求解廣義BBM-KdV方程的守恒型有限差分方法

王希　張爽　胡勁松

摘要：BBM-KdV方程因能描述大量的物理現象如淺水波和離子波等而占有重要的地位，是弱非線性色散介質中長波單向傳播的重要模型，其數值研究少有涉及。針對一類帶有齊次邊界條件的廣義BBM-KdV方程的初邊值問題，提出了一個具有二階理論精度的兩層非線性有限差分格式，合理模擬了問題本身的兩個守恒量，并給出差分格式的先驗估計，討論其差分解的存在唯一性，并用離散泛函分析方法證明該格式的收斂性和無條件穩定性，最后通過數值模擬驗證了該數值方法的可靠性。

關鍵詞：廣義BBM-KdV方程;差分格式;守恒;收斂性;穩定性

DOI：10.15938/j.jhust.2022.04.019

中圖分類號： O241.82

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2022）04-0147-07

Conservative Finite Difference Method for Solving

Generalized BBM-KdV Equation

WANG Xi，ZHANG Shuang，HU Jin-song

（School of Science， Xihua University， Chengdu 610039，China）

Abstract：The BBM-KdV equation plays an important role because it can describe a large number of physical phenomena， such as shallow water waves and ion waves. It is an important model for long-wave unidirectional propagation in weakly nonlinear dispersive media， but its numerical investigations are rarely made. For the initial-boundary value problem of the generalized BBM-KdV equations with homogeneous boundary conditions， a two-level nonlinear finite difference scheme with the second-order theoretical accuracy is proposed， which reasonably simulates the two conserved quantities of the problem. With a priori estimation， the existence and uniqueness of the difference solutions are dicussed. By the discrete functional analysis method the convergence and unconditional stability of the scheme are also proved. Finally， some numerical experiments verify the robustness of the proposed scheme.

Keywords：generalized BBM-KdV equation; difference scheme; conservation; convergence; stability

0引言

1差分格式及守恒性

2差分解的存在性

3收斂性、穩定性及數值解的唯一性

4數值實驗

5結語

本文對一類帶有齊次邊界條件的廣義BBM-KdV方程的初邊值問題（1）～（3）進行了數值方法研究，提出了一個兩層非線性數值差分格式（6）～（8），該格式是無條件穩定的。從表1可以看出，該數值格式明顯具有二階精度;從表2和圖1、2可以看出，數值式格式對原問題的物理守恒量（4）和（5）也進行了合理有效地模擬。另外，數值模擬還發現，參數β和γ的變化對數值解的誤差影響也較小，所以本文數值求解方法是可靠的。

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（編輯：溫澤宇）