是一一列舉還是搭配計(jì)算？

薛陳香

[摘 要]在小學(xué)階段的排列組合問(wèn)題中，一一列舉是最基礎(chǔ)的方法。搭配算法公式是靠簡(jiǎn)易的列舉操作來(lái)印證，而復(fù)雜的排列組合問(wèn)題有時(shí)為了訓(xùn)練學(xué)生有序思考，不得不繞過(guò)搭配運(yùn)算來(lái)一五一十地列舉。正是這種錯(cuò)綜復(fù)雜的微妙關(guān)系帶來(lái)了學(xué)生的生成性教學(xué)資源。

[關(guān)鍵詞]一一列舉;搭配;有序;對(duì)比

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0024-03

【教學(xué)案例】

出示題目（蘇教版教材第九冊(cè)第94頁(yè)）：

教師先讓學(xué)生舉例，再選擇一些不完整的做法寫(xiě)在黑板上，讓學(xué)生一起尋找缺漏，然后讓學(xué)生在畫(huà)有5個(gè)格子的表格中，一個(gè)個(gè)地枚舉。教師提示從長(zhǎng)為10米開(kāi)始有序列舉（如表1），然而許多學(xué)生反其道而行之，從長(zhǎng)為1米開(kāi)始逐個(gè)列舉（如表2）。

新課結(jié)束后的檢測(cè)環(huán)節(jié)出示教材第95頁(yè)的“練一練”第2題：

不知道是因?yàn)橐粫r(shí)大意，還是教師因輕視而刻意為之，原本寫(xiě)在習(xí)題后的提示語(yǔ)——“先填表，再回答”已然不見(jiàn)。教師發(fā)現(xiàn)一位成績(jī)優(yōu)秀的女生愁眉緊鎖后立馬上前詢(xún)問(wèn)：“到底出什么狀況了？”怎料這位女生疑惑地說(shuō)：“這道題與以前學(xué)過(guò)的一一搭配有什么分別呢？只需要列出乘法算式‘3×4=12就可快刀斬亂麻，何必這么大費(fèi)周章！”此言一出，引來(lái)一陣騷動(dòng)。教師錯(cuò)愕，呆了片刻，猛然醒悟，原來(lái)附錄的注腳漏掉了，于是馬上緊急補(bǔ)救：“教材有明確要求，需要一一列舉！”……

一、逃避問(wèn)題，無(wú)視生成性資源

課后，筆者對(duì)三位學(xué)生進(jìn)行了訪談。首先問(wèn)“從長(zhǎng)為1米開(kāi)始逐次往上遞增”的學(xué)生：“你為何要從1米開(kāi)始嘗試？”他答道：“研究問(wèn)題，不都是從最小開(kāi)始的？”接著問(wèn)“從10米長(zhǎng)往下依序遞減”的學(xué)生：“你為何要從10米長(zhǎng)開(kāi)始？”他喃喃道：“書(shū)上這么說(shuō)的。”最后詢(xún)問(wèn)偏好乘法的女生：“你為何試都不試，一步到位，直接算出結(jié)果？”她理直氣壯地說(shuō)道：“本就是計(jì)算搭配方法，何必去一個(gè)個(gè)數(shù)！”……筆者與授課教師交流：“你為什么只展示部分作業(yè)？”對(duì)方理直氣壯：“從10米長(zhǎng)往下依序遞減，這是書(shū)上的定論。更何況‘長(zhǎng) =1米、寬 =10米這種寫(xiě)法很反常，不符合語(yǔ)言習(xí)慣和我們對(duì)長(zhǎng)和寬的通用定義！因此應(yīng)該從最長(zhǎng)的長(zhǎng)度往下遞減。” “對(duì)學(xué)生提出的用乘法直接算出結(jié)果，你為何敷衍搪塞、躲閃回避？”教師找了個(gè)理由：“一一列舉是教材所定，不敢違逆，只不過(guò)我一時(shí)疏忽，制作課件時(shí)遺漏了……”

