例談“特殊與一般”思想在初中數學教學和解題中的應用*

李碩　何意玲　王海濤

【摘 要】數學思想方法的應用是學生數學學科核心素養生成的主要表現。“特殊與一般”思想包含特殊化與一般化兩個方面，在數學教學中占據重要地位，也是數學解題常用的方法與手段。文章結合兩個數學例題，探究在數學解題中如何借助“特殊與一般”思想加深學生對數學知識的理解，使學生的邏輯推理核心素養得以提升。

【關鍵詞】“特殊與一般”;數學思想;數學解題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0087-03

新頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出以數學的“三會”（即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界）作為義務教育階段數學課程教學目標，延續了我國數學課程標準的“四基”元素，使得學生數學學科核心素養的培養具有整體性、一般性和階段性的特點[1]。對此，初中數學教師要將學生數學學科核心素養的培養作為出發點和落腳點，而具有數學基本特征的思維品質是數學學科核心素養的主要表現。所以，教師在課堂教學過程中逐步滲透數學思想方法既可以提高學生的數學思維能力，也是培養學生數學學科核心素養的重要途徑。

1? ?目前數學思想方法教學中存在的問題

首先，許多教師在數學課程教學中一直注重數學基礎知識和基本技能的傳授，很少以數學思想方法為教學內容，同時，教師在教學過程中對數學思想方法的滲透不到位，其原因就是教師對數學思想方法的教學不夠重視。隨著課程標準的變化和教學理念的變革，數學思想方法教學的重要性逐漸突顯，在當下追求深度學習的數學教學中，數學思想方法教學的重要性更是不言而喻。

其次，教師對數學思想方法的理解水平和掌握程度不高，制約著其在教學過程中對數學思想方法的滲透。同時，與數學概念、公式、法則、定理和公理等數學內容相比，數學思想方法的教學需要學生具備較高水平的理解能力，這就需要學生對數學基礎知識和基本技能有深刻的把握和理解，但學生對數學基礎知識和基本技能的掌握程度往往不盡如人意。

最后，目前，如何在課堂教學中滲透數學思想方法已有諸多研究，但數學思想方法教學對學生的數學學科核心素養的培養指向還需明確。

2? ?“特殊與一般”思想的相關概述

數學思維能力是數學能力的重要組成部分，邏輯思維又是數學思維的核心，培養學生的邏輯思維，最終指向的是學生的邏輯推理素養，而邏輯推理素養的核心就是“特殊與一般”的數學思想。對此，教師應在數學解題教學中引導學生理解數學的本質，感悟數學知識所蘊含的思想方法，促進學生數學學科核心素養的形成和發展。數學思想的內涵和外延都很豐富，其中“特殊與一般”思想是由數學推理的思想派生而來的[2]。

無論是數學概念的教學，還是數學命題的教學，在教學過程中都需要教師從學生已有的現實生活經驗出發，經過數學化的過程，抽象出數學概念，理清數學概念之間的關系。在數學學習的過程中，也需要學生利用“特殊與一般”的數學思想，對已有的知識經驗進行抽象概括，得出一般化的結論后，再對其進行推理驗證。此外，在某些特殊情況下，也需借助一般結論對特殊情況進行驗證，所以“特殊與一般”的數學思想在學生的學習過程中也有著重要的作用。

在數學解題教學中，“特殊與一般”思想占據著重要地位，主要表現在兩個方面：一是“從特殊到一般”，即將數學問題所表征的一般化結論轉化為在特殊情形下的數學問題表征，以此解決問題，從而推廣到數學問題的一般化結論;二是“從一般到特殊”，即從數學問題所表征的一般化情形入手，從而推廣到數學問題的特殊情形，以此解決數學問題。在數學解題中，無論在命題的證明還是試題的解答中，“從特殊到一般”的數學思想都可以在數學解題中抽象出一般化的結論，而“從一般到特殊”的數學思想則可以檢驗一般化結論的正確性。故此，“特殊與一般”思想的兩個方面不僅可以幫助學生解決數學問題，其嚴密的邏輯也可以幫助學生形成邏輯推理素養，在數學解題過程中發揮著不可或缺的作用[3]。

無論是學生的學習還是教師的數學解題教學過程中，“特殊與一般”思想的應用無處不在，所以需要引起師生雙方的重視。下面筆者通過兩道數學題，以“特殊與一般”思想作為解題思路，探討這一思想在數學解題過程中的應用。

3? ?“特殊與一般”思想在數學教學和解題中的應用

3.1? 從特殊到一般

數列通項公式的求解問題從代數角度出發進行解決，通常要對題設條件進行充分的分析，利用公式或者待定系數法求解。以下例題給出了數列的前兩項以及an和前后兩項的關系，可以通過“猜想—驗證”的解題思路解決這一問題。

例1：設數列{an}滿足a1=1，a2=3，且2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1，求數列{an}的通項公式。

分析：針對求解數列通項公式這類問題，從題設條件出發進行代數式運算從而得出結論比較困難。因此，在解題過程中可以用特殊值代入求解，通過在特殊情形下的問題結論，推測數列一般式的基本規律，再通過證明得到答案。

