新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的譜系與前瞻

【摘 要】 ?通過共詞分析、社會網絡分析、聚類分析、多維度尺度分析等構建網絡圖譜，厘清新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的譜系.當前的核心議題有：學生概率認知水平及教學策略研究;教師概率知識水平及教學狀況調查;概率課程標準及教材的比較研究.基本結論有：學生的概率認知存在諸多迷思概念;教師自身的概率知識狀況并不樂觀，對學生概率學習的規律缺乏認識;國外教材的若干優秀經驗值得借鑒.未來研究的方向有：學生迷思概念的發展及其干預;低齡兒童概率前概念的診斷;教師概率知識及KCS的培養;教材的任務設計和學習路徑研究.

【關鍵詞】 ?概率;認知水平;迷思概念;課程標準;社會網絡分析

1 ??問題提出

自PISA項目數學素養框架設計組主席、弗萊登塔爾研究所所長朗格（Lange）提出關于“不確定性”的素養以來[1]，概率素養（probability literacy）逐漸引起數學教育研究者的關注，已然成為近幾屆國際數學教育大會概率學習與教學專題研究小組的核心議題[2][3].

2001年，教育部頒布《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準（實驗稿）》），首次將概率作為核心內容領域之一納入中小學數學課程的體系之中[4].經過《義務教育數學課程標準（2011年版）》的修訂[5]，概率內容的課程編排整體后移，難度得以降低、層次得以凸顯[6][7].類似地，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在課程編排中淡化了原有的模塊化設計，凸顯了概率內容的發展主線[8].2022年，教育部頒布《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準（2022年版）》），在概率內容的課程編排上進一步關注了其對于學生認知發展的適切性[9].

概率內容進入我國課程標準已逾二十年.在這二十年里，我國數學教育領域圍繞中小學概率的學與教做了哪些方面的研究？這些研究取得了哪些主要結論？未來研究可做哪些更深入的探索？本研究基于科學計量學與信息可視化技術，厘清二十年余（2001～2021）我國中小學概率學與教研究的核心議題，探索未來研究的可能方向，以期為從事該領域教學及研究的同仁提供有益參考.

2 ?研究過程與方法

2.1 數據來源

數據資料全部來源于中國知網（CNKI）數據庫.研究者先后選擇中文核心期刊和數學教育專業博、碩論文進行檢索.考慮到選擇數據庫時已然限定了學科范圍（即“中等教育”和“初等教育”），因此直接用“概率”作為主題檢索詞，以盡可能多地搜集到強關聯的相關研究.最終共搜集有效文獻219篇，其中期刊論文50篇，學位論文169篇.

2.2 分析過程

本部分工作采用Bicomb軟件、Ucinet 6軟件及SPSS 22.0統計軟件協同展開.第一步，確定搜索主題及導出相關文獻.第二步，提取關涉文獻的關鍵詞.第三步，采用Bicomb軟件統計上述219篇文獻的關鍵詞，結果顯示有452個關鍵詞.結合研究需要，以詞頻大于6的關鍵詞為閾值節點，“6≤頻次閾值≤47”的高頻關鍵詞共計27個.第四步，利用Bicomb軟件的共詞分析功能生成高頻關鍵詞詞篇矩陣和共現矩陣.第五步，利用Ucinet 6軟件繪制網絡圖譜.第六步，將高頻關鍵詞詞篇矩陣導入SPSS 22.0進行聚類分析，并對共現矩陣進行多維度尺度分析.第七步，結合聚類分析和多維尺度分析數據報表，厘清核心議題.

3 ?研究結果

3.1 高頻關鍵詞詞頻統計

上述219篇文獻的關鍵詞分析顯示共有452個關鍵詞，將其中前27個高頻關鍵詞（頻次≥6）抽取出來，其頻次排序如表1所示.從該表大體可見，除去主題詞“概率”以及“統計與概率”等捆綁詞條，高中數學、比較研究、概率教學等都是新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的核心議題.值得注意的是，當前研究大多聚焦于高中階段（“高中生”“高中”等均是高頻關鍵詞），而針對初中和小學階段的研究則相對較少.

