巧用公式 妙手生花

王霞

【摘 要】 ?中考試題中常涉及到求雙曲線上任意兩點與坐標原點圍成三角形面積的問題，其解法常用圖形割補法，但圖形割補法不僅圖形復雜且計算量大，而且成功率較低.本文提供一種簡潔巧妙的公式，利用它進行計算將大大提高解題速度和準確率.

【關鍵詞】 ??反比例函數;三角形面積;圖形割補

在反比例函數背景下探究幾何圖形的面積，是反比例函數中的一類典型問題，是數形結合的典范[1].中考試題中常涉及到求雙曲線上任意兩點與坐標原點圍成的三角形面積問題.解決此類問題的常規方法采取割補的方法，將三角形的面積轉化為其它規則圖形（如矩形、梯形等）的面積來解決.這種方法計算量較大，體現不出數學的簡潔美，下面提供一種簡潔的、公式化的計算方法，以供參考.

1 ?公式及證明

如圖1，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）為雙曲線y= k x （k>0）上的任意兩點，則點A、B與坐標原點O圍成的三角形的面積為：S △AOB= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?（其中A，O，B三點不共線）.

下面就采用常規的方法——圖形割補法對上述結論給與證明.

我們知道，雙曲線y= k x （k>0）的圖象有兩支組成，為了證明的嚴謹性，我們應分兩種情況進行證明：（1）點A和點B在雙曲線y= k x （k>0）的圖象的同一分支上（以兩點都在第一象限證明），如圖1①;（2）點A和點B在雙曲線y= k x （k>0）的圖象的不同分支上，如圖1②.

證明 ?（1）如圖1①，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）為雙曲線y= k x （k>0）上任意兩點，分別過A，B兩點向x軸作垂線，交x軸于M，N，則：

S △AOM= 1 2 ?x 1 · y 1 = 1 2 ?x 1y 1 = 1 2 ?k ，

S △BON= 1 2 ?x 2 · y 2 = 1 2 ?x 2y 2 = 1 2 ?k ，

所以S △AOM=S △BON= 1 2 ?k . ??①

所以S △AOB=S 四邊形OABN-S △BON=S 四邊形OABN-S △AOM=S 梯形AMNB，

即S △AOB=S 梯形AMNB[2]. ?②

因為S 梯形AMNB= 1 2 ?y 1+y 2 · x 2-x 1

= 1 2 ??k x 1 + k x 2 ?· x 2-x 1 = 1 2 ?k · （ 1 x 1 + 1 x 2 ）·（x 2-x 1） = 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?. 所以S △AOB= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?.

（2）如圖1②，延長BO與雙曲線的另一分支交于點C.

由反比例函數的中心對稱性可知：OB=OC，C（-x 2，-y 2），則

S △AOB=S △AOC=S 梯形AMNC= 1 2 ?y 1+（-y 2） · （-x 2）-x 1

= 1 2 ??k x 1 - k x 2 ?· x 2+x 1 = 1 2 ?k · （ 1 x 1 - 1 x 2 ）·（x 2+x 1） = 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?.

注 ?上述證明過程中的①式、②式是反比例函數中的兩個重要結論，應用率非常高.本文中公式是在②式的基礎上推演而生，感興趣的話您可以嘗試從其它角度推演. ?2 ?公式的應用

上述公式簡潔對稱，易于記憶.只要知道反比例函數的解析式及其圖象的任意兩點的橫坐標（或這兩點橫坐標的倍分關系），就可求出：雙曲線上任意兩點與原點（三點共線時除外）連接而成的三角形的面積.下面通過實例說明其應用.

例1 ?（2021年樂山市中考）如圖2，直線l分別交x軸、y軸于A，B兩點，與反比例函數y= k x （k≠0）的圖象交于P，Q兩點.若AB=2BP，且△AOB的面積為4.

（1）求k的值;

（2）當點P的橫坐標為-1時，求△POQ的面積.

解析 ?（1）由AB=2BP，△AOB的面積為4，知

AB AP = 2 3 ， S △AOB S △AOP = AB AP = 2 3 ，所以S △AOP= 3 2 S △AOB= 3 2 ×4=6.

過點P向x軸作垂線交x軸于點H，則PH∥BO，

所以 AO OH = AB BP = 2 1 ，所以 S △POA S △POH = AO OH = 2 1 ，

所以S △POH= 1 2 S △AOP= 1 2 ×6=3，

所以 k =2S △POH=6.因為k<0，所以k=-6.

（2）由（1）知y=- 6 x ，所以P（-1，6）.

由 BO PH = AB AP = 2 3 ，知OB= 2 3 PH= 2 3 ×6=4，所以B（0，4）.

由點P（-1，6），B（0，4）可得y AB=-2x+4.

由 ?y=- 6 x ，y=-2x+4， ?可求得點Q（3，-2）.

所以S △POQ= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?= 1 2 ?-6 · ?-1 3 - 3 -1 ?=8.

例2 ?（2022年廣元市中考）如圖3，已知平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點B在第二象限內，反比例函數y= k x 的圖象經過△OAB的頂點B和邊AB的中點C，如果△OAB的面積是6，那么k的值是 .

