空間向量在立體幾何解題中的應用

【摘 要】立體幾何是高中數學中的重要內容，學生在日常學習和考試過程中都會遇到這一類型的題目。對于一些簡單的幾何圖形問題，學生只需要應用傳統方法就可以得到答案，但在復雜圖形和計算問題中，就需要用到空間向量法來解決。向量法能夠簡化幾何問題，幫助學生快速求得問題的答案。

【關鍵詞】高中數學;空間向量;立體幾何;解題策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0084-03

空間向量在立體幾何解題中具有很高的應用價值，無論多么復雜的問題都可以用這種思路將其簡化，而且空間向量還能對立體幾何問題進行轉化，將其變成學生熟悉的代數問題。本文對空間向量的一些定理和考查知識點進行梳理，并分析應用其解決立體幾何問題的策略。

1? ?空間向量概述

1.1? 空間向量定理

空間向量包括方向、大小，其中大小也被稱為長度。當長度是零的時候就是零向量，相反向量就是長度相同但方向相反的量，相等向量則是長度和方向都相等的量。在空間向量中，基本分為共線、共面與分解三個定理，其中共線定理是指兩個向量a、b平行，且存在實數λ，使得a=λb;共面定理是指向量a與向量b不在直線上，向量c和二者存在實數x、y，使得c=ax+by;分解定理是指向量a、向量b、向量c都不在一個平面上，空間內任意一點向量q滿足q=xa+yb+zc。在空間向量中，已知任意三個向量a、b、c都不在一個平面之中，卻又可以成為一組基底，則零向量唯一。

1.2? 空間向量的優越性

在立體幾何解題中，空間向量是一種比較特殊的知識內容，在解決幾何問題方面優勢突出，如求取線面位置關系、點面距離問題時，用空間向量法可以快速解答。學生可以使用坐標系方法建立空間模型，將立體幾何圖形中的線面平行或垂直關系論證出來，就可以將問題快速解決。在空間問題和線面夾角問題中，學生也可以嘗試采用空間向量法表示線與面的垂直平行關系，求出線面夾角。在立體幾何的解題中，通常都會涉及度量與位置關系這兩個問題，其中度量問題是指點、線、面的距離問題與角度問題，位置關系包括線面平行、線面垂直、線線相交等。在分析具體問題的過程中，學生經常需要利用空間向量法處理線與線之間垂直、平行和角度的問題，通過向量證明線與面的平行關系，而在線面角度或者點面距離問題上的應用較少[1]。

1.3? 空間向量的考查要點

在立體幾何解題中，學生需要知道空間向量考查要點具體有哪些，對考查要點進行歸納總結，這樣在考試的過程中才能夠心中有數，臨危不亂。首先，學生要理解平面向量和直線向量，通過向量形式將線、平面之間的位置關系表達出來。在空間向量知識點的考查中，通常需要學生用向量證明平面和直線的位置關系。另外，考試經常會涉及一些角度的計算問題，要求學生在復雜的立體幾何圖形中求出平面、直線之間的夾角。在考試的時候，學生遇到的立體幾何垂直問題比較多，這方面一直都是高考考查的關鍵點，而且考查形式多種多樣，經常會要求學生集中解決平面空間問題。

2? ?空間向量與立體幾何的關系

前文提到，立體幾何是高中數學的常見習題，同時也是新課改背景下高考的重要考點。在空間圖形部分的講解中，教材首先對柱體、椎體等幾何圖形進行了介紹與剖析，初步調動學生的想象力。此后，教材緊接著安排了點、直線、面之間的位置關系，意在進一步培養學生的空間思維，提高學生的推理演繹能力。空間向量是解決立體幾何問題的有效途徑之一，有助于提升學生的數學應用能力，作為解決立體幾何問題的重要工具，空間向量的作用不可忽視[2]。空間向量能夠將抽象的幾何問題轉化為代數問題，引導學生用代數的方法解決問題，使問題更加具體。通常來說，面對空間想象能力較差的學生，教師會首先選擇向量法進行立體幾何問題的講解，這一方法的使用既能夠有效避免立體幾何問題中最難以突破的尋找輔助線問題，又能夠幫助學生快速找準目標，建立空間直角坐標系。需要注意的是，教師應正確選擇引入空間向量的時機，若過早引導學生通過向量解決問題，很可能會影響學生空間想象能力的發展，也可能會增加計算的復雜度，起到反作用，這不利于學生數學學習能力的提升。

