基于改進平滑L0范數(shù)的ISAR成像算法

吳悠 王艷紅 馮俊杰

摘要：在雷達(dá)成像場景中，由于目標(biāo)散射點具有稀疏性，針對低采樣條件下逆合成孔徑雷達(dá)（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）高分辨率成像問題，文章提出一種基于改進平滑L0（Smoothed L0 norm，SL0）范數(shù)的高分辨率ISAR成像算法。首先采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過調(diào)整控制參數(shù)，使得負(fù)指數(shù)函數(shù)趨近于L0范數(shù);通過循環(huán)迭代與梯度投影方法，求出最優(yōu)解。仿真結(jié)果證明，本文算法較傳統(tǒng)算法具有一定優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：逆合成孔徑雷達(dá);壓縮感知;稀疏信號;成像

中圖分類號：TP391? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）21-0036-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

近年來，因具有全天時、全天候、遠(yuǎn)距離成像特性，逆合成孔徑雷達(dá)（ISAR）成像技術(shù)在軍用、民用等領(lǐng)域起到了重要作用，有良好的發(fā)展前景[1-2]。ISAR通過發(fā)射寬帶信號，通過脈沖壓縮技術(shù)可以在距離方向上分離目標(biāo)上的散射點。

由于目標(biāo)相對于雷達(dá)的橫向運動，不同橫向位置的散射體具有不同的相對多普勒頻率，通過頻譜分析，可以實現(xiàn)散射點的分離。距離向和方位向分辨率分別隨著帶寬和相干處理（CPI）的增加而提高。但在使用距離多普勒算法時，橫向分辨率不能隨CPI的增加而任意提高。另外，如果旋轉(zhuǎn)角度過大，目標(biāo)的雷達(dá)散射截面（RCS）會是時變的，這增加了相干處理的難度。因此，在短時間內(nèi)實現(xiàn)成像是有意義的。

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）理論是信號處理領(lǐng)域的一種新理論，近年來引起了越來越多的關(guān)注。該理論表明，在某些稀疏字典中稀疏或可壓縮的特定信號可以通過比奈奎斯特采樣理論所需要的少得多的測量來精確重構(gòu)出原始信號[3-4]，基于最優(yōu)化理論從較少的觀測值中精確重構(gòu)出原始稀疏信號。該理論成為研究的熱點。對于雷達(dá)成像，目標(biāo)相對于成像背景顯示出高稀疏性，即目標(biāo)在雷達(dá)成像場景中稀疏分布。受壓縮感知理論的啟發(fā)，CS理論在雷達(dá)成像領(lǐng)域開展了深入研究，因此稀疏信號恢復(fù)算法可以應(yīng)用于雷達(dá)成像，如SAR成像[5-6]，ISAR成像[7-8]，MIMO雷達(dá)成像[9-10]。CS理論對數(shù)據(jù)丟失不敏感，可以有效改善雷達(dá)成像系統(tǒng)在數(shù)據(jù)丟失情況下的成像問題，提高雷達(dá)成像系統(tǒng)的信號處理能力。

稀疏信號重構(gòu)是壓縮感知理論中的一個關(guān)鍵步驟，常見的稀疏信號重構(gòu)算法有基于L0范數(shù)的重構(gòu)算法、基于L1范數(shù)的重構(gòu)算法、貪婪算法等。雖然基于L0范數(shù)的重構(gòu)算法在無噪聲情況下的具有較好的重構(gòu)效果，但該類算法對噪聲敏感，需要進行組合搜索，因此難以實現(xiàn)。基于L1范數(shù)的算法計算復(fù)雜，限制了其實際應(yīng)用。因此涌現(xiàn)出了有許多更簡單的算法，如正交匹配追蹤（OMP）等貪婪算法，通過迭代的方式，每次選用和稀疏信號高度匹配的原子作為信號的支撐集，更新殘差。

Mohimani等人利用最速下降法和梯度投影原理，提出了帶有控制參數(shù)的高斯函數(shù)序列作為平滑函數(shù)來逼近稀疏信號的最小L0范數(shù)，從而將求解最小L0范數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)的最優(yōu)值問題，該方法成為的平滑L0范數(shù)（SL0）稀疏信號重構(gòu)算法[11]。采用雙層循環(huán)優(yōu)化求解，外循環(huán)建立從大到小的序列[σ1，σ2，…，σJ]，內(nèi)層采用最速下降法獲得近似解。