學(xué)生之所以會(huì)有疑慮，完全是因?yàn)閷?duì)搭配方法計(jì)算與一一列舉沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分所致。搭配方法的算理揭示也是靠一一列舉實(shí)現(xiàn)的，而復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也需要一一列舉，解決這一癥結(jié)的方法是滲透有序思考數(shù)學(xué)思想。有序思考是貫穿問(wèn)題的主軸，例題中用周長(zhǎng)一定來(lái)反推面積的做法，其實(shí)是對(duì)定長(zhǎng)的拆分，這種拆分與搭配（組合）一樣，需要有序思考。按照一一列舉的做法，就要先暫定其中一個(gè)元素（長(zhǎng)或?qū)挘俳敌蚺帕谢蛘呱蚺帕校詈蟀l(fā)現(xiàn)重復(fù)部分，然后剔除，這樣一來(lái)就會(huì)對(duì)學(xué)生造成思維干擾：將搭配與拆分自動(dòng)對(duì)比，而分配長(zhǎng)和寬只能一一列舉，無(wú)法像搭配那樣直接計(jì)算。因此，在后面的一一列舉一葷一素組合時(shí)，學(xué)生理所當(dāng)然想到直接用公式計(jì)算，跳過(guò)一一列舉。

二、 指明要求，迫使學(xué)生一一列舉

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生通過(guò)一一列舉解決問(wèn)題，體驗(yàn)到有序列舉的優(yōu)勢(shì)，并會(huì)根據(jù)有序列舉速戰(zhàn)速?zèng)Q，感受到一一列舉的獨(dú)特作用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性。

教師在備課時(shí)應(yīng)該意識(shí)到，這一課程被編排在第九冊(cè)的教材中，選擇教學(xué)方式時(shí)，應(yīng)考慮到學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備。反思以上教學(xué)片段，不難發(fā)現(xiàn)教師的預(yù)期與學(xué)生的基礎(chǔ)之間存在差距。

在教學(xué)例題時(shí)，教師對(duì)教材亦步亦趨，一一羅列出各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、劃定重難點(diǎn)：首先強(qiáng)調(diào)基本構(gòu)成單位——1米長(zhǎng)的木條，提示長(zhǎng)和寬不存在小數(shù)，然后就對(duì)數(shù)量“22”進(jìn)行拆分，讓學(xué)生明白這個(gè)22米不是別的，其實(shí)就是周長(zhǎng)，最后著重攻克“面積最大”的難題，讓學(xué)生明確“在眾多的解法中尋找最優(yōu)解，也就是在不確定、不唯一的面積算法中找到最大面積”。

按照五年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)更適合用“逆推追溯”的分析法，也就是剖析例題時(shí)，可從條件到結(jié)論順推，但更應(yīng)該從問(wèn)題起步，逆推溯源，由最后的“確定面積”來(lái)反向求長(zhǎng)和寬的具體值，從而在周長(zhǎng)恒定時(shí)，一一列舉長(zhǎng)和寬的各種配對(duì)情況，并根據(jù)長(zhǎng)和寬的守恒增減來(lái)反映面積大小的變化。

在教學(xué)例題時(shí)，教師無(wú)原則地遷就學(xué)生，任其信手列舉，然后將散亂的列舉拿來(lái)“開(kāi)刀”，以此突出有序列舉的優(yōu)勢(shì)。其實(shí)，有序思想早已存在（例如低年級(jí)的數(shù)數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)等），對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可謂是“老相識(shí)”。許多知識(shí)都隱含有序思維，可以說(shuō)，有序性是數(shù)學(xué)思考的基本方法，也是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)邏輯。