解析 ?連接OC，因為點C是AB的中點，所以S △BOC= 1 2 S △OAB= 1 2 ×6=3.

分別過點C，B向x軸作垂線，垂足分別為點M，N，則BN∥CM，BN=2CM.即點B的縱坐標為點C縱坐標的2倍.

設點C的坐標為（t， k t ），所以點B的坐標為（ 1 2 t， 2k t ）.

由公式，得S △BOC= 1 2 ?k · ?t ?1 2 t - ?1 2 t t ?=3，

整理求得k=-4（正值舍去）.

例3 ?如圖4，直線y=-x+b與雙曲線y= 1 x （x>0）的圖象交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點，連結OA，OB，若S △OAB=S △OAD+S △OBC，則b= .

解析 ?由直線y=-x+b的解析式，可知點C（b，0）、D（0，b），

所以S △COD= 1 2 CO·DO= 1 2 b2.

因為S △OAB=S △OAD+S △OBC，

所以S △AOB= 1 2 S △COD= 1 4 b2.

由題意，得-x+b= 1 x ，

所以x2-bx+1=0，解得x= b± b2-4 ?2 ，

所以A、B兩點的橫坐標分別為 b- b2-4 ?2 、 b+ b2-4 ?2 .

由公式，得S △AOB= 1 2 ×1× ??b- b2-4 ?2 ??b+ b2-4 ?2 ?- ?b+ b2-4 ?2 ??b- b2-4 ?2 ??= 1 4 b2，

整理，得 b b2-4 ?= 1 2 b2，兩邊平方，化簡求得b= 4 3 ?3 .

例4 ??（2019年新疆中考）如圖5，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y=-2x與反比例函數y= k x 的圖象相交于A（a，-4）、B兩點，過O點的另一條直線l與雙曲線y= k x 的圖象相交于P、Q兩點（點P在第二象限），若以A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標是 .

解析 ?由直線y=-2x與雙曲線y= k x 的圖象相交于點A（a，-4），于是可求得點A（2，-4），反比例函數的解析式為y=- 8 x .

由反比例函數圖象的中心對稱性可知，OA=OB，OP=OQ，

所以四邊形AQBP是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）. 對角線將平行四邊形的面積四等分，所以S △POA=6.

設點P坐標為（t，- 8 t ）（t<0），

所以S △POA= 1 2 × -8 · ?2 t - t 2 ?=6，解得，t=-1或t=-4，所以點P坐標為（-1，8）或（-4，2）.

評注 ?本例中的常規解法，需要進行分類討論.按點P在點B的上方或下方兩種情況進行分類解答.部分學生由于受思維定勢的影響會出現漏解的情況，而運用本文中的公式解答則可避免因分類討論而產生漏解的情況，從而提高了解題的正確性. ????圖6

例5 ?（2022年寧波市中考）如圖6，矩形OABC，點A在第二象限，點A關于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數y= 6 2 ?x （x>0）的圖象上，BE⊥x軸于點E，若DC的延長線交x軸于點F，當矩形OABC面積為9 2 時， EF OE 的值是 ，點F的坐標為 .

解析 ?連接OD.

因為點A關于OB的對稱點為D，

所以△BOD≌△BOA，所以S △BOD=S △BOA=S △BOC= 9 2 ?2 .

因為△BOD≌△OBC，同底且面積相等，

所以DC∥BO，連接BF，由S △BOF=S △BOC= 9 2 ?2 ，

所以 EF OE = S △BEF S △BEO = S △BOF-S △BOE S △BOE = ?9 2 ?2 - 6 2 ?2 ??6 2 ?2 ?= 1 2 ，

所以OF= 3 2 OE.

設點B（a， 6 2 ?a ），D（b， 6 2 ?b ）（b>a>0）.

由公式得，S △BOD= 1 2 ×6 2 × ?a b - b a ?= 9 2 ?2 ，

整理，得2b2-3ab-2a2=0，解得b=2a，b=- 1 2 a（舍去），

所以D（2a， 3 2 ?a ），OF= 3 2 OE= 3 2 a，點F（ 3 2 a，0）.

過點D作DG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥y軸，交GD的延長線于點H.

由△BHD∽△DGO，得 BH DG = DH OG ，即 2a-a ?3 2 ?a ?= ?6 2 ?a - 3 2 ?a ?2a ，解得a= 3 .

所以點F（ 3 3 ?2 ，0）.

在解決數學問題的過程中，既要讓學生掌握并靈活運用課本上直接或間接給出的結論，還應重視以現有結論和相關題目為載體多角度、多元化的深入研究，進而推導出的新結論的應用.這些結論，不僅能幫助我們快速找到解題的思路，而且對選擇題、填空題等特殊題型的解答，更能起到事半功倍的效果.這不僅有助于激發學生的學習興趣，又能培養學生應用數學結論解決數學問題的能力，同時還提高了學生的數學創新意識，對發展學生的數學思維能力具有重要的現實意義.

參考文獻

[1] 韋麗云.把握思維規律 提升復習實效——以“反比例函數與圖形面積”為例[J].中學數學教學參考（中旬），2022（4），73-75.

[2] 李春花.反比例函數中的幾個重要結論及應用[J].中小學數學（初中版），2019（11），55-57.