形成核心素養(yǎng) 發(fā)展理性思維

杜苗苗 王文 陳美芳

【摘 要】 ?本文對2022年安徽省中考壓軸題進行探究，在解決已有問題的基礎上進行變式拓展，發(fā)掘此問題的數(shù)學價值，得到關于通過函數(shù)教學幫助學生形成核心素養(yǎng)，發(fā)展理性思維的教學啟示.

【關鍵詞】 ?核心素養(yǎng);理性思維;函數(shù)

安徽省中考數(shù)學壓軸題歷年以來都是圖形與幾何領域中關于三角形的問題，2022年是首次出現(xiàn)以函數(shù)的常規(guī)計算為載體的壓軸題.本題題目偏長，內(nèi)容豐富，重在考察學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運算能力.題目看似錯綜復雜，實際有跡可循，解題的本質(zhì)是通過“函數(shù)”研究變量之間的關系，體現(xiàn)了對學生數(shù)學核心素養(yǎng)與理性思維的考察.

1 ?試題呈現(xiàn)

例1 ?如圖1，隧道截面由拋物線的一部分 AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米.E（0，8）是拋物線的頂點.（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式;（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“ ”型或“ ”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P 1，P 4在x軸上，MN與矩形P 1P 2P 3P 4的一邊平行且相等.柵欄總長l為圖中粗線段P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，MN長度之和，請解決以下問題：

（ⅰ）修建一個“ ”型柵欄，如圖2，點P 2，P 3在拋物線AED上.設點P 1的橫坐標為m（0

（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“ ”型和“ ”型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時點P 1的橫坐標的取值范圍（P 1在P 4右側(cè)）.

2 ?試題解析

本題將實際問題抽象為數(shù)學問題，以函數(shù)的常規(guī)計算為載體，重點考察二次函數(shù)的變量關系，雖然從題目的表述來看，該題內(nèi)容蕪雜，令很多考生望而生畏，但從圖形來看，該題的圖形清晰明了，將題干信息進行很好的提取表達，一定程度上減輕了解題難度，也提示學生在解決函數(shù)問題時注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應用.可見命題專家的用心良苦.

2.1 解題思路分析

問題（1）考察學生通過分析問題的情景，結(jié)合函數(shù)圖形和點的坐標確定二次函數(shù)表達式的能力，對考生來說是常規(guī)題，難度不大，大部分學生能夠通過圖形的對稱軸和頂點坐標得到答案.

問題（2）考察了學生的模型觀念、幾何直觀和運算能力.其中，（ⅰ）問考察學生通過分析，建立l與m兩個變量之間變化的依賴關系的能力.因為點P 2，P 3在拋物線AED上，點P 1的橫坐標為m，結(jié)合圖形與函數(shù)表達式可知P 2的坐標為（m，- 1 6 m2+8），即得到m表示的各線段長度，與總長l建立等量關系，得到一個m與l的二次函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為頂點式，得到最大值，此時要注意自變量的取值范圍，則該題得解.

問題（2）的（ⅱ）問，已知柵欄總長l等于18米為圖中粗線段P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，MN長度之和，矩形P 1P 2P 3P 4的面積為P 1P 2，P 2P 3之積，故可以設出矩形一邊長度，得到一邊長度與矩形面積的二次函數(shù)，進而求解.題目要求在兩種方案中任選一種，如果選擇方案一，設 P 1P 2 =x，則 P 2P 3 =18-3x，S= P 1P 2 · P 2P 3 =x（18-3x）=-3x2+18x，求最大值，故化為頂點式S=-3（x-3）2+27，又由題可得當x=3時面積取最大值27，且滿足自變量的取值范圍.此時矩形的形狀大小已定，再求此時點P 1的橫坐標的取值范圍，結(jié)合圖象，當矩形的P 2，P 3點分別落在拋物線上時，P 1的橫坐標取得最大值和最小值，P 1的橫坐標取值范圍在此區(qū)間內(nèi).此時P 2，P 3的縱坐標確定為3，故可以求出當它們分別落在拋物線上時，橫坐標分別為± 30 ，當P 2落在拋物線上，P 1的橫坐標取得最大值 30 ，當P 3落在拋物線上時，P 1的橫坐標取得最小值，P 1P 4的長度為9，故此時P 1的橫坐標為- 30 +9.所以最大值時點P 1的橫坐標的取值范圍為[- 30 +9， 30 ]，本題可解.方案二同理可解.

2.2 變式拓展

例2 ?工人已經(jīng)在例1所在的隧道內(nèi)修建了三角形柵欄，如圖4所示線段BE和CE，現(xiàn)仍計劃修建一個總長為18的柵欄，仍有如圖4所示的“ ”型和“ ”型兩種設計方案，矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù)，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時點P 1的橫坐標的取值范圍（P 1在P 4右側(cè)）.

