利用問題變式，促進數學思考

[摘? 要] 探尋簡單自然的方法是數學解題追求的基本要義.波利亞指出，當原來的問題看起來似乎不好解時，就構想一個合適的輔助問題.輔助問題從何而來？可以是從認知基礎變式而來. 數學課堂從一個最簡單的問題出發，通過不斷改變問題的條件，挖掘問題的思維價值，深化對數學問題的理解，進一步凸顯數學的思考. 數形結合，以形解數，以數助形，一法貫穿，有助于認識數學問題的本質;“多思少算”提升學生的思維層次和思維品質. 課堂教學應當關注問題變式的研究與實施.

[關鍵詞] 數形結合;問題變式;數學思考

二次函數綜合題是基于二次函數本質、圖像變化，再以三角形或四邊形等幾何關系為轉化橋梁，考查學生應用數學思想方法等綜合解題的能力. 想讓學生體會幾何與數量關系轉化的實質，教學的核心任務是理解和轉化問題[1]，那么，如何設計教學任務促進學生思考？我們嘗試從理解數學、理解學生、理解教學三個維度來展開教學設計. 下面以“二次函數數形結合微專題——探索面積背景下如何確定動點的坐標”為例，闡述具體的教法和學法.

問題探究，形成策略

問題分析：

3. 理解教學：俗話說“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好”， 此處設計“用數定形，再以形求數”的方法解決問題，抓住兩個三角形AB同為底，要使得，只能是點P到AB的距離是點C到AB的距離的2倍，進而確定點P的位置是與x軸距離10的地方，即在直線y=±10上. 點P的位置既在拋物線圖像上，又在直線y=±10圖像上，即“兩條軌道相交處”為點P（如圖2所示），最后借助方程思想得以求解P的坐標. 這種“定形”方法解決問題1感覺是有點“不必要”，但是它正是本次“數形結合”問題研究的起點，同時也幫助學生理解坐標分類的道理. 目的是引導學生歸納求動點坐標的一般思路：①先“定形”——確定符合要求的動點位置;②再“定量”——求動點所在直線的解析式;直線與拋物線解析式聯立方程，求出動點P的坐標.

解決問題，形成方法

問題分析：

1.理解數學：問題2是問題1的變式，雖然兩個三角形面積確定，但共有的邊（AB）從平行于x軸，轉變為斜向（BC），將點與線的距離由特殊化（距離即坐標）轉變為一般化（距離非坐標）.

2. 理解學生：學生用原有的方法處理這個問題是有一定難度的，原因是不能順利將△BCP 的BC邊上的高轉化成“坐標”. 經過問題1的啟發，大部分學生能通過高之比為3∶2，確定點P可能在的位置有兩處，即能對符合點P的位置進行“定形”;但是在“定量”時，部分學生在求動點P所在直線解析式時遇到了問題. 問題①：有學生想求出直線平移的距離來確定解析式，但不能準確理解平移的距離是哪一段;問題②：有學生通過線的平行知道直線解析式的k，但是不知道再找哪個點來確定直線解析式，或者如果找到一個點（如與坐標軸的交點），也不知道如何求這個交點的坐標. 也有學生善于利用“數形結合”解決該問題[2].

3. 理解教學：問題2延用問題1的方法，找到符合條件的動點P的位置，這里只列舉一種，其他以此類推，如圖4所示. 將三角形面積之比轉化成高之比，進而利用平行線分線段成比例，將線段比“化斜為正”，即將斜向的線段比轉化成y軸上的線段比，具體做法如下：

直線NG的解析式為y=x-9. 聯立方程y=x2-4x-5，y=x-9，解得x1=1，y1=-8.x2=4，y2=-5，所以點P的坐標為P1（1，-8），P2（4，-5）.

