數學文化視域下的小學數學教學

余璟

[摘 要]考慮到學生的年齡及思維特點，蘇教版教材在三年級開設的“探索規律”單元專題活動中，將不再呈現簡單的規律的情境，而是偏向于呈現復雜、內隱的數學規律。這樣一來，學生勢必要以一定的探究方式進行過程性的探索與發現，才能感受到探究的樂趣，感悟數學思想。

[關鍵詞]小學數學;數學文化;奇偶性

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0040-03

數學的概念、公式、法則、定律（知識性成分）是顯性的數學文化，而貫穿其間的數學思想、理性精神、數學方法（觀念性成分）則是數學文化的精神實體，這種蘊藏在知識性成分背后的觀念性成分（也叫隱性數學文化）則是數學文化的核心和靈魂所在。下面，筆者結合“和的奇偶性”一課，從數學文化的實踐視角談談自己的思考。

視角一：舉例

在規律探究的過程中，有教師認為應教授學生用推理的模式進行探究。而筆者卻認為，推理是從現象到本質的一種追尋，而舉例卻是反其道而行之的、契合學生思維的一種歸納。

相比較而言，舉例是驗證規律的最直接的手段。就本節課“和的奇偶性”舉例活動的反饋來看，學生的思維高下直接顯現：有的學生以較小的自然數逐一列舉，并沒有考慮不同的類型，而有的學生所舉的例子體現出差異性，不但考慮到不同情況（有加數數位的不同，有加數個位數字的不同），還考慮到0這樣的特殊數。通過這個活動，所有學生都能在自己原有的知識基礎上獲得真正的思考與探究。當然，選擇舉例并不是排斥使用其他方法，只不過有所側重，因為這些例子對學生來說是最方便的，在驗證時懂得用有限的例子闡述自己的猜想，說明學生的思考勢必要經歷一個從有限到無限的擴展過程。如果在此過程能夠給予學生充分的時間引發他們反思，引導他們從反例上去琢磨，便能與用數學文化思想育人的步調保持一致，也為學生的后續習得經驗提供強有力的支撐。

視角二：猜想

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說，真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想并加以證實。因此，猜想、驗證都是重要的思想方法，也是人們在解決數學問題時采用的基本策略。

“和的奇偶性”是在學生掌握了奇偶數概念，并掌握一定的研究、猜想、驗證的學習方法之后展開教學的。對于這節活動課，如果教師的教學目標僅限于讓學生掌握和的奇偶性特征，那么學生只要記住結論，然后套用結論進行判斷即可。很顯然，這種模仿式的判斷只是一種形式化的教學，很難讓學生真正達到對問題本質的理解，更難培養學生數學的意識與眼光，也就無法真正讓學生形成數學思維方式和數學素養。因此，當學生能夠運用舉例的方式發現“奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+偶數=奇數”的猜想時，筆者并沒有簡單地讓學生進行形式化的演繹和驗證，而是適時啟發：“同學們能根據平時積累的經驗，通過舉例后提出了猜想，并在舉例時能夠考慮不同類型，比如加數位數不同、個位數字不同……不過，這樣的例子舉得完嗎？萬一有個例子不符合結論怎么辦？該如何驗證猜想的正確性？”并據此帶領學生展開深度探究。借助學生的各種表達方式（用字母表示、數形結合，以及只考慮加數個位數的和的結果等），讓學生真正掌握了數學規律的本質，使學生“知其然”，更“知其所以然”，感受到數學的嚴謹，以及懂得數學是一門講理的學科。在教師不斷追問“為什么”的過程中，學生的理解也由表及里、由淺入深，這無形之中形成的批判意識和質疑精神為學生的數學素養奠定了重要基石，同時也彰顯了數學文化的育人功能。

視角三：建模

伽利略曾說：“宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，哲學就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它。這本書是用數學寫的，它的符號是三角形、圓和其他圖形，不借助于它們就一個字也看不懂，沒有它們就只會在黑暗的迷宮里躑躅。”我們知道，數學模型是對數學本質最精妙的概括，是數學抽象性特征的具體體現。因此，在嚴格意義上來說，建模既是數學教學的手段和方法，更是一種基本的數學思想。

“和的奇偶性”一課的知識起點并不高，對學生而言貌似是“不教也會”的內容，但事實果真如此嗎？實際上，學生對這些知識只是“知其然”，而“不知其所以然”，對于知識背后所蘊含的思想、方法大都是一知半解而已。教師一定要從數學文化的視角對教材作深度挖掘與思考。