因此，筆者倡議：當(dāng)列舉比較多的圍法時(shí)，要做到快刀斬亂麻，將所有可能一次性呈現(xiàn)，就必須喚醒學(xué)生有序思考的經(jīng)驗(yàn)，直接開(kāi)始制訂有序列舉的策略。不僅如此，提供路線比指導(dǎo)方法更管用，因?yàn)橹灰较蛘_，方法是遲早可以得出的，無(wú)非就是多一道優(yōu)化的手續(xù)。如此一來(lái)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就不會(huì)呆板僵化，上述教學(xué)案例中教師的尷尬（必須按照教材從長(zhǎng)度10米逐級(jí)遞減）就會(huì)化于無(wú)形。教師可以順應(yīng)學(xué)生的生成性資源，從最小的1米開(kāi)始逐漸遞增，例如假設(shè)長(zhǎng)為1米，通過(guò)（22-1×2）÷2就可以順利計(jì)算出寬度為10米……至于教師憂慮的“‘長(zhǎng) =1、寬 =10這種表述很別扭”，完全對(duì)解題構(gòu)不成威脅，因?yàn)椤伴L(zhǎng)”與“寬”只是人為命名的，數(shù)字大小沒(méi)有規(guī)定。如果學(xué)生實(shí)在要鉆這個(gè)牛角尖，教師可以提出“只需將長(zhǎng)和寬對(duì)調(diào)即可”。

在備好的原始空表中，教師不妨改良一番，增設(shè)“周長(zhǎng)”一欄（如表3）來(lái)拓展學(xué)生的思維，這樣更利于凸顯不變之中的變數(shù)。

在學(xué)生反饋時(shí)，再改弦更張“22÷2=11”，然后將11分解成兩條鄰邊的長(zhǎng)，對(duì)長(zhǎng)和寬進(jìn)行一一列舉，這樣就能直接與教材從長(zhǎng)度10米開(kāi)始遞減的做法完美銜接。學(xué)生沿著自己的思路，從小到大列舉到5的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)余下的都是長(zhǎng)和寬對(duì)調(diào)后的重復(fù)組合，從而停手。反觀教學(xué)案例，教師沒(méi)有對(duì)教材列舉到6就打住做出合理解釋?zhuān)l(fā)的5格表也帶有很強(qiáng)的暗示性和誤導(dǎo)性（似乎未卜先知，預(yù)知上限只有5種，根本否定第6種的存在）。科學(xué)的做法應(yīng)是：取消表格格數(shù)上限，沒(méi)有固定格數(shù)，由學(xué)生自己調(diào)整后確定。

正確處理好教與學(xué)的矛盾，才是調(diào)整教學(xué)的前提和依據(jù)，教與學(xué)的矛盾處理好了，教學(xué)流程自然就順暢了。首先就是要處理好因果關(guān)系，這點(diǎn)很重要。到底是因?yàn)殚L(zhǎng)和寬的組合存在多樣性，所以導(dǎo)致面積不確定，還是因?yàn)槊娣e本身存在不確定性，所以要去尋找長(zhǎng)和寬的不同組合，這一點(diǎn)與一一列舉的動(dòng)機(jī)是分不開(kāi)的。其實(shí)，從結(jié)論到條件的追溯法更能體現(xiàn)一一列舉的必要性。其次，到底是先從無(wú)序列舉中慢慢探尋有序列舉，還是直接提示有序列舉，這是基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)所做的決定。既然是以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生有序思維為宗旨，就不可能一蹴而就，需要學(xué)生積累有序思考的經(jīng)驗(yàn)，所以此時(shí)可以直接要求學(xué)生有序列舉，這樣教學(xué)的目標(biāo)性更強(qiáng)。最后，是對(duì)重復(fù)性的發(fā)現(xiàn)。即使出現(xiàn)重復(fù)列舉，也不妨礙有序思維的訓(xùn)練，所以教師不需要事先阻止或者壓制學(xué)生重復(fù)列舉，待學(xué)生自然列舉后，將重復(fù)的部分解釋清楚并剔除就可，這樣反而能讓學(xué)生的有序思維更加嚴(yán)密。

