親歷規律探究的過程，提升數學思維的品質

謝小慶

摘 要：“探究規律”的專項教學推動小學生自主解題思維能力的顯著提升，從而實現小學生解題思維角度更具多元化特性，因此此項教學值得展開全面探究。在具體教學階段中，要讓學生感悟不同層次的猜想方法，經歷不同思路的探索路徑，并能融通在不同探索路徑下的規律表達，以更好地實現小學生數學學科素養的整體化增進。

關鍵詞：猜想;多元路徑;融通規律

有效探究規律是如今小學課程教學中的重點環節所在，也是提升小學生數學解題意識的重要基礎。教師具體開展教學的階段中，需要全面關注相關教材內容，以實現教學的高品質開展，真正意義上提升小學生的數學解題思維，從而實現課堂教學朝著高效率與高品質的方向發展。

一、嘗試猜想，體會猜想的方法

猜想是具有顯著革新特征的專項思維運作互動，其不僅是合理化探知的先導，也是改善問題的重要方式。在具體教學階段中結合猜想式教學，可以讓學生依據現已獲得的知識內容，同時借助自我的實踐來獲取全新的想法與認知，同時對猜想的實際內容展開探究。學生借助標準化的學習方式，不僅可以獲取較系統化的數學知識，還可以規范應用思想，獲取學習體驗，讓學生充分享受學習所帶來的快樂。在教學“多邊形的內角和”這節課時，教師先后三次安排了猜想的環節。