第一步，先分別令n=2，3，4。可以發現：當n=2時，4a2=a1+3a3，解得a3=;同理當n=3時，可以得到a4=4;當n=4時，a5=。

通過對三個特殊結果的構造，可以發現，，，由此猜測。這是由特殊結果所產生的猜想，而猜想的正確性還需要對一般化結論進行驗證。

此道例題的求解過程，從特殊情形入手得到問題的特殊結論，體現了“從特殊到一般”的思想，并將問題的特殊結論作為問題一般化結論的猜想，在此基礎上去驗證問題的一般化結論。從例1的解題過程中可以得到應用“從特殊到一般”思想求解的啟示：可以先考慮特殊情形下問題的特殊結論，如取特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數等，在問題的特殊情形中進行問題結論的歸納總結，再對歸納總結的結論進行驗證[4]。

3.2? 從一般到特殊

基本不等式的應用非常廣泛，是在學習完不等式性質之后學習的一類特殊不等式。以下例題從題設條件中兩數的關系入手，將問題轉化為基本不等式問題的求解，體現了“從一般到特殊”的思想。

例2：求證1999！<10001999。

分析：此題是比較兩數的大小，問題結構相對簡單。不等式左右兩端所得的結果較大，直接求解再比較大小顯然不是正確的解題思路。解決問題的關鍵在于找到題設條件中兩數之間的關系，不難發現，如果將兩數表達成為同一個數值，問題就會迎刃而解。首先令1999=n，則原來的問題可以轉化為一般化的結論。

在例2的求解過程中，將問題的特殊情形轉化為一般情形，得出一般情形下的數學問題結論，再對問題的特殊結論進行驗證，體現了“從一般到特殊”的思想。從解題過程中可以得到應用“從一般到特殊”的思想求解的啟示：首先將問題的特殊情形轉化為一般情形，探討問題的一般性結論，再通過一般性結論驗證問題的特殊結論[5]。

“特殊與一般”的數學思想是指導數學解題的重要思想方法。本文通過兩道例題，展現“特殊與一般”數學思想的兩個方面的內涵及應用，其中，“從特殊到一般”強調從猜想出發去獲得問題結論，這也是大多數自然科學理論的發生過程;“從一般到特殊”強調將問題從特殊推向一般去獲得結論，再去驗證特殊性。在初中數學教學過程中，教師要以數學知識內容為依托，引導學生挖掘數學知識背后蘊含的“特殊與一般”思想，這樣可以幫助學生理解數學知識內容的本質，體會“特殊與一般”思想的奧妙，進而更有效地培養學生的邏輯推理素養。因此，無論是數學知識的學習還是習題的講解，教師都應當注重數學思想方法的教學，使學生將“特殊與一般”的數學思想有效內化，進而在學習新知、解決問題時靈活運用。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]顧沛.數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”[J].數學教育學報，2012（1）.

[3]陳朝東，盧英，蒲秀琴.數學解題中“特殊與一般”關系的體現[J].教苑新秀，2012（8）.

[4]鮑聰曉.巧用“特殊與一般”引領思維突破[J].中學數學教學參考，2018（26）.

[5]林振德.巧用“特殊與一般思想”進行初三數學客觀題解法教學[J].數理化解題研究，2020（2）.

【作者簡介】

李碩（1975～），男，回族，甘肅天水人，博士，教授。研究方向：數學課程與教學論、運籌學及算法、數學模型等。

何意玲（1997～），女，漢族，浙江寧波人，碩士。研究方向：數學學科教學。

Exploration into "Special and General" Thought in Junior Middle School Mathematics Teaching and Problem Solving*

Shuo Li， Yiling He， Haitao Wang

（School of Mathematics and Data Science， Changji University， Changji， Xinjiang， 831100）

Abstract：The application of mathematical thinking methods is the main manifestation of the generation of students' core literacy in mathematics. The thought of "special and general" includes two aspects： specialization and generalization which plays an important role in the mathematics teaching and is also a common method and means of solving mathematical problems. Combined with two mathematical examples， this paper explores how to deepen students' understanding of the mathematical knowledge with the help of the thought of "special and general" in mathematical problem solving， so that students' core literacy of logical reasoning can be improved.

Key words：junior high school mathematics; thought of "special and general"; mathematical problem solving

【通訊作者】

王海濤（1996～），男，漢族，甘肅天水人，碩士，助教。研究方向：數學課程與教學論。

*基金項目：本文系新疆維吾爾自治區一流本科專業—昌吉學院“數學與應用數學”（新教函[2020]61號）階段性成果;新疆生產建設兵團第六師教學研究和師資培訓中心課題“初中數學課堂教學‘引·探·導·測教學模式研究”（項目編號：LSKTJX2019056）階段性成果;新疆維吾爾自治區普通高等學校人文社會科學重點研究基地（培育）“昌吉學院新疆基礎教育質量提升研究中心項目”階段性成果。