3.2 社會網絡分析

對析出的27×27高頻關鍵詞共現矩陣進行分析，運行Ucinet 6軟件得到上述高頻關鍵詞為節點的網絡圖譜，詳見圖1.在該圖譜中，每個節點分別表示一個高頻關鍵詞，并且節點的大小表示其在網絡圖譜中的影響力;節點間的連線表示高頻關鍵詞之間的聯系.從節點大小及連線密疏能大體發現：當前研究主要圍繞“概率”“高中數學”“概率統計”等關鍵詞展開，并且由之向其他議題延伸.例如，與“概率”直接密切關聯的關鍵詞有課程與教材層面的“高中數學”和“數學教材”;教學層面的“概率教學”和“教學策略”;學習層面的“理解”和“認知水平”;內容本身層面的“幾何概型”和“古典概型”等.進一步，“概率”所關聯的關鍵詞彼此之間又存在二次關聯，從而進一步拓展了研究議題.

3.3 高頻關鍵詞聚類分析及多維尺度分析

對高頻關鍵詞的相似系數矩陣進行系統聚類分析.根據聚類分析類團連線距離的遠近將其劃分為四個亞類，其結果詳見圖2. ????圖2 新課改二十年來我國中小學概率學與研究高頻關鍵詞聚類分析 ????根據多維尺度分析中的ALSCAL分析法對研究關鍵詞間的學術聯系進行考察.結果表明，模型距離解釋的百分比RSQ=0.617（>0.6），達到可接受范圍.通過對上述四個亞類關涉關鍵詞的關系梳理，凝練新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的核心議題，詳見表2.

亞類1是學生概率認知水平及相應教學策略方面的研究，由兩方面組成：子類1為學生概率認知水平，包括古典概型、幾何概型、認知水平等關鍵詞;子類2為概率內容教學改進方面的研究，包括概率教學、教學策略等關鍵詞.亞類2是教師概率知識及教學現狀方面的研究，由兩方面組成：子類1為概率教學現狀方面的研究，包括概率統計、教學等關鍵詞;子類2為教師概率知識方面的研究，包括概率、調查等關鍵詞.亞類3是概率內容課程標準方面的研究，包括數學課程標準、初中數學等關鍵詞.亞類4是課程設置及教材編寫的比較研究，包括課程標準、比較、數學教材等關鍵詞.其中，亞類3和4可以進一步合并為“概率課程標準及教材的比較研究”.

4 ?討論與分析

4.1 新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的核心議題

4.1.1 學生概率認知水平及教學策略研究

上世紀八十年代，張增杰等在國內率先開展了“兒童概率概念認知發展”的大規模調查[10][11]，證實并豐富了皮亞杰（Piaget）關于“兒童概率概念認知發展階段”的觀點[12].在數學教育領域，李俊在其博士論文中率先基于SOLO分類理論提出了一個“認知概率概念的發展框架”[13]，該成果隨后被翻譯成中文出版[14]，成為國內概率學與教研究的經典著作.

概率內容自2001年“飛入尋常百姓家”.如果以該年作為一個時間節點，有關中小學概率學與教的研究開始零星出現.在《課程標準（實驗稿）》頒布實施的伊始幾年（2001～2005），研究者便開始就概率內容的目標定位[15]、知識編排[16]、實驗效果[17]等進行了理論和實證的分析，由此也引起了學界對于“概率內容目標定位與學生認知水平間適切性”的熱烈討論[18].在此背景下，有關“概率認知水平”的實證研究開始引起學界重視.例如，華東師范大學亞洲數學教育中心李俊博士就曾指導其碩士研究生陸續開展了多項研究，系列成果近期也已正式出版[19].

總體而言，有關學生概率認知水平的實證研究基本圍繞“水平劃分”“認知障礙”“迷思概念”“教學對策”等議題展開.梁常東等人在其研究中證實了國外實證研究中報道的等可能性偏見、代表性啟發等典型的迷思概念[20].等可能性偏見是指在比較兩個或多個事件的概率時，人們傾向于認為“所有事件的概率總是相等的”“機會是‘一半一半的”[21].例如，同時擲兩枚均勻的骰子，持等可能性偏見的學生會認為結果“5和6”和“兩個6”的概率是相等的.代表性啟發是指人們在概率決策時傾向于相信一個“代表性的結果”更容易出現.例如，連續拋一枚均勻的硬幣六次，持代表性啟發的學生會認為序列“正、反、正、反、反、正”的概率比序列“正、正、正、正、反、正”的大，因為“前者的正面和反面出現的頻次相當，看起來也更加隨機、更加有代表性”[22].有趣的是，這種迷思概念在職前教師和在職教師中都廣泛存在[23][24].

