深度學習的數學教學實踐初探

劉燕 郭海燕

摘要：“深度學習”理念與教學方式已顯必要.深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并把它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系并遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習.本文以借助互動白板技術的支持融合下的一段習題課的教學案例實踐為例，在以下幾個方面（理解的基礎上進行較高認知水平層次遷移類比等學習活動生成新知識、構建知識體系;溯源創新解決問題等）分享探討“深度學習”在教學中的應用.

關鍵詞：深度學習;數學教學;互動白板

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）21-0044-03

深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并把它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系并遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習.相對應的（也是傳統課堂教學流行方式）淺層學習的認知水平停留在識記和理解兩個層面上，學習者被動地接受學習內容，對書本知識和教師講授的內容進行簡單的記憶和復制，但是對其中內容卻不求甚解，這種學習使學生在課后不久就忘記了所學知識.所以為了強調學生成績的提高，勢必加強訓練，增加考試，家長還覺得不夠，再校外參加課外培訓……，所以才會呼喚減輕學生過重的作業負擔和校外培訓負擔，所以“深度學習”理念與教學方式顯得尤其必要.“深度學習”是教學中的學生學習，體現在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.“深度學習”必須滿足以下五大要點：（1）積極投入，（2）基于理解的學習過程，（3）學習活動和認知能力處于較高認知水平層次，（4）在整體性學習的背景下，逐漸建立自己的知識體系，（5）具有創造性和批判性思維，能夠解決情境下問題.

常常碰到這樣的一個問題，學生課上聽的時候會了，課后做的時候又不會了，同仁也常抱怨，現在學生的能力太弱了，剛講過的變個條件又不會了，問題出在哪兒呢？筆者經過長時間的調研和反思，發現教師普遍注重教學生怎么做而輕視教學生怎么想，所以，學生的“會”就停留在對解題步驟的理解，至于怎么想到這樣做，卻不了了之，所以效果自然就是聽一題，會一題，甚至對原題也是一知半解的，更不能說遷移了.我們平日的教學當中，認真思考解決好這個問題，其實已經融入了深度學習的理念，下面筆者就一道綜合應用型的習題，就互動白板技術的支持融合中解決情境下問題，深度學習的教學案例，與大家分享探討.

例1在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y=ax2-2ax+a-2（a>0），分別過點M（t，0）和點

N（t+2，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A和點B.記拋物線在A，B之間的部分圖像為G（包括A，B兩點）.

（1）求拋物線的頂點坐標;

（2）記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為m.

①當a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值;

②若存在實數t，使得m=2，直接寫出a的取值范圍.

1明確解題目標

解題從學法角度入手、知識溯源來分析，應該分三步：①要明確解題目標是什么;②根據目標追溯與之相關的知識源，結合知識源的主要特征，選擇適合的知識源求解;③解決情境下問題與建立自己的知識體系.

以上面的三個步驟作為操作模式，逐步引導學生學會“怎樣想”，呈現思路的形成過程和必然性，引導學生掌握基本的分析方法，才能夠讓學生自悟并有效遷移.下面，筆者通過這個案例說明習題教學如何從教“怎樣做”轉向教“怎樣想”.

2追溯選擇與問題相關的知識源求解

設計成下列驅動問題：

問題1：問題（1）求拋物線的頂點坐標，已學過的有關頂點坐標的知識源有哪些？

主要有二次函數解析式頂點式（知識源1）、頂點公式（知識源2）.

問題2：此問應選哪個知識源求頂點坐標？

觀察式子結構是字母系數（含參）解析式，然而發現配方成頂點式恰好計算量少于用頂點公式，所以選擇知識源1.

問題3：二次函數圖像如何確定？主干題中拋物線確定了嗎？請用白板畫圖理解.

a值與頂點確定則二次函數圖像確定，其中a值確定帶來開口方向與開口寬窄確定.主干題中拋物線只確定頂點與開口向上，開口寬窄不確定，所以是如圖1的拋物線系列.

問題4：如何理解“圖形G”？

二次函數動態問題的處理策略：數形結合，從直觀圖像開始認識性態結構，把結構研究作為一種思維的模式，最后超越直觀.圖形G是水平寬為2的平行垂線截拋物線得的一段，隨著t變化，圖形位置與大小變化（如圖2）.

