回歸根本，探尋解題之道

韓輝冰

[摘 ?要] 幾何題千變萬化，萬變不離其宗，追本溯源，以不變應萬變，是教師的授課之道. “將軍飲馬”問題是多線段和最短問題， 解題依據是兩點之間線段最短，通過對稱、平移、旋轉將多線段和的問題轉化成兩點間線段最短問題.

[關鍵詞] 線段和;兩點間距離;轉化

“將軍飲馬”問題是中考熱門考點，且大多數是求線段和最短問題. 在遇到這一問題時通常的做法是采用對稱、平移將線段和問題轉化成兩點間線段最短問題來求解，并沒有過多探尋這樣做的原因及其達到的目的. 下面根據筆者在進行“將軍飲馬”問題專題復習時的思路，對線段和問題的做法根本進行探討，并由此將“將軍飲馬”問題進行拓展.

模型分析，找尋根本

解決幾何問題的通常做法是找到基本原理及基本模型，“將軍飲馬問題”也不例外，“將軍飲馬”問題的基本模型如下：

如圖1所示，直線l上有一動點P，直線l上方有一定點B，直線l下方有一定點A，在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.

分析：由兩點之間線段最短可知，連接AB，線段AB與直線l的交點就是需要找的點P. 從題目的最終結論來看，線段之和最短，變成了兩點間的距離. 用幾何畫板演示，三角形三邊關系能夠解釋說明結論. 但筆者認為，線段和最短能轉化成兩點間的距離，是因為目標線段PA，PB形成了順次連接. 所以解決此類線段和最短問題，根本思考是使目標線段形成直線型順次連接，將線段和轉化成兩點間的距離.

回歸根本，模型應用

將含動點多線段和最短轉化成兩點間距離是根本思路，解決問題的關鍵點是如何使目標線段形成直線型順次連接. 線段轉化的必要前提是不改變線段的長度，不改變長度的基本變換有對稱、平移、旋轉. 下面就“將軍飲馬”的常規模型進行分析.

1. 對稱轉化

類型一（兩定一動型）：如圖2所示，直線l1上有一動點P，直線l1上方有兩定點A，B，求PA+PB的最小值.

分析 ?點P是定直線l1上動點，A，B為定點 ，PA+PB在直線l1的同側，可以通過作定點關于直線l1的對稱點，將其中一條線段傳化到直線l1的另一側，圖2中將PA轉化成PA′，使得PA+PB=PA′+PB，從而達到目標線段直線型順次連接，最終A′，B兩點的距離為PA+PB的最小值.

類型二（一定兩動型）：如圖3所示，點C，D分別為直線l1，l2上的動點，B為一定點，連接BC，CD，DB，求線段BC+CD+DB的最小值.

分析 ?本類型涉及兩個動點，且兩個動點均落在兩定直線上，要實現目標線段直線型順次連接，必然是要轉化. BD，CD在直線l1的同側，BC，CD在直線l2的同側，顯然在轉化時應考慮將BC，BD轉到相關定直線的另一側，于是通過對稱可將BC+CD+DB轉化為B2C+CD+DB1，實現目標線段直線型順次連接，而B1，B2的距離即為BC+CD+DB的最小值.

2. 平移對稱轉化

類型三（跨線段兩定一動型）：如圖4所示，直線l1上有一長度不變的動線段CD，A，B為直線l1上方兩定點，求AC+BD的最小值.

分析 ?定直線l1上相當于有兩個動點C，D，顯然目標線段AC，BD沒有公共頂點，通過對稱轉化沒有辦法將目標線段直線型順次連接，對稱無法解決問題. 考慮平移變換，將線段AC，沿線段CD平移到A1D，問題回歸到類型一，再通過對稱，使AC+BD=A1D+BD=A1′D+BD，最小值為A1′，B兩點間的距離.

3. 旋轉轉化

類型四（三定一動型）：如圖5所示，P為△ABC內一動點，求PA+PB+PC的最小值.