片段1：

第一次猜想：在探究四邊形內角和的活動之前，讓學生猜想四邊形的內角和是多少度。

師：同學們，根據你們的經驗，你認為四邊形的內角和可能是多少度？你又是怎樣想的？

生1：我覺得四邊形的內角和要大于180°，因為三角形的內角和是180°，它有3個角，而四邊形有4個角。

師：這個想法有一定的道理。

生2：因為長方形和正方形的內角和都是360°，而它們都是四邊形，所以我覺得四邊形的內角和也是360°。

師：從特殊的四邊形來猜想一般的四邊形，這個聯想很有價值。那么這些猜想是否正確，還得去驗證。

片段2：

第二次猜想：在探究五邊形內角和的活動之前，讓學生猜一猜五邊形的內角和是多少度。

師：同學們，現在我們已經知道了三角形和四邊形的內角和了，那你能猜一猜五邊形的內角和是多少度嗎？

生1：我認為五邊形的內角和會大于360°，因為它有5個角。

師：角越多，和越大，有道理。

生2：因為三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，所以我認為五邊形的內角和是720°。

師：你是根據數據的特點來猜想的，真會觀察。

生3：540°，因為360°比180°大180°，我覺得五邊形內角和比360°大180°。

師：你覺得五邊形內角和與180°有關，真會思考。

片段3：

第三次猜想：在學生探究完五邊形和六邊形的內角和之后，讓學生猜想七邊形、八邊形的內角和。

師：同學們，照這樣下去，你們覺得七邊形的內角和是幾個180°，八邊形呢？

生：七邊形的內角和是5個180°，八邊形的內角和是6個180°。因為四邊形的內角和是2個180°，五邊形的內角和是3個180°，六邊形的內角和是4個180°。

《義務教育數學課程標準》指出：在數學的學習過程中，應該給學生創造足夠的時間和空間，使其親歷完整的觀察、猜想、驗證等一系列活動過程。可見，猜想是學習中一個非常關鍵的環節，也是探究數學知識不可或缺的方法，需要教師以學生現有的認知基礎以及新知學習條件為出發點，引導學生大膽地想象，然后對所學知識進行推理和驗證，因此，數學猜想是數學發現的起點，更是學生體驗知識的過程。那么，在平時教學中，小學生的猜想能力足夠嗎？怎樣開展猜想才是科學且有效的？在具體的課堂教學過程中，諸多學生往往不會結合應用猜想，其簡單認為個人的奇思妙想便是猜想。這些猜想本質上無具體的依據作為支持，而實際猜想需要充分的合理性。所以，在開展規律探究的實際教學過程中，教師不僅需要給出學生具體的猜想結構，還需要讓學生給予更多的相關依據。在“多邊形的內角和”這節課中，教師設計的三次猜想的方法及思維層次是不一樣的，第一次猜想不需要數據的依托，根據自己已有的經驗，有的學生覺得四邊形的角比三角形的多，所以認為四邊形的內角和比三角形的內角和要大，也有的學生會根據學過的特殊的四邊形（長方形和正方形），它們的內角和是360°，由此聯想到其他的、一般的四邊形的內角和也可能是360°，這種猜想是從特殊到一般的猜想。第二次猜想是基于兩個數據的猜想，學生會根據三角形的內角和以及四邊形的內角和兩者數據之間的關系來猜想五邊形的內角和，它有可能是540°，依據是四邊形的內角和比三角形的內角和多了180°，也有學生認為五邊形的內角和可能是720°，依據是四邊形的內角和是三角形的內角和的兩倍。這些都是通過觀察、分析數據特點從而進行猜想，這是有理有據的猜想。第三次猜想是通過對一組數據的比較而進行的猜想。在猜想之前，學生已經知道了三角形、四邊形、五邊形和六邊形這些圖形的內角和，這時對七邊形的內角和和八邊形的內角和的猜想就有了一組數據，根據這組數據，學生能很快地找出規律、提出猜想。因此，不同的猜想方法體現了猜想的多樣化階層，可以讓小學生在具體學習開展階段通過體驗與驗證的方式，來進一步提升其科學解題思維與意識。在探究規律教學的實際階段中，需要充分注意的是，規律的應用不是核心，核心在于探究的整體過程，開始的時候是怎樣猜想的，驗證之后結果又是怎樣的，與原來的猜想是否一致。

猜想是推動小學生數學解題思維提升的重要方式，教師需要從平時教學的細節之處著手，重視并鼓勵學生大膽地猜想，為創新插上猜想的翅膀，提高學生的數學思維能力。

二、多元路徑，經歷不同的探索

小學生個人數學思維的有效培養與教師的正確引導有著密切的關聯性，在具體教學開展中要為學生創造更多思考的時間和空間，讓學生在思考的過程中對數學知識形成深刻理解。多角度思考，尋找不同的解決問題的方式，往往能讓學生的思考更加深入，這對學生思維能力的發展有著很大的幫助。讓學生在多樣化解決問題的過程中，不僅要獨立思考，還要嘗試換位思考，除了從常規的角度進行思考之外，還要另辟新路，突破固化的思維方式，如此才可以更好地培養小學生在解題過程中的創新精神與意識，讓學生的思維靈活性獲得有效發展。小學階段的數學學習要為以后的數學學習打下扎實的基礎，要使學生對相關的數學知識產生深刻的認識，真正體會知識的本質和內涵，而靈活運用數學知識來解決問題就是學生理解數學知識內涵的重要體現。帶領學生從不同的角度來解決問題，實際上就是帶領學生從題目中聯想數學知識并加以運用的過程，加強解決問題方法多樣化的教學能讓學生對數學知識把握得更加深刻。

在“多邊形的內角和”這節課中，教材的設計意圖是將“求多邊形內角和”的問題轉化成“求若干個三角形內角和”的問題，這是解決多邊形內角和問題的一種策略。這樣設計其實是把復雜的問題轉化成簡單的問題，把未知的問題轉化為已知的問題。這樣安排的原因是把多邊形分成最少數量的三角形，學生在之前的教材中曾經接觸過，教師只需要引導提出這些經驗，那么學生就會自然而然地理解這種方法。但是在實際的教學中，筆者發現，在探究時，有的學生確實是按教材的意思去分的（如圖1），但是，也有的學生有著不同的方法（如圖2），甚至有的學生想到了第三種方法（如圖3）。其中，方法一是根據教材探索規律的路徑，將四邊形分成兩個三角形，五邊形分成三個三角形……學生有過這樣分的經驗，就能較快地理解這種方法，而且利于規律的發現和表達。方法二是基于學生的研究實際，四邊形可以分成兩個三角形，五邊形可以分成一個三角形和一個四邊形（四邊形剛剛才研究過，知道了它的內角和），六邊形可以分成兩個四邊形（或者一個三角形和一個五邊形）……隨著多邊形邊數的增多，都可以在前面研究的多邊形基礎上來進行研究的。并且學生認為這樣分的次數較少，分起來比較簡便，計算起來也不麻煩。而方法三是學生在探究四（六）邊形的內角和時常常會出現的，一開始，大多學生可能覺得這樣分并不能求出四（六）邊形的內角和，然而經過后期討論，學生會欣喜地發現，原來只要拿四（六）個180°減去中間的一個周角（360°）也能求出四（六）邊形的內角和。這樣學生的思維會進一步地打開，轉化的感悟會更多樣，這些都是將未知的問題轉化成已知的問題，只是路徑不同而已。

