初中數(shù)學幾何證明題解題技巧探析

【摘 要】平面幾何是初中數(shù)學的重要組成部分，幾何證明題在數(shù)學學習中屬于重點和難點內(nèi)容，為了幫助學生充分掌握幾何證明題的解題思路，形成縝密的數(shù)學思維，文章以幾何證明題的特征為切入點，探索初中數(shù)學幾何證明題的解題思路，并通過舉例的方式具體分析解題技巧。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;幾何證明題;解題技巧

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0060-03

幾何題的推理論證屬于平面幾何學的重要組成部分，該部分的教學可以有效培養(yǎng)學生的邏輯推理、語言組織及空間想象能力。幾何證明題主要由判斷幾何圖空間位置關(guān)系與論證圖形線段或角與角之間的數(shù)量關(guān)系這兩種題型構(gòu)成，兩種題型既相互獨立，又可以進行相互轉(zhuǎn)換與結(jié)合。

1? ?初中數(shù)學幾何證明題的一般結(jié)構(gòu)

幾何證明題由兩個主要部分組成，一是已知條件，二是求證目標，已知條件是重要的基礎(chǔ)，求證目標為最終目標。初中數(shù)學幾何證明題的解題就是指在已知條件的基礎(chǔ)上結(jié)合所學的數(shù)學理論，以求證目標為任務(wù)展開推理與分析。就一般結(jié)構(gòu)而言，幾何證明題與初中數(shù)學其他教學內(nèi)容具有明顯的異同性[1]。

2? ?影響初中數(shù)學幾何教學有效性的因素

教育是一項非常繁瑣的工作，涵蓋了非常多的要素，涉及范圍廣泛，教育者、受教育者和教育影響是教育的幾個重要內(nèi)容，其中，教育影響指的是教育方法和外部環(huán)境等帶來的影響。教育是否可以有效開展離不開以上幾點要素，教師、學生、校園環(huán)境是影響初中數(shù)學幾何教學質(zhì)量和水平的主要因素。

2.1? 教師

經(jīng)研究證實，教師的教學理念和知識水平會在授課中體現(xiàn)得淋漓盡致，教師的思考方式和解題習慣會在潛移默化中影響學生，所以為了確保幾何教學活動的順利開展，要格外關(guān)注幾何教學中教師的綜合素質(zhì)。教師只有在經(jīng)過專業(yè)的培訓后，并樹立正確的教育理念，才能開展相關(guān)教學工作。

2.2? 學生

學生是教學活動的重要組成部分，在新課程改革的背景下，學生的主體地位有所提高。當今社會，學生對于知識的學習是由多方面要素共同作用的，除了強調(diào)學生的學習興趣以及學習主觀能動性，觀察能力、創(chuàng)造能力和實踐能力等要素也非常關(guān)鍵[2]。

2.3? 校園環(huán)境

校園環(huán)境是學校生活的重要支撐點，其包括兩個重要層次，即教育場地和外部環(huán)境。教學活動通常要求在不同的場所完成，良好的周圍環(huán)境往往能夠使人在思想上產(chǎn)生共鳴，有利于教師和學生之間的溝通與交流，從而保證教學質(zhì)量。

3? ?初中數(shù)學幾何教學的三點思路

幾何教學是初中數(shù)學教學中非常重要的組成部分，涉及對學生空間想象能力與邏輯推理能力的培養(yǎng)。新課程改革后，為了提高幾何教學質(zhì)量，教師需要理清以下三點基本思路。

3.1? 增強三種語言間的轉(zhuǎn)換意識

幾何教學過程中通常采用圖形語言、文字語言以及符號語言這三種表達方式，幾何教學的目標就是培養(yǎng)學生對這三種幾何表達方式進行轉(zhuǎn)換和構(gòu)建的能力。通過幾何教學提升學生的邏輯水平是一個緩慢的過程，教師需引導學生掌握這三種語言的同時學會解題技巧，增強這三種語言間的轉(zhuǎn)換意識，強化語言轉(zhuǎn)換能力。不僅如此，教師在教學過程中還要盡可能地使教學語言和課本使用語言保持一致，發(fā)揮示范引領(lǐng)作用。

3.2? 已知條件用符號表示

教師可以借助不同的符號來表示已知條件，這樣能夠使學生對已知條件有更直觀的認知[3]。幾何教學過程中，很多學生會在看圖時忘記題目中的已知條件，產(chǎn)生“圖題分家”的現(xiàn)象，為了避免這一現(xiàn)象的發(fā)生，利用不同的符號對已知條件進行標記是最為有效的辦法，通過這種方式能夠改善“看圖忘條件”的這一問題。