也可以如圖5所示，同理將線段之比轉化到x軸上AB與BH之比. “形”的處理，引導學生不用計算三角形BC邊上具體的高，不用具體求出線段EG長，從而達到方法的優化，思維的進階. 學生通過圖形的分析，找到條件和結論之間的聯系點，實現“幾何”關系和“代數”關系的互化，挖掘在解析幾何中“數形結合”思想的本質，體會轉化的數學思想和從特殊到一般的數學問題探究方法.

方法應用，拓展延伸

問題分析：

1. 理解數學：問題3是問題2的變式和拓展，不同的是△CPD，△CQD兩個三角形的面積是動態的，不能確定面積大小，但面積比為1∶3是確定的.但如何確定點P坐標？問題設置螺旋上升，數學思考也更深一層.

2. 理解學生：前面兩個問題的完成，學生逐漸形成了自己的理解，但是處理兩個動態三角形的問題可能還是會遇到困難. 比如面積比1∶3轉化成共底邊CD上的高，但是兩條高都是變化的，又怎么處理？可以轉化成到底PD與底DQ邊上的比嗎？或者轉化成到CQ邊上的高之比嗎？猜想很多，如何篩選？

3. 理解教學：通過類比的方法研究條件為“兩個動三角形”面積之比為定值的問題，再次感受用平行線將線段比“化斜為正”的轉化思想，體會這種轉化思想的“優越性”，從而提高學生分析問題、解決問題的能力，體會數形結合思想的重要性，發展學生的核心素養.學生可能用到的方法歸納如下：

方法1：如圖7所示，過P，Q分別作PH⊥x軸，QG⊥x軸，則PD∶DQ=PH∶QG=3∶1，再利用坐標關系代數化，帶入解析式求解.

方法2：如圖8所示，過P，D分別作PN∥BC交y軸于點N，DM∥BC交y軸于點M，則PD∶DQ=NM∶MC=3∶1，再利用MC確定NM，從而確定動點P的直線解析式，最后聯立解析式求解.

方法對比：方法1，坐標法表示關系，建立方程，容易想，但計算煩瑣，坐標與線段互化符號容易出錯;方法2，轉比（面積比轉線段比，斜向線段比轉正向線段比），計算簡便，但不容易想到. 可能學生還有另一個轉線段比的方法，如圖9所示，這里不再贅述. 解決數學問題，要“多思少算”，利用圖形中的不變量與圖形的性質進行轉化，在變中圍繞不變量轉化會事半功倍！借助幾何畫板，將學生的方法及原理展示出來，讓學生總結研究問題的方法、解決問題的策略等，點明整節課的主線，加深學生的印象.

專題抓住“線段轉化”為主線，從一個簡單易解的面積問題出發，循序展開三個問題，問題層層深入，設計連續變式.看似不同的問題，實則內在緊密聯系，形成方法自然水到渠成.探究如何“化斜為正”轉化線段，體現“數形結合”的優越性，化繁（數）為簡（形），以形解數、以數助形的數學思想，啟發學生對二次函數綜合問題的思考. 課后，還可以鼓勵學生“原創”問題，在同一個二次函數背景下，你能根據哪些簡單的數學問題，變化出一串相關聯的，并且有研究價值的問題？以小組為單位展開數學活動.綜合性再強的函數問題，都是由簡單到復雜的變式，由特殊到一般的變式，由靜態到動態的變化[3]，學生親自參與到探討和設計數學問題，并驗證問題是否具有研究性，發散學生思維，啟迪思考與反思，相信這將是學生真正做數學的開始.

參考文獻：

[1]? 朱建良. 設計遷移問題 助力深度探究——以“二次函數——設元引參”專題復習為例[J]. 數學通訊，2021（15）：5-7.

[2]? 溫暉，曾愛群. 在專題復習中提升數學核心素養——以“二次函數綜合性問題”為例[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2021（14）：19-23.

[3]? 劉才云. 題組變式漸次呈現，簡約開放對話讓學——以“含參二次函數”專題課打磨為例[J]. 中學數學，2021（18）：25-26.

作者簡介：朱春燁（1990—），本科學歷，中學一級教師，從事中學數學教學工作.