為實現(xiàn)低脈沖條件下高分辨率ISAR成像，本文提出一種改進平滑L0范數(shù)（SL0）稀疏信號重構(gòu)算法，將ISAR成像問題轉(zhuǎn)化為求解平滑函數(shù)最優(yōu)值問題。采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)[σ]，使平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)，使用梯度投影方法求解最優(yōu)值，實現(xiàn)高分辨ISAR成像。

1 ISAR成像信號模型

假設(shè)目標(biāo)位于遠(yuǎn)場，發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號：

[yt=expj2πf0t+12μ0t2]? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中[f0]為中心頻率。經(jīng)過距離壓縮后，信號可以表示為：

[yt=αexp-j2πf0τtsinct-τt]? ? ? ?（2）

其中[τt]為時延，[α]為信號幅值。假設(shè)目標(biāo)散射點瞬時位置可以表示為：

[x0cosωt-y0sinωt，x0sinωt+y0cosωt]。時延主要由[x0sinωt+y0cosωt]項決定。通過泰勒表達(dá)式并省略高階項，[x0sinωt+y0cosωt]可以表示為：

[x0sinωt+y0cosωt≈y0+x0ωt]? ? ? ? ? ? ? ?（3）

此時時延[τt]可以表示為[τt≈τ0+2y0+x0ωtc]，則距離單元信號可以表示為：

[yt=αe--j4πx0ωtλ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

經(jīng)離散化后，則信號可以表示為：

[yn=αan]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中[an=ej2πfdn]，[fd=-2x0ωdtλ]，[dt]表示采用間隔。當(dāng)存在多個散射體時，來自一個測距單元的總接收信號可以表示為：

[y=Ax+n]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

其中[x]表示散射系數(shù)[α]組成的向量，[A]為稀疏矩陣。ISAR成像問題可以通過下列優(yōu)化問題求解：

[min x0s ? ty-Ax2<ε]? ? ? ? ? ? （7）

2 改進SL0范數(shù)ISAR成像算法

平滑L0范數(shù)的主要思想是首先構(gòu)建逐漸減小的序列[σ]，對于每一個[σ]，通過最速下降法求解平滑函數(shù)的最優(yōu)值。該算法包括兩個循環(huán)。在外循環(huán)中，參數(shù)的值由大到小變化。在內(nèi)環(huán)中，使用迭代最速下降算法來搜索最優(yōu)值。Mohimani等采用高斯函數(shù)[Fσx=iexp-x2i2σ2] 作為平滑函數(shù)求解L0范數(shù)。為進一步改進重構(gòu)效果，本文采用負(fù)指數(shù)函數(shù)[Gσx=iexp-xiσ]作為平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)。兩種函數(shù)的區(qū)別在于，當(dāng)參數(shù)[σ]從無窮大變?yōu)榱銜r，[Fσx]由L2范數(shù)趨近于L0范數(shù)，[Gσx]由L1范數(shù)趨近于L0范數(shù)，較[Fσx]具有較高的重構(gòu)概率。本文所提出算法稱為改進的平滑L0范數(shù)（ISL0）算法。ISL0整個算法步驟如下：

1.初始化： 1） 初始值[x0=AHAAH-1y];

2） 選用一逐漸遞減的[σ]參數(shù)序列[σ1 σ2…σJ];

2.迭代求解：[for j=1 ，… ，J ]

1） 令 [σ=σj]，

2） 在可行集[x=x ：Ax-y2<ε]上，求解[Fσx]的最小值;

令： [x=xj-1]

[for j=1 ，… ，L ]

a） 求解[Fσx]的梯度[σ]

b） [x←x-xx ×min x ，μσδ ]

c） 如果[Ax-y2>ε]，將[x]投影到可行集上

[x=x-AHAAH-1Ax-y]

d） [xj=x].