3.3? 分析過程綜合化

在解決幾何問題時，使用得最多的方法就是綜合法和分析法，綜合法就是根據(jù)已知的條件、定理、公理，經(jīng)過嚴密的推理，推出要證明的結(jié)論，其顯著的特征是“由因?qū)Ч薄ＭǔＧ闆r下，在解決比較簡單的幾何證明問題時，只依靠分析法或者綜合法就可以推理出結(jié)論，但當題目較為復雜時，就要將分析法和綜合法進行有機結(jié)合。

4? ?幾何證明題的具體解題技巧

4.1? 引導學生認真審題

審題是解題的第一步也是至關(guān)重要的一步。審題就是閱讀、理解題目中所涉及的已知條件，明確題目所要求證的結(jié)論，這是正確解題的重要前提。一些學生在解題之前，通常走馬觀花地閱讀題目，以為看一眼題目知道要證明的目標即可，這種心理往往就是導致學生出現(xiàn)重大解題失誤的原因，有的學生做到最后一步時才發(fā)現(xiàn)自己在答非所問，這對于整體的解題速度與準確率都會造成極大的影響。因此，數(shù)學教師教學幾何證明題時應反復強調(diào)審題的重要性，提高學生對于審題重要性的認識[4]。

以下題為例：如圖1所示，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF，求證DE=DF。部分學生簡單閱讀題目后會理解為這道題目要證明的是∠EDF是直角，結(jié)合已知條件飛快寫下證明過程，但等到證明結(jié)束時才發(fā)現(xiàn)最終求證的是其他結(jié)論，但好在二者之間存在一定的關(guān)聯(lián)，學生通過刪減證明∠EDF為直角的部分解題步驟，即可得出證明ΔAED與ΔCFD全等的結(jié)果，從而證得DE=DF，但刪減后必然會使答題面顯得十分混亂。因此在教學幾何證明題的過程中，教師一定要引導學生學會審題，理解題意，這樣在解題時才會達到事半功倍的效果。

4.2? 合理分析題目中的條件

幾何證明題的解題核心步驟是耐心細致地分析已知條件，利用所學數(shù)學知識解決所求證的問題。這需要學生熟練掌握數(shù)學公式，有效結(jié)合已知條件與數(shù)學公式，循序漸進地推出結(jié)論。以下題為例：如圖2所示，AB=DC，AC=DB，AC與DB相交于點M，求證ΔABC與ΔDCB全等。在該題中，AB=DC，AC=DB為有效條件，而點M的存在為混淆條件。面對這類題目，教師一定要引導學生仔細甄別已知條件，迅速篩除無用條件，找出其中的隱藏條件，從而提升解題正確率。

4.3? 引導學生多進行記錄、記憶

為了提高幾何證明題的解題效率，在教學過程中，教師要引導學生多記筆記，把重要的知識點、疑點問題都寫下來，這樣才可以幫助其記憶。“好記性不如爛筆頭”，對于幾何證明題，學生在讀題時可利用符號語言進行標注，這樣在閱讀完題目后，學生可脫離題干，僅通過符號得出大致解題思路。這種方式不僅能夠有效節(jié)約做題時間，提高做題效率，還能夠加強學生記憶。同時，教師還要通過正確的方法提升學生的記憶力。很多學生在解答證明題時存在困難，這是因為沒有掌握正確的證明方法，對于概念和公式的記憶不夠深刻，教師可以組織學生通過比賽的形式加深對概念和公式的記憶，使學生牢記各種證明題的證明方法，這樣的方式也有利于激發(fā)他們的學習熱情，促進其解題能力的提升。

4.4? 挖掘隱含條件

幾何題目中的已知條件是分析和解題的依據(jù)，但很多題目中往往還蘊藏著隱含條件，隱含條件是指題目中雖給出但不明顯，或沒有給出但隱含在題意中的某些條件。對此，在解題過程中，教師要引導學生充分挖掘這些隱含條件，或做好條件的轉(zhuǎn)化，化隱為顯;或根據(jù)題設(shè)把隱含在題意中的條件挖掘出來，化未知為已知，從中找到內(nèi)在聯(lián)系，這樣能避免因忽視隱含條件而造成錯解或解答不完整甚至造成解題困難。學生若能在解題中及時發(fā)現(xiàn)隱含條件并充分利用，不僅能迅速找到解題的突破口，還能簡化過程，減少運算的繁雜性。

