從“算法”到“算理”的升華

吳厚天

【摘 要】理解算理是算法探究的前提，是提升運算能力的重要保證，教師往往忽視了三者之間的緊密聯系。小數加減法是小學數學教學的重點與難點之一，傳統教學偏重技能訓練，過于關注“算法”，學生的錯誤不易糾正，分析各種錯誤，其根本原因在于忽視了對“算理”的教學。本文認為可以從“實物情境”“幾何情境”“數理情境”三個層面，循序漸進地提升學生對小數加減法的“算理”的理解;可以從“集中思維”“逆向思維”“發散思維”幾個維度，逐步強化學生的“算理”思維。

【關鍵詞】運算能力 算法與算理 強化算理思維 小數加減法

計算教學應注重發展學生的運算能力。培養運算能力有助于學生理解算理，從而探究出合適的算法。理解算理是算法探究的前提，是提升運算能力的重要保證。教師的視角往往過于片面，多獨立看待算理、算法和運算能力，卻忽視了這三者之間的聯系。

“小數加法和減法”是小學數學高年級的教學內容。由于學生此前已經掌握了整數的加減法，因此很容易遷移到一位小數的加減法計算。整數加減法的豎式只要把末位對齊，就能做到相同數位對齊;而一位小數加減法的豎式，末位對齊也能做到小數點對齊。但是，在進入多位小數加減法教學后，學生卻經常會出現錯誤，開展多輪練習也難以解決這個問題。

一、算法練習掩蓋了“算理”教學的缺失

教師對學生進行小數加減法新授課的教學后，學生貌似“理解”了算法，但是簡單測試就會發現問題。測試內容分為兩個部分：第一部分是兩道小數加減法的筆算“6.98+9.3”“13.8-8.3”，正確率達87.5%;第二部分是對第一部分計算正確的學生進行口頭訪談—“筆算小數加減法時，為什么要小數點對齊？”學生的回答差異很大，正確率為22.9%。也就是說，大部分學生已經會小數加減法的筆算“算法”了，但是他們中的很多人并不明白其中的“算理”。由于對算理的不理解，學生貌似明白的算法會錯誤百出，主要集中在“小數點沒有對齊”“計算出錯”“抄錯數字”和“計算結果沒有及時化簡”這幾個方面。當然，通過一定量的鞏固訓練可以適當糾正。鞏固訓練示例如下：

鞏固訓練后，通過集體反饋的形式讓學生發現錯誤，自主勾選錯誤原因，可以幫助學生與教師及時進行反思，以達到查漏補缺的目的。奇怪的是過了一段時間，學生的錯誤依然會發生。算理和算法是密不可分的整體，算理是支撐算法的依據，兩者是顯性層面和理性層面的有效結合。很顯然，此時學生的學習還停留在“算法”層面，他們對其中內在的“算理”仍然沒有深度的理解。

二、循序漸進，轉向“算理”教學

基于這樣的學情，教師可改變原本的以算法訓練為主的教學思路，轉向剖析算理的深度思維教學，讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變。怎樣才能讓學生關注算理、自主探究以厘清算理呢？我們在學生嘗試獨立筆算并呈現算法后安排了小組合作，提供可選擇性素材（人民幣學具、百格圖、計數器圖），通過“集體評議”來論證算法的合理性，讓學生在相互建構中共同厘清算理、明晰算法。

1. 依據日常生活設計“實物化”的算理分析場景

以現實情境為依據，選擇學生熟悉的生活情境，一方面能自然引入需要探究的內容，另一方面能有效激活學生已有的知識經驗，驅動學生主動思考，以實現學習的遷移。同時，把計算教學與現實生活相結合，有利于學生感受運算的價值，引發探究的興趣。例如，某小組選擇的是借助貨幣單位換算進行論證，集體評議中匯報為：講義夾4.75元是4元7角5分，筆記本3.4元是3元4角。元加元，4元加3元是7元;角加角，7角加4角是1元1角;分加分，5分加0分等于5分。7元、1元1角和5分合起來就是8元1角5分，也就是8.15，所以4.75+3.4=8.15。

2. 借助幾何圖形（百格圖），構建“半實物化”的算理學習情境

有形的素材可以為學生提供一個表述和理解算理的支撐點，在思維的轉變處使算理逐步延伸、有效遷移，最終使算理變得直觀可視，使算法的抽象也能順理成章。例如，某小組選擇的是借助百格圖進行論證，集體評議中匯報為：4.75在百格圖中涂色為4個塊7個條5個格，3.4在百格圖中涂色為3個塊4個條。塊加塊，4個塊加3個塊共涂色7個塊;條加條，7個條加4個條共涂色11個條，也就是1個塊1個條;格加格，5個格加0個格共涂色5個格。7個塊、1個塊1個條和5個格合起來就是8個塊1個條5個格，也就是8.15，所以4.75+3.4=8.15。

