搭建數學建模平臺，培養學生建模能力

[摘? 要] 文章基于“數據的波動程度”的教學設計，將教材的引入部分做了簡化處理，為學生搭建數學建模平臺，重點突出數學模型的建立和優化過程，以豐富學生的數學建模體驗，培養學生數學建模能力，促使學生更好地把握模型思想.

[關鍵詞] 數學建模;模型優化;建模體驗;建模能力

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，數學建模是六大數學核心素養之一. 在《初中數學新課程標準（2022年版）》中，明確要求在數學課程中，應當注重開展學生的模型思想，進一步提升學生學習數學的興趣和應用意識. 模型思想是初中數學中非常重要的數學思想，當學生具備了一定的建模能力，便能夠更好地應用模型思想解決實際問題. 因此在初中數學教學過程中，為學生搭建好數學建模平臺，培養學生數學建模能力，促使學生更好地把握模型思想是非常重要的任務.培養學生的數學建模能力，既有利于提高學生解決問題的效率，更有利于培養學生的思維能力.

為學生搭建數學建模平臺，培養學生數學建模能力，筆者在設計“數據的波動程度”一課過程中深受啟發，現將本課的教學設計以及筆者基于培養學生數學建模能力的教學反思予以呈現.

教學設計

1. 化繁為簡巧引入，搭建平臺引建模

在前面的學習中，我們知道可以利用平均數、中位數、眾數來刻畫數據的集中趨勢. 觀察甲、乙兩組數據，甲：6，6， 6，6，6，6，6;乙：5，5，6，6，6，7，7.

問題1：甲、乙兩組數據的平均數、中位數、眾數都一樣，那哪一組數據更集中呢？

生：甲組數據都是6，所以更集中，而乙組數據的對應更分散.

師：很好，乙組數據更分散，這在統計學中稱為數據更離散，或稱數據波動程度更大，這也是本節課的探究課題《數據的波動程度》.

觀察下列三組數據，直觀感受其波動程度，如何刻畫？（1）6，6，6，6，6;（2）6，6，6，6，7;（3）6，6，6，6，5.

問題2：以上三組數據的波動程度可否用一個數加以刻畫？

生：第一組數據都是6，記它的波動為0. 類似地，第二組數據波動記為1. 第三組數據的波動記為-1.

師：也就是說在日常生活中，數據的波動程度是可以量化的. 類比于衡量數據的集中趨勢，我們有平均數、中位數、眾數這些統計量，那么衡量數據的波動程度是否也存在類似的統計量呢？

設計意圖 問題1讓學生觀察兩組數據的平均數、中位數、眾數三類統計量都相同，但是集中程度不同，揭示課題，引出矛盾. 問題2通過三組數據讓學生初步感知，是可以用一個統計量來刻畫一組數據的波動程度，教師設計并提出問題，提供思路啟發學生的思考，為學生搭建數學建模平臺.

2. 歷模型優化過程，晰方差模型算理

觀察下列三組數據及其散點圖，

甲：6，6，6，6，6，6，6;

乙：5，5，6，6，6，7，7;

丙：4，4，5，6，7，8，8.

問題3：結合散點圖，觀察甲、乙、丙三組數據，有什么發現？

觀察：一組數據中，各個數據與平均數差得越多，則數據的波動程度越大.

猜想：求出各個數據與平均數的差的和，刻畫數據的波動程度.

驗證：

A組：5，5，6，6，6，7，7;

B組：4，4，5，6，7，8，8.

反思 觀察以上模型的計算，事實上就是數據之和減數據之和，這樣結果必然為0，因此無法衡量數據的波動程度.

問題4：以上模型問題出在哪里呢？

觀察：A組各個數據與平均數的差-1，-1，0，0，0，+1，+1，其中-1和+1都為數據的波動做了貢獻，但在求和時卻抵消掉了. 故可以考慮非負性，如絕對值、取平方等.

猜想：求出各個數據與平均數的差的絕對值的和，刻畫數數據的波動程度.

驗證：

C組：9，1，0，-1，-9;

D組：6，4，0，-4，-6.

反思 模型2通過取絕對值刻畫數據的波動程度的適用性仍有不足，可考慮平方或者偶次方.

猜想：求出各個數據與平均數的差的平方的和，刻畫數據的波動程度.

驗證：

E組：9，1，0，-1，-9;

F組：7，6，4，0，-4，-6，-7.

反思 利用優化模型3刻畫數據的波動程度，會受到數據個數的影響，可再取平均避免數據個數的影響.

猜想：求出各個數據與平均數的差的平方的和，再除以數據個數，刻畫數據的波動程度.