3? ?立體幾何解題中空間向量法的應用策略

3.1? 通過坐標法解決立體幾何中線面位置和角度問題

在立體幾何解題中，通常會要求學生用空間向量法解決線面之間的位置關系或者角度問題。學生在解這類問題時首先要確定是否能夠建立起正確的坐標系，用坐標將題目中的已知點表達出來，若是可以那就建立坐標系，求出平面法向量。在法向量的求取中，學生需要在幾何圖形中找出平面的垂直向量，若是沒有那就設一個n=（x，y，z），因為垂直關系，所以n和平面內兩條相交直線垂直，這樣就可以列出方程，將法向量計算出來。在兩個平面夾角問題的處理方面，學生只需要將它們的法向量求出來，也可以通過法向量夾角和公式，將二面角求出來。在立體幾何解題中，學生需要理解出題人的意圖，將題目轉化為自己能夠理解的內容。如在求取平面與點之間的距離時，就是將這個平面的法向量求出來，學生可以在平面上任意取點，將平面外一點和平面上任意點形成的向量取為n1，那么法向量就可以套用公式求出來了。

在二面角問題的求解中，教師需要告知學生，兩個法向量的方向是一進一出的，所求二面角的平面角與兩個法向量的夾角是相同的。若發現兩個法向量的方向是同進同出，此時所求的二面角的平面角將與法向量夾角的補角相等。在判斷二面角究竟是銳角還是鈍角時，可能需要學生對方向進行判斷，對于很多學生來說這是一大難點。因此，在正式計算之前，學生可先依照題意，對所求二面角的大小進行直觀判斷，在此基礎上取相等角或補角即可。

3.2? 立體幾何解題中的空間向量應用步驟

空間向量法作為一種常規解題思路，在高中立體幾何部分比較常見，教師通常都會考查學生對向量的定義、公式等的把握。另外，空間向量法比較簡單，而且應用模式比較固定，學生在使用時都不需要畫線輔助，能夠節省學生的答題時間，并降低解題難度。在采用空間向量法處理立體幾何問題時，學生需要掌握以下幾個步驟。首先，學生需要建立直角坐標系。直角坐標系的建立通常都是在已知條件中選擇三條線，若是沒有那就要找兩條垂直線，然后將第三條線繪制出來。其次，答題過程中學生需要用到坐標點，將坐標向量求取出來，學生在求取時一定要用終點坐標減去始點坐標，這一點不能顛倒。將所有向量坐標都用方程羅列出來之后，學生就可以按照要求套用公式，解決立體幾何問題。最后，在公式應用方面，學生需要認真仔細，不能出現半點差錯，否則就會影響最終答題的結果。在立體幾何解題中，線面夾角問題出現的頻率比較高，學生在解題時通常都會面臨繁瑣的運算過程和復雜的幾何圖形。傳統解題思路顯然不能為學生的解題節省時間，解題過程中也容易出錯。因此，學生在解決這類問題時往往會使用空間向量法，從而化繁為簡，借助幾個常用公式和定義就可以將夾角問題輕松解決。如以下題目：在如圖1所示的正方體幾何圖形中，請將平面BB1D1D和直線A1B間的夾角求出來。

在這道題中，學生首先需要建立直角坐標系，將正方體長度設置為a，通過向量法表示點A1、B、C1，然后將平面法向量和A1B向量表示出來，即A1C1=（-a，a，0），A1B=（0，a，-a）。根據公式可以得出直線A1C1與A1B形成角的余弦值是0.5，那么這兩個向量夾角就是60°，則平面BB1D1D和直線A1B間的夾角就求出來了。