設計意圖 ?本題將一次函數(shù)的知識融入題目，學生會求其表達式，并且考察了學生在求二次函數(shù)最大值時是否充分考慮自變量的取值范圍，進而幫助學生形成核心素養(yǎng)，發(fā)展理性思維.

解 ?（以方案一為例）

設 P 2P 3 =x，則 P 1P 2 = 18-x 3 ，S= P 1P 2 · P 2P 3 =x· 18-x 3 =- 1 3 x2+6x，化為頂點式S=- 1 3 （x-9）2+27，當 P 2P 3 =9， P 1P 2 =3時，由例1可知B（-6，0），C（6，0），E（0，8），故BE，CE所在直線的函數(shù)表達式分別為y 1= 4 3 x 1+8，y 2=- 4 3 x 2+8.當y 1=y 2=3時，x 1=- 15 4 ，x 2= 15 4 ，此時 x 1 + x 2 = 15 2 < P 2P 3 =9，故舍去.由圖象知 BC =12，且需要滿足矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù)，故當 P 2P 3 =6， P 1P 2 =4時，y 1=y 2=4，x 1=-3，x 2=3， x 1 + x 2 =6= P 2P 3 滿足條件，此時S=24.當 P 2P 3 =3， P 1P 2 =5時，y 1=y 2=5，x 1=- 9 4 ，x 2= 9 4 ， x 1 + x 2 = 9 2 > P 2P 3 =3，滿足條件，此時S=15<24，故舍去.當 P 2P 3 =12， P 1P 2 =2時， BC =12，此時點P 4，P 1分別與點B，C重合，不滿足題意，故舍去.綜上所述，方案一下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值為24，取最大值時點P 1 的橫坐標為3.

3 ?教學啟示

初中學業(yè)水平考試是國家重要考試之一，中考的試卷分析對改進教師教學和指導學生復習都有著很重要的作用.通過試題可以尋找命題素材的來源，比如本文所展示的2022年安徽中考數(shù)學壓軸題來源于滬科版九年級數(shù)學教材第二十一章第四節(jié)二次函數(shù)的應用練習題——關于二次函數(shù)隧道問題.所以教師在復習時應該緊扣課本，打好基礎，再在此基礎上進行拓展與發(fā)散，不能忽視教材的重要性[1].同樣通過分析試題也能得到一些啟示.

3.1 教學過程立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展

例1考察的是二次函數(shù)的知識點，也重點考察了學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運算能力，這些能力是初中數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).數(shù)學核心素養(yǎng)是在教學過程中逐步形成和發(fā)展的，其中模型觀念的形成更離不開函數(shù)章節(jié)的教學過程.2022年最新修訂的《義務教育數(shù)學課程標準》明確提出，應使學生通過數(shù)學的學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[2].因此在教學過程中不應該只關注學生對知識的掌握，更應該立足于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.例如在函數(shù)教學過程中，求函數(shù)表達式注意鍛煉學生的運算能力，函數(shù)圖象與解析式相結(jié)合注意鍛煉學生的幾何直觀，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題注意鍛煉學生的抽象能力與模型觀念，整個函數(shù)的解題過程中注意鍛煉學生的推理能力等.

3.2 教學活動重視培養(yǎng)學生理性思維

數(shù)學在形成人的理性思維中發(fā)揮著重要的作用，數(shù)學解題的過程是鍛煉理性思維的過程.當例1以較大的篇幅出現(xiàn)在考卷最后一題時，缺少理性思維能力的學生已經(jīng)產(chǎn)生巨大壓力，感覺這題難度很大，從而失去解題的信心與耐心.具有較強理性思維的學生可以很快提取題干中的有效信息，并且有理有據(jù)一步一步得到答案.所以說理性思維在學習與生活中都很重要，需要教師在教學過程中潛移默化的培養(yǎng).在教學過程中，教師除了可以指導學生進行推理證明題的訓練之外，還可以通過改編題目、設置題組、變式訓練、設置開放型題目等方式，鍛煉學生的思維能力，要注意打破學生的慣性思維，鍛煉學生思維的靈活性和敏捷性.

4 ?總結(jié)

綜上所述，安徽省中考數(shù)學壓軸題改編來源于九年級數(shù)學教材，解法中滲透了重要的數(shù)學核心素養(yǎng)和理性思維，啟示教師在教學時應該把握好教材，在此基礎上重視培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和理性思維，使學生在獲得“四基”，發(fā)展“四能”的基礎上形成正確的情感、態(tài)度、價值觀.

參考文獻

[1] 劉清清.立足課本 滲透素養(yǎng)[J].中學教研（數(shù)學），2022（02）：46-48.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.