生在學習的過程中面對一些晦澀難懂的關鍵點時常常一頭霧水，GeoGebra的應用需要師生之間的密切配合，方能達到最好的教學效果。在使用教師提供的GeoGebra課件時，學生需要利用該作圖軟件自身所具備的直觀性和互動性，嘗試自行了解，而教師在這個時候必須留心觀察學生的課堂反應和學習狀況，給予學生適時的點撥和指導，使學生最終能夠做到靈活應用、舉一反三、觸類旁通的同時，能夠感受到幾何語言的魅力，從而激發其學習的探索興趣。這個階段結束以后，學生能夠加深和鞏固對所學內容的認知，減少學習過程中所產生的迷茫和困惑，使其在學習過程中能夠更加高效和精準地抓住問題關鍵，并分析和解決相關問題。

（四）利用GeoGebra繪制分段函數圖像

我國著名數學家華羅庚先生曾言：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”由此可見，數形結合的對數學學習而言尤為重要。而GeoGebra軟件最為顯著的特點在于其能夠幫助學生更為直觀且形象地理解函數性質。因此，GeoGebra軟件的應用可以說是數形結合思想的展示，該思想在幫助和學生解題，深度剖析題目內涵方面有著極為重要的作用，數形結合思想也是培養學生數學學科核心素養的重中之重。教師在函數教學時，就可以利用GeoGebra繪制出函數圖像，并引導學生抓住其中的關鍵信息以及突破點。在繪制分段函數的應用中，GeoGebra的積極作用更為突出。教師可以在命令框中輸入相應的分段函數內容“If[X≥一1，x2-2x，x+4]”便可以得到相關圖像，之后教師就可以直接在GeoGebra軟件上進行題目講解，節省教師在黑板上作圖以及反復修改的時間，而學生也能夠在GeoGebra軟件的精準展示下，迅速地鎖定關鍵數據，再通過自身的演算和思考，最終得出題目所要求的答案。此外，在GeoGebra中，教師可以在建立方式時，利用幾何方式，或者更為精確的代數定義，GeoGebra所能夠運用到的豐富指令，都為教師的教學方式建立提供了良好的條件，教師則需要抓住GeoGebra軟件的特點，在教學中正確、科學地運用該軟件，使學生能夠得到更具系統化的聯系，增強其數形結合的應用思維。

（五）課程融合，發展學生個性

針對學科的教育技術軟件，必須具備學科特有的應用工具，才能最大程度上展現出現代化教學手段的運用效果。GeoGebra軟件作為一個現階段相對成熟和較為優秀的數學教學軟件，其全面的功能將代數、繪畫、幾何等幾個區域密切地聯系在了一起，且幾乎覆蓋了整個高中數學的教學領域。GeoGebra軟件的應用實現了數學的演繹推理過程的可視化，讓學生能夠從最為直觀且形象的視角思考數學的奧秘。此外，教師不僅要在課堂上積極使用GeoGebra軟件，還應當適當地指導學生掌握GeoGebra的使用方法。部分學生在數學學習方面有著相對于其他學生有更強的探索欲望，這些學生在學習數學時就可以使用教師所提供的GeoGebra應用方法進行自主探索，打破基礎教學的局限性，使這些學生獲得更深層次的認知。而基礎中等或基礎稍弱的學生，GeoGebra的應用同樣也可以讓其進行練習和回顧，從而讓學生能夠把握基礎的高中數學內容。

五、結語

綜上所述，將GeoGebra軟件充分應用在高中數學的教學中，不僅對學生有著十分積極的促進作用，而且其能夠幫助教師有效提高教學質量、構建高效課堂。

（宋行軍）