【設計說明】這兩問目的在于由形感知，化難為易，培養學生掌握處理二次函數問題的策略.

問題5：主干題中“圖形G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差m”已學過的確定m值的有關知識源有哪些？

主要有平面直角坐標系中點坐標與線段長短轉化（知識源1）、“最高點與最低點落差”與“最大值與最小值的差”的轉化（知識源2）、結合二次函數圖像形狀與性質（數形結合求解）（知識源3）、構造待求量與某變量的函數關系，根據函數性質求最值（知識源4）.

問題6：應選哪個知識源？

如圖3，結合二次函數圖像形狀與性質（數形結合求解）（知識源2）與（知識源3）.

問題7：問題（2）①當a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值.如何用軸對稱圖形解決？

a=2時，圖像形狀固定，問題僅僅與位置有關，結合圖像（如圖2），拋物線對稱軸僅有一條，發現只有一個位置，滿足“部分圖像”成軸對稱，所以只能與拋物線共對稱軸，借助端點對稱性求解，點A與點B縱坐標相同為0，與最低點縱坐標-2的差均是2，所以m=2.

【設計說明】目的在于培養學生處理軸對稱問題的調控能力.

問題8：問題（2）②若存在實數t，使得m=2，怎樣求a的取值范圍？

求變量的取值范圍常有兩種處理策略，一是把要求的變量用另一個變量表示成函數，利用代數計算求取值范圍，二是配合圖像與性質，數形結合確定取值范圍.不論哪種策略都得分類討論.本題若用代數計算，計算量很大（學生嘗試過，計算超越現有的知識范疇），所以選擇用后者.

問題9：既然用圖形的性質解決此問題，同時，雙變量t與a都影響著m值，那么能否模仿二次函數性質探究方法，分別找出a固定或者t固定時m隨另一變量的變化規律？

a固定時，回歸課本（人教九上P29頁），從圖像看離對稱軸越遠越陡峭，從函數值看也是越變越快，m取最小值位置在圖形G與拋物線共對稱軸時（如圖2）;

t固定時，回歸課本（人教九上P31頁），在a>0的前提下，從圖像看a越大開口越窄，橫向等寬時高低差越大，從函數值看橫坐標等距函數值差距也越大，也就是說a增大m的最小值增大，可能使其超過2（如圖3）.也就是說由（2）①得a=2時，m≥2;若a>2，則m>2，即不存在m=2了，所以須得a≤2，才符合題意;綜上問題得解0【設計說明】從知識溯源切入，教學生怎樣想，目的在于培養學生深入溯源二次函數圖像性質探究規律的思維品質，a定m隨t的變化規律與t定m隨a的變化規律雙重規律夾逼下得到問題解決，拓寬思路，從直觀圖像開始最后超越直觀，提升處理二次函數多參數問題的能力.

3解決情境下問題建立自己的知識體系

教師應該引導學生怎樣想，尤其是思路受阻時，借助知識溯源、回顧處理相關問題的知識源，往往能打開解決問題的思維通道，確定解題方向的切入點，也比較容易調動學生已有的知識，經驗感受和興趣，從而更加自主參與知識的獲取、問題的解決過程，有利于學生從中獲取更多的新知、感悟，理解與建構知識結構、促進內化與創新思維.

互動白板技術創造性應用為數學實驗創設增加了可操作性，讓學生自己動手畫y=ax2-2ax+a-2（a>0）圖像，操作得圖2、圖3效果，特別是圖1、圖2、圖3給學生反復觀察和共同研究探討，從而為性質的歸納，結論的提煉，知識的構建，提供了直觀到抽象、靜態往動態的平臺，為創造性和批判性思維的發展提供保障.

正如數學家德海納特說，所有有活力的思想都有一個緩慢的發展過程，留足夠的探索時間，引導學生，圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功、獲得發展.深度學習有著不可忽視的教育價值.

參考文獻：

[1]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11.01）：25-32.

[2]劉華為，沈旭東.基于操作感悟突出生成過程——“三角形有關概念的幾點思考”[J].中小學教材教學，2020（Z2）：60-62.

[3]劉華為.基于問題驅動，加強功能開發——對例題教學的一點嘗試[J].中學數學教學參考，2020（01.15）：60-62.

[責任編輯：李璟]