3. 借助計數器圖，構建“去實物化”的抽象算理學習情境

在本節課中運用計數器圖可以讓學生明白小數加減法與整數加減法的相同處—都是把相同計數單位的數相加、相減，并幫助學生理解加法中的滿十進一、減法中的退一當十的算理。例如，某小組選擇的是借助計數器圖畫數珠進行論證，集體評議中匯報為：先在計數器圖上畫白色數珠表示4.75，個位上4顆，十分位上7顆，百分位上5顆;再在計數器圖上畫黑色數珠表示3.4，個位上3顆，十分位上4顆。合起來百分位上共5顆數珠，十分位上共11顆數珠，滿十向個位進一，十分位上保留1顆數珠，個位上是3+4+1=8，所以4.75+3.4=8.15。

以上是學生小組合作后匯報的論證方法，在此基礎之上，教師引導比較：這三種方法有什么相同點？進一步明確它們都是把相同計數單位的數加在一起，進而明晰小數點對齊實質上就是為了保證把相同計數單位上的數加在一起。數學運算中沒有脫離算理的算法，算理需要通過算法外顯出來。教師在教學中要重視學生對算理的深度理解，引導學生經歷這樣的論證過程，從而促使學生在理性分析中更好地溝通算理和算法之間的聯系，提升運算能力，同時也促使學生的探究意識和數學思維得到相應的發展。

三、持續內化，形成“算理”思維

通過循序漸進的算理教學，教師會發現仍有為數不少的學生容易出錯。具體表現在練習時，他們不想按部就班地去列豎式計算小數加減法。他們對算理的理解，還沒有在對復雜問題的解決過程中“固化”下來，對于算理、算法的掌握只是浮于表面，問題情境一旦發生變化，他們就很容易機械地去計算，然后出錯。教師可以設計一些有效的、有挑戰性的學習任務，讓學生在觀察、提問、比較、辨析中全身心投入，從而引發積極思考，建立牢固的“算理”思維。

1. 設計集中性思維問題

集中性思維是創造思維的必要前提，是發散性思維的基礎，主要強調思維活動中的記憶的作用，設計此類練習有助于推動學生自主建構出“算理”規律。例如：計算下面各題。3.33+4=（? ?），3.33+0.4=（? ?），3.33+0.04=（? ?）。在學生計算出正確答案后，教師可提問：“這幾道算式出現的數字差不多，為什么算出的結果不同？”再以針對性問題引領學生自主梳理算理的規律—4表示4個1，加在個位;0.4表示4個0.1（十分之一），加在十分位;0.04表示4個0.01（百分之一），加在百分位，促使學生進一步提升對于算理、算法內涵的掌握。教師要善于引導學生，使其在運算過程中邊做邊思，理解算理本質，促進運算能力的提高。

2. 設計逆向思維問題

逆向思維是從相反方面（或是從結果導向）出發進行逆轉推理的一種思維方式， 能夠提升學生的思維活躍度。例如：果果在計算14.56減一個一位小數時，由于錯誤地把數的末位對齊，算出結果是13.39。這個一位小數是（? ?），正確的結果是（? ?）。學生在解決這樣的問題過程中，需要在獨立思考的基礎上展開小組討論，提出各自的觀點：“把數的末位對齊，就相當于把一位小數變成了兩位小數”“錯誤方法導致十分位上的數與百分位相減、個位上的數與十分位相減”“先根據被減數和差算出錯誤的減數，再推理出原來的減數”等。在交流中形成思維的碰撞，在互動中實現與學習內容新的相遇與對話，從而促使學生雕琢自己的思想，形成對算理、算法新的認知，最終完全掌握算法。

3. 設計發散思維問題

有效地設計發散思維問題，能避免學生陷入單一、定向的思維模式，提升學生思維的變通性、創造性和聯想性，進而提升學習效果。例如：

A=0.00···0125 B=0.00···08，

1995個0 1999個0

那A+B的結果是多少？

這類問題的解決，需要學生對算理有比較深刻的理解。學生需要思考“1995個0和1999個0這兩個條件有何作用”“B的8到底與A的哪一個數字對齊”“如何才能保證相同計算單位上的數相加”等，而對具體問題的透徹理解，又為進一步牢固算理思維提供了豐富的感性經驗，并且自然遷移到如何保證兩個小數數位對齊的算法固化中，從而引領運算能力的有效提升。

總之，數的運算是數學課程內容的重要組成部分，處理好算理與算法的關系，引領學生對算理和算法進行深入理解，是發展運算能力的關鍵所在。算法的形成需要經歷由具體到抽象的過程，過于注重算法的練習，往往會掩蓋算理教學的缺失，繼而出現所謂的學生“粗心”而導致的計算頻頻出錯，殊不知出錯是因為對算理、算法的掌握浮于表面。只有循序漸進推進算理教學、扎實有效強化算理思維，才能真正落實運算能力的有效提升。與此同時，也能培養學生在學習過程中的獨立思考、主動探索與合作交流意識，獲得基本的數學活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。

本文系江蘇省揚州市教育科學“十三五”規劃課題“差異教學理念下‘數學運算核心素養培養的實踐研究”（課題編號：2020/P/067）的階段性研究成果之一。

（作者單位：南京師范大學附屬邗江實驗小學）

責任編輯：趙繼瑩