3.最后得出最優(yōu)解：[x=xJ]

最速下降法的一個重要因素是步長的設(shè)計，對于較大的步長，函數(shù)可能不收斂，但對于非常小的步長，計算效率較低。[minx，μσjδ]確保搜索步長不會過大。

3 仿真實驗

仿真1：在仿真1中，比較ISL0方法與傳統(tǒng)的OMP、SL0和拉普拉斯稀疏信號重構(gòu)算法對一維稀疏信號的重構(gòu)效果。信號模型為[y=Ψx+n]，[Ψ]是一個隨機矩陣，服從高斯分布。稀疏信號的非零元素由[±1]組成。稀疏信號長度為256。

改變稀疏信號的稀疏性，幾種算法的重建概率和均方誤差（MSE）變化曲線如圖1、圖2所示。隨著信號稀疏度的增加，幾種算法的重構(gòu)概率逐漸降低，而ISL0恢復(fù)算法具有較高的重構(gòu)概率和較低的均方誤差。

仿真2：對Yak-42飛機的實測數(shù)據(jù)進行分析。相關(guān)雷達(dá)參數(shù)如下：載頻[10GHz]，信號帶寬[400MHz]，對于距離分辨率為[0.375m]。分別采用32、64脈沖進行成像，對比FFT、OMP、SL0和本文算法的成像結(jié)果。如圖3、圖4所示。可以看出，本值得注意的是，脈沖量越大，成像效果越好。當(dāng)脈沖數(shù)為64時，四種稀疏信號重建算法的效果較好。當(dāng)脈沖數(shù)為32時，F(xiàn)FT算法、OMP算法成像結(jié)果具有較多的虛假散射點，SL0算法成像結(jié)果部分散射點的信息丟失。ISL0算法成像結(jié)果無虛假的散射點，能對圖像中飛機保持著較好的輪廓，得到目標(biāo)輪廓更清晰，可以實現(xiàn)高分辨率ISAR成像。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于改進平滑L0范數(shù)的稀疏信號重構(gòu)ISAR成像算法，采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過構(gòu)建遞減的參數(shù)序列，使得平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)，將ISAR成像問題轉(zhuǎn)化為L0范數(shù)的優(yōu)化問題，實現(xiàn)高分辨率ISAR成像。

參考文獻：

[1] 張榆紅，邢孟道，徐剛.基于稀疏孔徑的聯(lián)合稀疏約束干涉ISAR機動目標(biāo)三維成像[J].電子與信息學(xué)報，2015，37（9）：2151-2157.

[2] 李軍，邢孟道，張磊，等.一種高分辨的稀疏孔徑ISAR成像方法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報，2010，37（3）：441-446，453.

[3] 沈益，朱歌.壓縮感知理論綜述與展望[J].西華師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，39（4）：337-344.

[4] 王友華，張建秋.聯(lián)合稀疏信號恢復(fù)的貪婪增強貝葉斯算法[J].電子學(xué)報，2016，44（4）：780-787.

[5] 陳一暢，張群，楊婷，等.基于改進多重測量向量模型的SAR成像算法[J].電子與信息學(xué)報，2016，38（10）：2423-2429.

[6] Wu Q S，Zhang Y D，Amin M G，et al.High-resolution passive SAR imaging exploiting structured Bayesian compressive sensing[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2015，9（8）：1484-1497.

[7] 吳稱光，鄧彬，蘇伍各，等.基于塊稀疏貝葉斯模型的ISAR成像方法[J].電子與信息學(xué)報，2015，37（12）：2941-2947.

[8] Shao S，Zhang L，Liu H W.High-resolution ISAR imaging and motion compensation with 2-D joint sparse reconstruction[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2020，58（10）：6791-6811.

[9] 蒲濤，童寧寧，馮為可，等.基于塊稀疏矩陣恢復(fù)的MIMO雷達(dá)擴展目標(biāo)高分辨成像算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2021，43（3）：647-655.

[10] 胡曉偉，童寧寧，何興宇，等.基于Kronecker壓縮感知的寬帶MIMO雷達(dá)高分辨三維成像[J].電子與信息學(xué)報，2016，38（6）：1475-1481.

[11] Mohimani H，Babaie-Zadeh M，Jutten C.A fast approach for overcomplete sparse decomposition based on smoothed $＼ell ^{0}$ norm[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2009，57（1）：289-301.

【通聯(lián)編輯：梁書】