三、對(duì)比方法，前后延伸

回顧教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，教師根本沒(méi)有料到學(xué)生會(huì)有“搭配規(guī)律”的操作。有些學(xué)生受到提點(diǎn)，幡然醒悟，發(fā)現(xiàn)原有的方案“3×4=12（種）”更快捷。教材“舍近求遠(yuǎn)”，要求學(xué)生“先填表，再回答”，顯然是為了繞開(kāi)老路，重開(kāi)新路，用新藥治療舊病，引導(dǎo)學(xué)生前后對(duì)比，揣摩搭配計(jì)算與一一列舉的聯(lián)系。然而，很是令人惋惜，教師不明其中原委，制作課件時(shí)漏掉了不可或缺的附帶要求，導(dǎo)致意外發(fā)生。

出現(xiàn)這種狀況，主要責(zé)任在于教師固執(zhí)地按照教材行事，這恰是對(duì)學(xué)生思維的抑制。如果教師高瞻遠(yuǎn)矚，抓住學(xué)生的思維火花，順應(yīng)學(xué)生，就能在對(duì)比后用事實(shí)說(shuō)話——“再英明的策略，換了情境就要另當(dāng)別論”，從而提高站位，為授課畫(huà)上出彩的一筆。然而，令人遺憾的是，教師缺少全局觀，只見(jiàn)到教材的先進(jìn)性，而忽視其劣勢(shì)，不能一分為二地看待問(wèn)題;即使有了全局觀，也覺(jué)得多一事不如少一事，免得節(jié)外生枝。如果沒(méi)有出現(xiàn)意外，這道例題通常存在兩種處理方式：一是完整出示習(xí)題要求，強(qiáng)令學(xué)生使用新方法，然后對(duì)比融通新舊方法，從而明白新舊方法都可行;二是將原問(wèn)法“共有幾種搭配？”改成“共有哪些搭配？”，迫使學(xué)生“就范”——只能列舉。

好的教學(xué)應(yīng)該能夠前后延伸，除了“向前（已學(xué)知識(shí)）追溯”，讓學(xué)生認(rèn)清一一列舉的不足，還可以利用例題2（如圖3）“向后（未學(xué)知識(shí)）展望”。在學(xué)生嘗試一一列舉的策略后，教師可把數(shù)據(jù)擴(kuò)大化，暴露出一一列舉的短板：“等以后了解了最小公倍數(shù)，不用一一列舉就可輕易求解。”如此，學(xué)生才會(huì)長(zhǎng)進(jìn)，并最終明白“隨著知識(shí)的豐富，解題方法也會(huì)更先進(jìn)”，并逐步形成穩(wěn)健的思維習(xí)慣：首先研判“能不能”（一一列舉的可行性評(píng)估），然后斟酌取舍。

教師還可以提點(diǎn)學(xué)生：“在一些情況下，一一列舉成了唯一選擇。例如教材第97頁(yè)練習(xí)十七中的例題3（如圖4）。”

至此，一一列舉和搭配方法計(jì)算之間的關(guān)系總算捋順了，二者都是為有序思考的培養(yǎng)服務(wù)的，但是區(qū)別也很明顯，搭配方法計(jì)算雖然也用到一一列舉來(lái)作為前期的直觀演示，但這只是一種總結(jié)公式的手段，而且搭配方法計(jì)算的是總數(shù)，要的是一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，當(dāng)需要一一判別各種不同的組合情況時(shí)，這個(gè)總數(shù)就不起作用了，而一一列舉就十分適用。因此，只要將教材第95頁(yè)的“練一練”第2題稍作改變，學(xué)生就會(huì)“乖乖”去列舉：將“有幾種葷素搭配？”改為“存在哪些葷素搭配情況？”。

總之，無(wú)論有無(wú)教學(xué)案例中的生成性資源，這節(jié)課都應(yīng)該完成這樣的目標(biāo)——讓學(xué)生靈活決策。當(dāng)然，教師也要靈活教學(xué)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳赟.借助問(wèn)題解決培養(yǎng)“有序”思維：以《一一列舉的策略》一課為例[J].山西教育（教學(xué)），2021（8）：29-30.

[2] 冒金彬.說(shuō)課：內(nèi)容應(yīng)重于形式[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（2）：37-40.

（責(zé)編 金 鈴）