設計意圖 此環節為本課例的重難點，也是耗時最多的環節，采用師生合作、交流、探究的教學方法，讓學生經歷模型1的建立，以及模型2、模型3、模型4的優化過程，體會模型建立的過程以及用方差刻畫數據波動程度的合理性，豐富了學生數學建模的體驗.

3. 計算分解成步驟，明晰算理固技能

例1 試說明下列哪組數據的波動程度大，

甲：6，5，4，3，7;

乙：3，0，6，5，1.

設計意圖 計算方差過程中進行步驟小結，步驟1，求出各組數據的平均數→步驟2，求各個數據與平均數之差的平方和→步驟3，取平方和的平均數→步驟4，分別求得方差并比較大小.在模型優化的過程中，學生能更好地理解方差模型算理，而通過步驟分解，應用方差公式判斷兩組數據的波動大小，使學生形成技能.

4. 復盤建模之歷程，積累經驗再創造

本節課我們經歷了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程. 一是發現問題，我們發現數據的波動程度會影響平均數、中位數、眾數對集中趨勢的刻畫. 二是提出問題，我們想要探究，衡量數據波動程度的統計量. 三是分析問題，通過觀察，猜想，驗證，優化，最終確定利用方差衡量數據的波動程度. 四是解決問題，鞏固了求方差的一般步驟，形成技能.

設計意圖 在課堂小結環節，帶領學生復盤數學建模的主要過程，即發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題. 使學生積累探究經驗，有利于學生在今后解決問題的過程中能夠基于此經驗進行再創造.

教學反思

1. 優化課堂活動設計，搭建數學建模平臺

教師在日常教學中要為學生搭建數學建模的平臺. 初中數學教學過程中有眾多課程適合為學生搭建數學建模的平臺，但有的教材內容因為其表征過于煩瑣，如“數據的波動程度”一課的例題閱讀量大且計算復雜，使得大部分學生望而卻步，失去了參與探究的勇氣，從而錯失參與數學建模的機會. 所以本課例在課前引入時便采用簡單數據揭示課題，從而避免學生受困于煩瑣的材料閱讀及數字運算中，錯過了參與模型建立的過程. 因此對于教材所呈現的課程內容，教師不能照本宣科，要根據學生實際，始終把握好為學生搭建數學建模平臺的初衷，對內容加以處理，優化課堂活動設計，由此才能發揮其搭臺作用.

2. 經歷合作交流探究，豐富數學建模體驗

為確實豐富學生的數學建模體驗，建模過程必須有“濃墨重彩”的突出. 在初中數學教學中，秉持為學生搭建數學建模平臺的初衷，優化課堂活動設計，在建立模型以及模型優化的活動環節中要舍得花大手筆，讓學生親身感受到建立模型以及優化模型的過程，豐富其數學建模體驗，在師生合作、交流、探究過程中確確實實的產生思維的碰撞. 例如在課例“數據的波動程度”中，在經歷觀察、猜想的基礎上建立模型1，不斷地通過驗證、反思、猜想等環節對所建立模型進行優化，得到優化2、優化3、優化4. 這樣的模型建立和優化歷程，能夠真正豐富學生的建模體驗，使學生更好地理解方差模型的算理，為后面模型運用的步驟化奠定了基礎，有利于學生更快地掌握應用技能.

3. 重視建模能力培養，為學生創造發展空間

培養學生數學建模能力是極有必要的，一是有利于教師正確認識數學學科的教育價值. 數學教育的本質是理性思維的教育，只有具備了理性思維的人才能在社會日常生活的問題解決過程中保持理性的思考. 姜伯駒先生曾經說過“數學是科學的語言，數學是思維的體操，這是過去的認識，現在應該加上另外兩句：數學是生活的需要，數學是最后取勝的法寶.”二是有利于教師正確評價學生素質，促進學生全面發展. 培養21世紀的人才首要手段就是素質教育，只有注重培養學生的數學建模能力，才能夠確實提高學生的創新意識和應用意識，利用這種方式培養出來的學生更能為社會的發展做貢獻.

結束語

數學建模之魅力在于它揭示了數學學科的教育價值，數學教育不僅僅是教會學生學習數學知識，更是讓學生運用所學知識解決日常生活中的實際問題，所以說數學建模是連接數學世界與現實世界的橋梁. 教師在初中數學教學過程中要善于將解決問題的方法進行模型化，為學生搭建好數學建模平臺，培養學生數學建模能力，使得學生在掌握數學基礎知識的基礎上，能夠應用所學知識解決生活和生產中出現的問題.

基金項目：廈門市直屬中小學2019年度課題“依托數學實驗提升學生數學建模能力的案例研究”（課題編號：zsx2019099）.

作者簡介：蘇麗菊（1991—），碩士研究生，二級教師，曾獲福建省第十六屆三優聯評活動省“三等獎”，廈門市第七屆基礎教育優質微課比賽市“一等獎”.