分析 ?PA，PB，PC三條線段共頂點，而且動點P不在固定的直線上，此時對稱、平移這兩個變換顯然已無法實現三條線段順次連接. 我們知道將圖形進行旋轉變換也不改變形狀和大小，因此考慮旋轉. 旋轉后要使三條線段順次連接，連接點必有點P，所以可以保留其中一條線段不動，將另外兩條線段轉化. 旋轉需要確定旋轉中心，圖中有三個定點A，B，C，三者都是平等關系，所以三個定點都可以為旋轉中心. 以B為旋轉中心為例，如圖6所示，保持PA不動，則PB，PC均需要轉化，兩條線段最直接的關系是與BC構成△PBC，將△PBC繞點B順時針旋轉60°，由旋轉可知，PC=P′C′，連接PP′，△BPP′為等邊三角形，PB=P′B=PP′，因此PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′，實現了三條目標線段直線型順次連接，A，C′兩點的距離即為PA+PB+PC的最小值. 另外，A，B，C′三點均為定點，所以∠PCB=∠P′C′B也固定，線段AC′與PC的交點即為PA+PB+PC最小時點P的位置.

4. 拓展思考

幾何題的魅力在于，當用同一種方法同一種思考去解決一系列的問題時，思維會慢慢打開，引發更多的思考，如將題目變式，結論變式，圖形變式等等，但解題思路和方法依然可以延續. 筆者在復習完上面的類型四后，學生提出了新問題，既然在三角形內可以找到一點P使其到三個定點的距離之和最小，是否也可以用這一思路，在三角形邊上找三個點使其構成的三角形的周長最小？從教師基本模型分析，到學生最后自主聯想新問題的產生，讓師生都切身體會到思維發展的過程. 特別是在分析解決學生提出的問題時，學生之間展開了激烈地討論，解決方案一個一個被提出來，又一次次地被質疑和否定，經過多次地爭辯，最終才找到讓所有人都心服口服的解法. 筆者將學生的問題及解答整理如下：

如圖7所示，在△ABC中，D，E，F分別是AB，BC，AC上的動點，求DE+DF+EF的最小值.

本題的產生是受類型四的啟發，但解法卻是從類型二的解法入手，動點在固定的直線上，要實現三條線段形成直線型順次連接，考慮通過對稱轉化，但沒有定點，這時采取控制變量法. 如圖8所示，假設E為定點，分別作點E關于AB，AC的對稱點，則DE=DE1，FE=FE2，順利完成目標線段直線型順次連接，可以確定，E1，E2兩點間的距離就是DE+EF+FD的最小值. 但E并不是定點，因此E1，E2也不是定點，E1，E2的距離何時最短？再次回歸根本，在變中尋找不變，E1，E2由對稱產生，從對稱的性質可知△AE1E2是等腰三角形且∠E1AE2=2∠BAC，因此當AE最短時，線段E1E2最短，E是AC上的動點，當AE⊥BC時，如圖9所示，線段E1E2最短，DE+DF+EF的值最小.

思考總結

經過這一系列復習，學生對“將軍飲馬”問題的幾個類型有了清楚的認識，在此過程中感受解題回歸根本，找到通性通法的好處，既能解決問題，又能發散思維. 特別是“拓展思考”問題的產生及解決，給師生都帶來很大的驚喜，學生們的研究熱情也大大提高，這也恰好體現了學生的學習過程從無到有再到更有的生長過程. 后面在復習“胡不歸”問題，“阿氏圓”問題時，學生也遵循著使目標線段形成直線型順次連接這一根本關鍵點，將難點各個擊破. ?中考復習知識點多，類型廣，難度大，而復習時間又不長，課堂教學很難做到每題精講，同時學生也面臨著各科的復習壓力. 因此我們在復習時應秉持“授人以魚不如授人以漁”的原則. 在專題復習時，多從基本模型，根本方法出發，讓學生深刻感受學生有章可行，有法可依，既減輕學生的學習壓力，又激發學生學習興趣;既讓學生掌握了知識，又培養了學生的邏輯思維、發散思維和研究精神.

我們在解題時，并不僅僅是抱著將該題解完就結束的心態，而是希望通過研究思考，一層一層，刨根問底，得出此類題型的根本知識點，得到解題的通性通法，以不變應萬變. 如果能一直堅持這一原則來開展課堂教學，學生學習起來事半功倍，在遇到新問題時，也能剖析題目本質，輕松解決問題.