4.5? 總結(jié)解題思路，攻克同類型題目

4.5.1? 基本圖形

基本圖形是體現(xiàn)概念與定理的圖形，在幾何解題中起到協(xié)助學生探索復雜幾何題目的解題思路以及幫助學生快速準確添加輔助線的作用。教師應指導學生牢記基本圖形的特征與概念，快速從復雜圖形中剝離基本圖形，讓學生對基本圖形形成條件反射，從而提升學生的解題速度。

4.5.2? 輔助線

當遇到較復雜的幾何證明題時，可以通過增加輔助線來很好地解決難題，把復雜的問題簡單化，根據(jù)“相對集中、畫圖結(jié)構(gòu)、彰顯特殊”的基本要求添加輔助線，使得雜亂無章的圖形看起來更加有跡可循，將復雜的圖形通過添加輔助線后分割成多個簡單的基礎(chǔ)圖形，從而更好地解決問題。輔助線可以把問題中的已知條件和要證明的結(jié)論連接起來，在幾何證明題中怎樣增加輔助線是解決問題的關(guān)鍵。學生要在解題過程中正確添加輔助線，就需要仔細讀題，認真觀察圖形，同時還要熟悉定理和基本圖形的有關(guān)性質(zhì)。

以下題為例：在ABC中，AD是BC邊上的中線，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于O，探究：①當，則等于多少;②當，則等于多少;③當，則等于多少（n為正整數(shù)）。

方法一：過D作DF∥BE交AC于F，如圖3，構(gòu)造“A”型相似。

方法二：過A作AF∥BC交BE的延長線于F，如圖4，構(gòu)造“Z”型相似。

點評：該題目的證明方法不止兩種，但整合分析各種解題方法及共同點在于解題的核心思路是利用輔助線遷移比值，最終得出結(jié)論。從圖形變化上來看，輔助線的添加貌似增添了圖案的復雜度，但實則有利于將幾何題目化繁為簡，可以幫助學生快速理清解題思路。

因此，初中數(shù)學教師在幾何題教學中要引導學生善于添加輔助線，并通過仔細觀察將幾何知識點進行串聯(lián)，從現(xiàn)有條件或隱含條件出發(fā)，推出最終結(jié)論。通過添加輔助線創(chuàng)建過渡條件，可以將幾何題干中的復雜問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生更加熟悉的簡單問題，將題目中看似相互獨立的元素進行連接，從而有效地解答幾何題。

4.6? 建立逆向思維，得出最佳答案

在解決幾何證明題的過程中，教師要引導學生學會逆向思考問題，當根據(jù)正常的解法難以求證結(jié)果時，可以通過逆向思維嘗試解決問題，若發(fā)現(xiàn)結(jié)果和命題相互矛盾，就說明證明結(jié)論不成立。

以下題為例：如圖5，已知AB、CD是圓O內(nèi)非直徑的兩弦，求證AB與CD不能互相平分。

證明：設(shè)AB、CD交于點P，連接OP。

假設(shè)AB與CD能互相平分，則CP=DP，AP=BP。

∵AB、CD是⊙O內(nèi)非直徑的兩弦，

∴OP⊥AB，OP⊥CD。

這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾，所以假設(shè)不成立，因此AB與CD不能互相平分。

對于這樣的證明題，學生一時之間無法正確找到解題方法，便可以嘗試采用逆向思維來解決。幾何解題過程中，使用逆向思維不僅能夠提升解題效率，還有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力以及良好的綜合素養(yǎng)。

初中數(shù)學幾何知識的學習是為以后的學習打基礎(chǔ)的，只有把基礎(chǔ)學扎實，后面的知識才能學得更好。而初中幾何的學習方法多種多樣，教師要引導學生不斷積累經(jīng)驗，總結(jié)方法，掌握解題技巧，學好幾何知識。

【參考文獻】

[1]王玉瑞.例析相似三角形在幾何證明題中的妙用[J].中學數(shù)學教學參考，2022（9）.

[2]陶明.數(shù)形結(jié)合解決幾何證明題[J].中學生數(shù)學，2022（4）.

[3]孫媛媛，劉洪超.一道幾何證明題的多種解法與教學啟示[J].初中數(shù)學教與學，2022（2）.

[4]張秋菊.初中幾何證明題復習題型設(shè)置初探[J].中學教學參考，2022（2）.

【作者簡介】

盧小強（1980～），男，漢族，甘肅臨潭人，本科，高級教師。研究方向：教學理論和中學數(shù)學教學。