對(duì)一道高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的多種證法探究

董強(qiáng)

摘要：正方形和正三角形都是平面內(nèi)的對(duì)稱圖形，證明一個(gè)三角形為正三角形有很多的方法，可證三角相等、三邊相等、等腰三角形中有一個(gè)角為60°等.文章通過(guò)一道高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題，探究了這些方法.

關(guān)鍵詞：習(xí)題;構(gòu)造;同一法;探究

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）19-0022-03

北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第二章《解三角形》章末復(fù)習(xí)題二B組有一道證明等邊三角形的試題（第65頁(yè)第2題），題目是在正方形中有一點(diǎn)，使得其到正方形兩頂點(diǎn)連線與正方形一邊均成15°角，來(lái)證明該點(diǎn)與正方形其他兩頂點(diǎn)連線與正方形另一邊形成正三角形.

1 試題呈現(xiàn)

試題如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PBC=∠PCB=15°.

2 證法探究

分析考慮到正方形和正三角形的對(duì)稱性，可以建立平面直角坐標(biāo)系通過(guò)兩點(diǎn)間距離相等證明，或用正余弦定理證明三邊相等，或通過(guò)作輔助線利用三角函數(shù)證明三個(gè)角均為60°，或通過(guò)再構(gòu)造等邊三角形利用平面幾何知識(shí)證明原三角形三內(nèi)角相等，或通過(guò)設(shè)點(diǎn)或構(gòu)造圓找點(diǎn)構(gòu)造等邊三角形，利用同一法證明等.

評(píng)析證法1和證法2的思路均為證明三角形的三邊相等，證法1通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將點(diǎn)坐標(biāo)化，則三角形三邊長(zhǎng)度相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離相等問(wèn)題，利用兩點(diǎn)間的距離公式或者向量的模長(zhǎng)即可以求解，證法2將邊長(zhǎng)問(wèn)題利用正余弦定理進(jìn)行解決，從而證得了三角形的三邊相等.這兩種方法是學(xué)生最容易想到也是比較簡(jiǎn)單的證法.

評(píng)析證法6利用圓的性質(zhì)給出了找到正方形內(nèi)使得目標(biāo)三角形為等邊三角形的點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，正方形內(nèi)有這樣的四個(gè)點(diǎn)，其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中距這兩點(diǎn)最近的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形是一個(gè)小正方形.證法7對(duì)證法6的過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將理論中存在的點(diǎn)設(shè)出來(lái)，利用同一性證明了等邊三角形.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)5（必修）教師教學(xué)用書(shū)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[責(zé)任編輯：李璟]