培養高中生數學高階思維的策略

梁宏暉

摘 要：鍛煉學生數學高階思維能力是培養學生數學學科核心素養的重要途徑，可以幫助學生有能力去分析問題的本質，形成良好的思維習慣，帶著嚴謹和批判的觀點去思考問題。數學高階思維能力的培養需要師生協作，策略包括教師的教學設計策略和學生的學習策略。

關鍵詞：數學高階思維;教學設計策略;學習策略

什么是數學高階思維？蘇州大學周超教授認為，高階思維是指具有靈活性、敏捷性、獨創性、深刻性和批判性的思維。對高中數學而言，高階思維就是學生在已獲得的數學知識的基礎上，學習數學概念和符號、數學定理和公式等內容以及解決數學問題的過程中，所表現出的深刻和透徹理解知識、準確和迅速提取知識、靈活和廣泛運用知識的特點。培養學生的數學高階思維，能夠讓其大腦得到充分的鍛煉，越用越靈活，并能夠適應現代這個節奏快、競爭激烈的社會。因此，培養學生數學高階思維能力已成為當下高中數學教育工作者們關心和探討的問題。

《普通高中數學課程標準》明確指出，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，能夠綜合體現學生具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀。數學常常被喻為“思維的體操”，良好的思維能力能夠幫助學生深刻透徹地理解數學知識，迅速準確地提取數學知識，靈活廣泛地應用數學知識。數學教育的核心是培養數學思維能力。因此，培養學生核心素養的重要途徑是實施數學思維教育，這是實現素質教育中人的全面發展的要求[1]。

那么，如何培養學生的數學高階思維能力呢？

一、培養高中生數學高階思維的教學設計策略

（一）促進深刻、透徹理解知識的教學設計策略

基本的數學知識包括數學概念、數學定理和公式等。學好數學的關鍵是加強數學概念的教學，這也是培養學生數學高階思維的關鍵。高中數學學習內容的重要組成部分是以數學概念為基礎來學習數學定理和公式的，這是培養學生數學高階思維的主要途徑。

1.密切聯系生活，弱化數學知識的抽象性

數學概念、數學定理等都具有抽象性和具體性，但是許多數學概念的形成以及數學定理的證明和公式的發現都是因為實際生活的需要。如三角學的內容是由于以前計算田地面積的需要、對數的發明是由于天文學家們計算的需要等。很多數學概念以及數學定理的原型都可以在現實生活中找到。在教學時，教師可以舉一些生活實例，將一些生活問題轉化成為數學問題來研究。教師不是直接給出概念的內容，而是讓學生去經歷這些數學概念形成的過程，不是被動接受概念，主動地探索概念，主動地建構知識體系的過程有助于學生更加深刻和透徹地理解數學概念[2]。

2.貫通數學語言，強化數學知識的可感性

數學知識除了具有抽象性和具體性，還具有可感性和約定性?？筛行跃褪窃谏畋尘爸锌梢詼蚀_感知這個知識的模型，比如，表示平行四邊形、梯形、長方體有特定的圖形語言等。約定性就是這個概念是約定俗成的，大家一致認同的。教師在上數學課時，要結合日常語言、教學語言和數學語言將抽象難懂的教學內容轉化成為學生容易理解的數學教學語言[3]。

數學語言根據不同的表述形式可分為數學符號、數學文字和數學圖形這三種語言。比如，在高中數學必修二“立體幾何初步”這一章節中，學習空間圖形的基本位置關系時，包括點與線、點與面、線與線、線與面、面與面這五種，它們的位置關系可以分別用文字、圖形和符號三種語言來表示，教師要著重幫助學生理解圖形語言和符號語言，引導學生靈活地轉化各種數學語言[4]。

3.引入數學史料，強化數學知識的可再發現性

數學定理和公式在人類社會中是客觀存在的，但是最開始沒有把它們表示成簡約有邏輯的形式，是很多從事數學研究的研究者們經過嘗試、證明等得到的，所以數學定理和公式的得出都有章可循。教師要讓學生參與到數學定理和公式的發現過程，學生不是作為“旁觀者”去觀看結果的直接呈現，而是積極的“參與者”。學生參與的過程就是在教師的引導下，運用所學知識去主動建構，而不是被動接受。這種方法相較于傳統的教學方法，如“填鴨式”“灌輸式”等更能激發學生的求知欲。學生從不同的角度和層面去發現、接受、理解所學內容，達到對所學知識理解得深刻和透徹的程度，達到數學高階思維的初級階段。