在處理這道題目時，學生需要把握問題的關鍵，將平面法向量求出來。若是題目中并沒有和平面垂直的直線，學生就需要先畫一條垂直于平面的直線，利用方程將法向量求出來，然后再根據題目要求求出平面和直線的夾角。

3.3? 立體幾何解題中空間向量定義的應用

在立體幾何解題中，經常會要求學生用空間向量的定義解決問題。空間向量的定義包括方向和大小兩方面，在一個立體空間中存在方向和大小的量就是向量。如在高中物理教學中，學生需要用矢量表達出力，這在高中數學中就是指的向量。在代數領域中，無論采用哪種方式，都不會對其作用或者性質產生影響，若是用向量法去求取，尤其是立體幾何解題中，學生要能夠用坐標系的方法表示向量。高中立體幾何問題中，學生遇到的多是平面圖形和立體圖形，因此右手直角坐標系就成為了一種常規手段，教師在課堂教學時也經常使用這種手段。如在同一個立體幾何圖形坐標系中，要求學生證明直線a、b是垂直的。學生可以得出a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），通過空間向量知識來證明兩線垂直。通常相互垂直的向量數量積為零，那么在坐標系中學生只需要相乘就可以，若a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0，那么就表示兩個向量垂直，也就證明a、b兩條直線垂直。通過以上案例可以發現，在立體幾何解題中，學生只需要用空間向量法就可以將幾何圖形的位置表達出來，這比以往學生用畫圖的方法求解要簡單很多。很多復雜的立體幾何圖形都可以用代數方法計算出來，在立體幾何解題中，空間向量法除了可以幫助學生解決兩線垂直問題，還可以用來證明兩線是否平行或者相交、異面。

3.4? 應用空間向量求立體幾何中點到平面的距離

想要求出點到平面的距離，關鍵是要確定平面法向量，同時還要找到該點與平面內一點的向量關系。利用點到平面的距離公式，不僅可以教會學生求解點到平面的距離，還能夠拓展到直線與平面的距離或者平面之間的距離[3]。

以下述題目為例：如圖2所示，在三棱錐P-ABC中，D、E、F分別為棱AB、BC、CP的中點。已知，AB與AC相等，均為1，PA為2，求解直線PA與平面DEF所成角為多少度？

該題可采用向量的坐標運算，首先確定A點為坐標原點，并在此基礎上建立空間直角坐標系，具體如圖2所示。結合已知條件A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（，0，0），E（，，0），F（0，，1）可得向量AP、DE與DF分別為（0，0，2）、（0，，0）與（-，，1）。假設n=（x，y，z）為平面DEF的一個法向量，那么n與向量DE、DF相乘均為0，從而可得出x，y，z之間的關系，此時，將x取值為1，可得n=（1，0，）。而后，將PA與平面DEF所成角的大小設置為θ，通過三角函數公式求出θ的值。

根據上述解題分析可知，用向量的坐標運算去解決立體幾何問題，無論是思維深度還是運算技巧方面，都容易被學生接受、理解，可以幫助學生更好地解答相關問題。

綜上所述，空間向量法是一種有效的解題路徑，能夠幫助學生快速解決立體幾何中的一些疑難問題。學生在使用空間向量法時，要靈活運用它的定義和公式，避免解題出錯。

【參考文獻】

[1]李光所.解決立體幾何問題中空間向量的運用[J].數學大世界（下旬），2019（5）.

[2]陸俊玲.淺談向量在立體幾何中的應用[J].科技風，2020（18）.

[3]黃桂南.空間向量在立體幾何中的應用[J].中學數學研究，2017（6）.

【作者簡介】

楊正山（1976～），男，苗族，云南馬關人，本科，中學高級教師。研究方向：數學教學。