近年來，有研究對我國學前至初中階段學生的概率認知發展進行了較系統的考察：從“認知發展速度”的視角將其劃分為緩慢發展時期、快速發展時期、停滯發展時期等發展階段[25];采用拉什（Rasch）模型刻畫了學生概率學習從定性認識到定量認識的進階規律[26];通過跨年級比較發現了學生的迷思概念常常十分頑固、難以消除[27]，但是在直觀的任務情境中，低學段學生對于高階內容的認知也能有較好的直覺[28].

學生概率認知的局限性是客觀存在的，這也得到了國外研究的支撐[21-24].教學既要尊重學生的迷思概念，又要盡可能地幫助其擺脫這些認知局限.綜合來看，有關“概率認知水平”的實證研究大都針對性地提出了教學建議.例如，科學規劃概念學習的步次，精心設計層層遞進的任務[26]，通過直觀生動的動畫模擬提供真實的概率情境[20].實證研究表明，在數學游戲[29]、計算機輔助教學[30]、增強現實技術[31]等情境中，學生能夠更好地理解概率.

4.1.2 教師概率知識水平及教學狀況調查

除了學生對于概率的迷思概念以外，教師對概率基本概念及思想方法的錯誤認識也不容忽視.程伶俐的調查研究顯示：教師常常過于偏愛采用排列、組合或樹狀圖等理論方法來計算概率，而鮮有主動提出通過模擬試驗等方法及利用頻率與概率的關系來估計概率;鮮有教師真正了解概率的公理化定義及其產生背景;“簡單復合法”“預言結果法”等迷思概念在教師中廣泛存在[32].值得注意的是，教師概率認知的局限性在國外研究中也有報道[24][33].

教師自身概率知識的薄弱是導致當前概率教學問題的重要原因.正如謝琳等人所認為的：當前概率教學中兩個令人擔憂的現象是，一方面教師輕視基本概念和隨機思維的教學，另一方面他們自身的概率知識薄弱、概率素養缺乏，而這兩方面通常互為因果[34].教師概率教學中的問題或困惑是比較普遍的，他們常常在教學中把過多的注意力放在了概率的本質內容之外.例如，有的教師在概率教學時過于追求計算，而忽略了引導學生理解概念的本質.有的教師過分強調“只有把排列組合這個工具學好，才能把樣本空間的概念說清楚”.甚至有教師反映：“沒有排列組合的知識作為鋪墊，概率內容難以進行下去——因為概率就是‘計算.”[34]何小亞指出，教師在概率教學中往往連“我們為何要學習古典概型”這一基本問題都沒有向學生解釋清楚[35].此外，有研究認為教師在概率教學時應幫助學生擺脫確定性思維方式的枷鎖，引導其在思維層面建立隨機觀念[36].

4.1.3 概率課程標準及教材的比較研究

他山之石，可以攻玉.從關涉國別來看，當前有關概率課程及教材的比較研究多聚焦于中國與發達國家之間的對比[37][38].此外，近年來多國別之間的綜合比較研究也已出現[39][40].綜合來看，當前的此類研究多聚焦于內容定位、教材編排、呈現方式等方面，對了解國際課程改革的發展趨勢及吸收國外優秀經驗提供了直接參考.例如，中美兩國初中課程標準的對比顯示，兩國都強調了概率與統計內容的關聯性，鼓勵通過數據收集等統計活動溝通上述兩方面知識[37].中法兩國高中課程標準的對比顯示，我國課程更強調對隨機概念的認識，而法國則側重于理論與計算，因此我國課程可進一步加強概率內容與其他學科之間的聯系[41]，另有其他研究也提出了類似建議[7].中澳兩國初中課程的比較表明，我國課程標準中的表述嚴謹性尚待加強[42].

值得注意的是，國際比較研究的目的是博采眾長、去粗取精，絕非妄自菲薄、盲目效仿.有關概率內容的編排設計、認知要求等問題，我們應在吸收國際優秀經驗的同時，合理、客觀地分析自身的優勢和缺陷.例如，呂世虎等通過對中、新兩國初中教材的比較研究指出：我國教材就“隨機事件”“可能性”等核心概念設計的習題明顯多于新加坡教材，這說明我國教材更加重視基本概念，值得發揚;但是情境性強、高層次的習題則顯然不足[38].