（二）促進準確和迅速地提取知識的教學設計策略

1.構建思維導圖，強化數學知識的關聯性

思維導圖從一個數學概念、數學定理或者數學公式等中心詞匯出發，以學生自己的思維方式向外延伸出與這個中心詞匯相關的其他內容，使之成為一個網絡圖，一個節點連著一個節點，對相關知識的回憶可以順著線、順著節點逐一回想起來。制作思維導圖的過程，也就是對所學知識進行梳理和加工的過程，以此加深學生對所學知識的理解程度，在解決數學問題的時候，能準確和迅速地提取數學知識，這對培養學生的數學高階思維發揮著很大的作用。

2.剖析典型例題，強化數學知識的應用性

高階數學思維不僅僅要求正確率，對解決問題的速度也有要求。特別是在限時的練習和考試中，有些學生平時的練習題和作業等做得很不錯，正確率很高，但是在數學考試中會出現“平時做得出，考時沒有思路”的情況。主要原因就是在知識提取的過程中出現故障，考試時難免出現緊張情緒，如果對知識掌握不牢固，知識之間聯系不緊密，在緊張的情況下很容易想不到解題思路。當然，在實際的教學過程中也會出現教師僅僅關注數學定理和公式的應用而忽略了其發現和證明過程的現象，導致學生對數學定理和公式的應用出現問題。有的學生會大概記住數學定理和公式的內容，只知其然，而不知其所以然，結果在使用定理和公式時就出現印象模糊和使用錯誤的現象，這就是弊端。

3.引導主動探究，弱化數學知識的邏輯性

建構主義強調讓學生主動學習、自己建構，并且認為這樣獲得的知識對學生來說才是有意義的知識。因為學生自己探究發現的知識在頭腦中保存的時間和清晰度更加有保證，在提取時的速度和準確度才會更高。學生在主動探究和交流的過程中想法、角度不同，就會出現碰撞，在交流和磨合的過程中加深自己對知識的理解，在頭腦中建立自己的邏輯性。如習題課的教學、定理內容的發現、證明過程等都可以采用引導學生主動探究的策略。這樣不僅能夠保證學生上課的注意力，還能在探究討論的過程中潛移默化地培養學生準確和迅速地提取知識的能力。

（三）促進靈活和廣泛地應用知識的教學設計策略

直到20世紀80年代，“問題解決”的思想才傳入我國，引起教育界廣泛關注，并成為中小學教學的重點。針對數學這個科目，學生是否擁有高階思維直接體現為他們在解決數學問題時是否準確、高效。數學教育的最終目的就是解決問題，即利用已有的知識結構和思維結構，對抽象的形式思想材料進行加工的過程。如果說應試教育解決的是單純的考試題目問題，那么素質教育解決的是包括生活、工作和學習中的問題[5]。

1.甄別問題類型，弱化數學問題的難度

高中數學內容本來就豐富又復雜，區分數學問題類型的過程就是一個梳理知識的過程，哪一個知識點適合解什么樣的題目，哪一類的題目可以運用什么樣的知識點，時間久了養成習慣，學生就可以自覺地對知識點和數學問題進行分類。知識應用的程度就可以得到保證。比如，在學習二面角的平面角的求法時先給學生介紹目前學習的知識能夠求二面角的三種解法：定義法、垂面法和垂線法。再分別介紹這三種方法的使用情況，那么學生在解決相關的二面角的題目時就會判斷這個題目可以根據哪個方法做出來。

2.不同角度分析，提升數學問題的思考力

一個學生擁有數學高階思維，其中重要的一個特點是能夠靈活和廣泛地應用數學知識，體現為能夠從不同的角度去分析題目、解決問題，找出一個題目的不同解決方法。在上課時學生的思路和想法往往并不總是按照教師預設的想法發展的，有時會出現教師意料之外的想法。這種思路是學生當前認知發展中的真實狀態，是思維遇到障礙的關鍵所在，能夠暴露出學生對某一個知識點的理解可能有些片面或者錯誤。這種思路無論是對學生來說還是對教師來說都是寶貴的資源。因此，教師不能一味地否定學生的想法，要抓住時機幫助學生建構自己的知識體系。面對學生超預期的思路，由于不同學生考慮問題的方式和習慣不同，教師可以通過翻轉課堂把不同學生的想法呈現出來，既能引發學生的學習興趣，又能給學生提供不同的解題思路。

二、培養高中生數學高階思維的策略

（一）端正學習態度

學生要有一個積極主動的學習態度。學生學習的深度、廣度、速度和效率很大程度上取決于學生的學習態度。家庭環境、班主任管理、班級歸屬感和同伴關系等多種因素都會影響學習態度的好壞，所以，需要家長、學校、教師和學生共同努力去培養良好的學習態度。從學生自身的角度來講，要提高課堂的參與度，積極回答問題，跟著教師的思路走。