在經典數學題目“雞兔同籠”問題的練習中，經常會設置問題如“小雞與兔子總共數量為8，所有動物的腿數量加一起為26，則其中小雞和兔子具體有多少？”教材中是引發學生借助畫圖與演練的舉措來解答此問題，不過在具體的教學中，學生往往會結合應用假設的方法來去解答相關問題。所以在具體開展此類問題的解答過程中，任課教師首先需要引導學生結合運用諸如繪圖、推演等多樣化方式開展問題解析，以實現培養學生解題思維的深度。與此同時，任課教師還需要引導學生對相關方式開展有效對比，從而推動學生在不同探索方式中有效把控其中所對應的規律。這不僅可以提升學生對解題規律的深入認知，還可以起到推動解題效率提升的效果。

《義務教育數學課程標準》較關注問題運作的多元化特性以及答案的不指定性。這便需要所有學生對問題具有自己不同的解析，“探究規律”的教學不僅僅需要關注其規律性，而更多需要關注探究規律的方式，其主要目標是讓學生探究階段中感知改善問題的多樣化特性，以更好地培養學生的革新意識。每一個學生都是單獨的個體，持續化拓展“探究規律”的方式，有助于推動學生深入思索，更好地提升學生的參與度，讓所有學生的個性都可以得到很好的保護與引導。

三、互通勾連，明晰內在的聯系

小學階段的數學知識是學生開展學科學習的重要根基，也是任課教師提高小學生數學學科綜合素養的關鍵基礎。在具體的教學開展中，需要教師不局限于專業知識的學習，還要引導學生關注知識中所蘊藏的聯系，以實現教學的高品質開展。只有如此，小學生才可以更好地探知學習數學的真正意義，并更全面地掌握解題的思維與技巧。在探究規律的過程中，方法、路徑可能不同，但本質往往是相同的。

在“多邊形的內角和”這節課中出現的幾種探究路徑中，無論是方法一還是方法二，其規律都可以用“多邊形的內角和=（多邊形的邊數-2）×180°”來表達，而方法三其實不光四（六）邊形可以這樣分，其他多邊形也可以分，以五邊形為例，只需要從五邊形內任意找一個點，連接這個點和五邊形的5個端點，也可以得到5個三角形（如圖4）。那么我們也可以得到它的規律為：多邊形的內角和=多邊形的邊數×180°-360°。到這里看似多邊形內角和有了兩個不同的表達式，但它們是孤立存在的嗎，它們之間就沒有內在聯系嗎？顯然不是！通過讓學生再仔細觀察、比較這兩個表達式，讓學生說說自己的理解。如果將第二個表達式中的“360°”看成“2×180°”，第二個表達式就可以像下面這樣轉化：

多邊形的內角和=多邊形的邊數×180°-360°

=多邊形的邊數×180°-2×180°

=（多邊形的邊數-2）×180°

這其實就是乘法分配律的應用。通過互通勾連，學生就會進一步理解規律。不同方法，異曲同工，學生就應該在這樣開放的探究過程中，明晰內在聯系。

同樣，在“雞兔同籠”問題中，在學生交流完畫圖法和假設法后，讓學生仔細觀察這兩種方法，溝通圖形和算式之間的聯系，發現假設法其實就是將畫圖法抽象化，畫圖法就是將假設法形象化，通過數形結合的思想，明確了兩種方法之間的關系，促進了學生的進一步思考，從而發展了學生的思維。

數學是系統性很強的一門學科，各種方法之間其實聯系非常緊密。在面對有多種策略、方法可以解決問題時，學生對每種方法的理解往往是個體的、分散的，常常是“見木不見林”。而通過對多種方法之間的互通勾連，有助于學生理解多種方法之間的具體關系，明晰所應用方式的具體特點，讓方法進行有效的科學結合，形成合理架構，以打造更完善的知識結構，推動小學生數學知識的完善化。

整體而言，探究規律的小學數學教學對提升學生探知與具體解決問題的能力有著極大的推動作用，同時有助于學生有效養成主動探究的思維習慣。它是一個讓學生自主發現數學知識的過程，這就要求教師精心設計教學，要讓學生學會猜想，敢于經歷不同的探究路徑，溝通不同路徑探究下的規律，實現小學生數學整體解題能力的整體化提升。

參考文獻：

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