談談利用基本不等式求最值的技巧

邱官蓮

若a、b>0，則a+b≥2√ab，該式稱為基本不等式.運用基本不等式求最值需滿足三個前提條件：（1）兩數或式均大于0;（2）當兩數或式的和為定值時，其積取最大值;當兩數或式的積為定值時，其和取最小值;（3）當且僅當兩數或式相等時等號成立，簡稱為“一正”“二定”“三相等”.當直接用基本不等式求最值的條件不具備時，我們可以采用一些技巧將題目條件和目標式變形，以便利用基本不等式求得最值，常用到的技巧有：配湊、“1”的代換、分離常數、換元、消元等。

三、分離常數

有些分式較為復雜，無法直接運用基本不等式，此時不妨將分子配湊成分母的倍數或平方式，將常數和含有變量的式子分離，再通過添項、湊系數，配湊出兩式的和，并使其積為定值，即可運用基本不等式解題.

四、換元

有些目標式較為復雜，其中含有根式、絕對值、高次冪，此時可使用換元法，用新變量替換目標式中的部分式子，只要保證變量是正數，并利于計算，便可利用基本不等式來求最值，在換元的過程中，要確保新舊變量的取值范圍等價.

五、消元

有些目標式中含有多個變量或參數，無法直接運用基本不等式求最值，我們就可以采用消元法減少變量的個數，簡化目標式，構造出使用基本不等式的三個前提條件，即可順利解題，

總之，基本不等式是求最值的重要工具，同學們要仔細分析已知條件，建立目標式與已知關系式之間的聯系，靈活運用配湊、“1”的代換、分離常數、換元、消元等技巧來將目……