（二）培養預習習慣

為了增加聽課的針對性，能夠從一節課中迅速地抓住教師所講內容的重難點，這就需要學生在課前養成良好的預習習慣，即提前自學教材知識，自主思考并解決問題，在遇到一些超出自己能力范圍的問題時，可將其記錄下來，以便帶著問題去聽課。比如，在高中學習函數的概念時，函數的定義和初中有所不同，初中是“變量說”，高中則是“對應說”。為什么對于同一個數學概念有不同的定義呢？兩種定義之間有何區別？為什么函數的概念可以發生變化呢？函數有哪些不可以改變的性質呢？通過這樣的反思和思考，學生對函數概念的理解就有一個更高層次的提升，不再是僅僅記住函數這個概念的數學語言。這樣的理解記憶比機械記憶在大腦中存儲的時間更長，且準確率也會提高。

（三）學會課后總結

學生在學習完新的數學知識后，無論是數學概念、數學定理還是數學公式等都要對其進行整合和總結。對于數學概念來說，其前后連貫性沒有數學定理和數學公式那么明顯，對數學概念的深刻理解主要是在教師的引導下了解這個概念提出的背景，這個概念被抽象和概括出的過程，理解這個概念的內涵和外延，理解與這個概念有關聯的其他概念的區別和聯系。比如，在高一年級學習的指數函數，最開始指數形式是正整數的形式，后面是推廣到整數，再推廣到整個實數的范圍就是一個上位學習的過程。將之前認知系統中已有的知識納入新學習的范圍更廣、包括度更大的知識中，讓之前學習的知識得到升華，新學習的知識得到鞏固。

（四）建構思維導圖

首先，學生要在教師的指導下養成畫思維導圖的習慣，畫思維導圖的過程就是讓大腦無限次地聯想，填充知識的空白，讓所學知識更加完整，思維更加靈活。一個好的思維導圖能夠把各個知識點之間的關系清晰地反映出來，能夠幫助學生將學習過的知識進行梳理，以便實現知識間的遷移和重組等。

其次，學生在課后做練習或者自己復習的過程中，要充分調動自己的知識去分析題目，試著探尋這個題目的不同解決方法來鞏固思維導圖的知識網絡。雖然得到的思路可能與預期的解題方法有些偏離，但是那才是對自己真正思維過程的反映，也是自身努力的成果，這個思路可能不適用這個題目，但它可能是另外一種類型題目的解題思路。

（五）養成反思習慣

數學思維活動的核心動力是反思。作為一種積極的探究行為，反思可以幫助學生在數學學習過程中溝通新舊知識間的聯系，深化對知識的理解。在遇到問題時，學生會出現“頓悟”，突然靈光一現想到了方法，但是由于沒有通過反思將這種方法或者思路在腦海中加以鞏固，根據艾賓浩斯的遺忘規律，時間長了就會出現遺忘的現象，影響對知識提取的準確和迅速。反思的過程可以發生在課前預習中、上課進行時、下課復習時，以及解決數學問題的過程中。如果能養成在學習的整個過程中經常進行反思的良好習慣，那么對學生的反思能力以及學習效率的提高都有很大的幫助[6]。

結束語

錢學森教授曾一語中的地指出：“教育工作的最終機制在于人腦的思維過程?！备唠A思維能力的培養不是一蹴而就的，作為一種數學思維方法，它是在不斷解決數學問題的過程中去不斷總結數學經驗，久而久之形成的。高階思維能力一旦形成，有助于幫助學生解決不同的數學問題。高階思維能力的培養需要師生的共同配合。一方面，教師應該不斷地總結、反思和改進自己的教學，探尋開展高階思維訓練的方法與途徑;另一方面，學生應該培養積極鉆研的學習習慣，自主學習，自主探索，樂學善學，學有所得，不斷提升數學思維能力和學科素養。唯有如此，數學的課堂才是精彩的，學生才能走得更遠更好。

參考文獻

[1]康文亮.高中生數學建模思維的培養研究[J].教學管理與教育研究，2022，7（4）：67-68.

[2]王述發.培養高中生數學創造性思維[J].清風，2021（22）：58.

[3]李振國.核心素養視域下高中生數學抽象思維能力的培養[J].教學管理與教育研究，2021（18）：66-68.

[4]陳蓓.高中生數學核心素養評價研究[D].南京：南京師范大學，2017.

[5]梁蔚.培養初中學生數學素養的相關思考[J].當代家庭教育，2019（25）：89.

[6]張玲玲.設計有效問題，引領數學教學[J].考試與評價，2021（1）：29.