4.2 未來研究的可能方向

基于對新課改二十年來相關研究的梳理，對未來研究提出以下建議.

4.2.1 學生迷思概念的發展及其干預

有關學生概率認知的實證研究證實了我國中小學生對于概率的認知存在諸如等可能性偏見、預言結果法等迷思概念.接下來的問題是：這些迷思概念在學生的學習過程中是如何發展的？哪些迷思概念在學生的概率認知過程中根深蒂固？哪些則是可以通過恰當的教學干預得以顯著消除？教學如何幫助學生擺脫這些迷思概念？目前尚缺乏這些方面的實證研究.

4.2.2 低齡兒童概率前概念的診斷

縱觀新課改二十年來我國中小學概率學與教研究的相關研究，其研究對象更多地關注于高中階段，初中階段次之，而有關小學、學前階段的研究甚少.兒童在接觸學校正式的概率知識之前，已然積累了或多或少、或對或錯的非正式知識（informally acquired knowledge）或前概念（preconception），國外研究已然對此進行了一些探索[29][43].這些前概念有些是有一定合理性，有些則是與正式的概率知識相沖突的.問題是：當學生帶著這些前概念走進學校時，課程、教學應該怎樣在尊重其前概念的前提下幫助其發展正式的概念？只有厘清了低齡兒童的概率前概念，才能在小學階段設計課程目標、內容定位時更加有據可循.也只有這樣，我們才能讓孩子在第一次接觸概率知識時就感到舒適、自然.但總體而言，國內目前的相關研究甚少.例如，林泳海的研究表明：6.5歲兒童的概率概念基本處于萌芽狀態，7.5歲兒童則開始發展部分概率概念[44].更進一步地，小學低段學生的概率認知水平如何？有哪些前概念？尚待做更細致的研究.

4.2.3 教師概率知識及KCS的培養

“給學生一瓢水，教師得要有一桶水”.遺憾的是，國內外的實證研究都一再證實，教師自身的概率知識尚顯薄弱，各類迷思概念也比較突出[33][45][46]，在概率教學中常常忽略概率思想和本質內容的滲透[35].有關職前教師的概率知識的調查研究也表明，等可能性偏見等迷思概念同樣廣泛存在[47].鑒于以上，建議在概率思想的理解、概率知識的儲備及概率發展史的滲透等方面加強教師培訓.需要注意的是，僅補足教師的概率知識還遠遠不夠.Hill等在其提出的MKT框架中指出：除了學科知識以外，教師還應具備扎實的教學內容知識，其中內容與學生知識（Knowledge of Content and Students，簡稱KCS）就是一個重要方面，它一般包括“教師對學生學習過程、運算策略、常見錯誤等的理解”[48].換言之，教師除了自身概率知識扎實以外，還應關注“學生是如何學習概率的”.當前有關這方面的研究還不多，其基本結論是：教師對學生概率學習的規律缺乏認識，不了解其概率認知中的困難[45].教師常常感到“概率難教”，與此有很大關系.為此，建議未來研究著眼于教師關于概率內容的KCS研究，并致力于提高其概率教學的水準.

4.2.4 教材的任務設計和學習路徑研究

教材文本及其比較研究一直是數學教育領域的熱點研究方向之一.概率領域的研究同樣如此，且此類研究通常聚焦于內容的呈現方式、難易程度、例題習題等.自新課改以來，教材里的概率內容在編排上越來越凸顯層次設計和發展主線，也越來越強調內容對于學生認知規律的適切性.隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，各版本教材的修訂工作行將展開，未來教材將如何落實上述編排理念？研究者認為，微觀視角下進階式的數學任務和宏觀視角下遞進式的學習路徑將是未來教材及其比較研究的兩個出發點.第一，可從上述兩個視角出發就當前教材進行文本分析;第二，可基于實證研究對當前教材的任務設計和教學路徑提供有益建議;第三，對于比較研究而言，從上述兩個視角開展不同教材文本及不同教材教學效果等方面的對比分析也是值得關注的研究方向. ?5 ?結語

概率內容走進我國中小學數學課程的時間不長，國內數學教育領域有關該方面的實證研究相對較少.近兩年來，有學者就當前概率課程、教材及教學方面存在的具體問題提出了中肯建議[49]，有關概率學與教的研究任重而道遠.本文提出的未來研究方向供數學教育研究的同仁參考.

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