【片段1】筆者引導學生判斷36+28的和是奇數還是偶數，36+6+20+32的和呢？36+1+9+3+5的和呢？學生發現三個算式的結果都是偶數，而最后一個算式中，在“36”后面依次添上“+1”“+9”“+3”“+5”時，和有時是奇數，有時是偶數。由此，學生根據直覺猜測和的奇偶性與算式中奇數的個數有關。于是，筆者出示學習單（如圖1）。

筆者以兩個問題追問學生：（1）幾個非0自然數的和是奇數還是偶數，關鍵看什么？（2）和的奇偶性與算式中奇數的個數有什么關系？一下子將學生對2個數的和的奇偶性的認知擴大到3個、 4個、 5個……將關注點聚焦于奇數的個數上，使學生對知識“知其然”，更“知其所以然”，這為課程的推進起到了較強的推動作用，從而為全課營造基于疑問的認知場，使得學生的答案精彩紛呈。

生1：偶數的個數不管是2個、3個、4個……它們的和的奇偶性并沒有變化，也就是n個非0偶數的和仍然是偶數。

生2：隨著奇數個數的增加，它們的和的奇偶性隨之發生變化。當奇數的個數是1、3、5、7……時，它們的和是奇數;當奇數的個數是2、4、6、8……時，它們的和是偶數。也就是n個奇數的和有可能是奇數，也有可能是偶數。

師（追問）：這樣看來，判斷n個數相加的和的奇偶性，我們只要看什么就行了？起決定作用的是什么？

生（齊）：奇數的個數。

師：當奇數的個數是奇數時，和就是奇數;當奇數的個數是偶數時，和就是偶數。

生3：在既有奇數也有偶數的加法算式中，如果僅僅增加偶數的個數，和的奇偶性不改變。但是增加奇數的個數時，如果增加偶數個奇數，和的奇偶性不變;如果增加奇數個奇數，和的奇偶性改變。

嚴密的思維和清晰的表達是數學學科重要的學習要求。此時，這張為學生搭建認知結構平臺的學習單，成為他們不斷分析、思考、演繹、歸納的場所。在學生不斷思考構建數學模型的過程中，學習單中的表格充當了學生不斷建模的理想“模具”，于無形中幫助學生拓展了新的模型，也剛好符合數學文化的教育價值要求。

視角四：表征

真正的數學文化蘊含在數學知識的生成過程之中，它有著本身自帶的文化生命。對學生來說，使他們感到困惑的內容，往往是蘊藏在知識背后的、反映數學本質的思想觀念。因此，教師應將教材中沒有顯現出來的，或學生理解存在困惑之處進行加工再創造，使得隱藏于數學知識里的邏輯規律顯現。

【片段2】奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+偶數=奇數。兩個自然數相加，和的奇偶性為什么會有這樣的規律呢？

師：要解決這個問題，我們先來認識一位重要的人物——華羅庚。華羅庚是我國著名的數學家，他有一句非常重要的話——數形結合百般好。這句話是什么意思呢？為什么數和形結合好處多呢？剛才我們研究這三條規律時都采用了舉例的方式，其實我們在數學學習中不僅要回答老師提出的問題，更重要的是自己能提出有價值的問題。下面小組合作討論，任選一條規律，用你喜歡的方式驗證它是否適合所有的算式。

（學生反饋如圖2、圖3、圖4）

筆者用這樣一個敞開式的話題勾起了學生交流的欲望。學生有的用具體數值計算（如圖2），有的采用字母表征的方式（如圖3），有的考慮個位相加的情況，有的依據奇數和偶數的本質特點——能否被2整除來闡述（如圖4）……這樣的過程呈現的是學生原生態的思維方式。

【片段3】

如圖5，當學生演繹出“2a+2b+2c+1=2（a+b+c）+1”的字母表達式時，儼然已經超出了本節課的知識目標定位，但筆者并沒有阻止學生繼續思考，而是給學生搭建必要的支架，讓他們的思考路徑、思考方法順勢而為，因為這樣的探究更能激發學生學習的活力，碰撞出新火花。在這種相輔相成的互動中，演繹出字母表達式的學生自身也能夠因同伴的啟發而產生更深刻的思考。接著學生的思維，筆者用課件呈現學生的思路（如圖6）。

課件內容的直觀呈現，使學生切實體會到“數形結合百般好”的優勢所在。

學習數學的興趣和好奇心是認同數學價值的內在動力，而對數學價值認同的重要標識顯然是對數學思想的體會及凝練。良好的數學素養、言必有據的治學精神都是由數學縝密的邏輯思維方式所給予的。相信這樣一節充滿理性探究、動態生成的課堂，勢必為學生今后的學習奠定堅實的基石！

（責編 李琪琦）