數學文化的教學意蘊及問題鏈的價值

【課堂研究·特設專欄：指向數學文化的問題鏈教學研究（一）】

編者按：隨著數學課程改革的深入，數學文化的教育價值已得到大家的充分認同，并被寫入了數學課程標準中。在數學教學中，如何自然而深入地體現數學文化，以實現文化育人？這已成為一個重要的實踐問題。本專欄立足數學文化觀，探索以問題鏈作為載體的數學文化教學，以期為數學文化融入數學教學提供借鑒。

【摘 要】數學課程標準對數學文化提出了明確的要求，而如何在數學教學中有機地融入數學文化是一個重要的現實問題。要全面地體現數學課程標準中所闡明的數學文化，需要借助數學實踐，而問題鏈是讓學生進入數學實踐并彰顯數學文化的重要抓手。

【關鍵詞】數學文化;數學課堂;問題鏈

數學的文化性已被越來越多的人認識到，數學文化也成為數學課程與教學的重要組成部分。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《義務課標2022年版》）、《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《高中課標2017年版2020年修訂》）在課程性質中都明確指出，數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。如何在數學教學中有機地融入數學文化，實現文化育人的目的？這成為一個重要的實踐問題。在目前的教學中，還存在一定程度的將數學文化窄化為文化素材，將數學文化的教育窄化為文化素材的欣賞等問題。基于此，本文試圖基于課程標準中關于數學文化內涵的分析，討論問題鏈在落實數學文化中的價值。

一、課程標準中關于“數學文化”的理解

目前關于數學文化的定義雖然未得到統一，但也形成了一些基本的共識。《高中課標2017年版2020年修訂》提出，數學文化不僅是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。在《義務課標2022年版》中雖然沒有明確界定數學文化，但在教材編寫建議中間接地闡述了應在教材中滲透的數學文化的基本方面，其中包括數學在自然與社會中的應用、數學發展史等背景知識。

立足于“數學是一種文化”這一觀點，可以從三個方面來理解課程標準中關于數學文化的認識。一是數學是一個相對完整、獨立的文化系統。數學有其自身的思想、精神、語言、方法與觀點，也正是在這些文化要素的支撐下，數學得以發生與不斷發展。這與數學家懷爾德在其著作《作為一種文化系統的數學》中曾做出的論斷是一致的：數學構成了一個相對獨立的文化系統。二是數學是人類文化的子文化，其發展受到了人類文明的影響。這正如《高中課標2017年版2020年修訂》在課程性質中所指出的：隨著現代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，人們獲取數據和處理數據的能力都得到很大的提升，伴隨著大數據時代的到來，人們常常需要對網絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數字化處理，這使數學的研究領域與應用領域得到較大拓展。《義務課標2022年版》也有類似的論述，即隨著大數據分析、人工智能的發展，數學研究與應用領域不斷拓展。三是數學是一股重要的文化力量，推動著人類文明的發展。兩份課程標準對數學的文化價值均做了類似的論述：“數學是自然科學的重要基礎”“在社會科學中發揮著越來越重要的作用”“數學的應用滲透到現代社會的各個方面”“直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展”。

概括來說，數學文化既強調將數學作為相對獨立的文化系統來理解數學的本質及其發展，同時強調人類文化其他部分對數學這一子系統產生的影響，還強調數學在人類文明發展中所做出的貢獻。事實上，關于數學文化的三方面理解，綜合起來就是站在文化的角度呈現數學的來龍去脈，呈現數學作為一個整體性的文化實質。李鐵安在對文化和數學的本質分析后指出，數學就是一種文化。數學文化是人類在數學活動中所積累的精神創造的靜態結果和所表現的動態過程。[1]

二、數學實踐是體現數學文化的途徑

那么，究竟如何才能讓學生感受到較為完整的數學文化？正如黃秦安所指出的，數學文化觀采取了一種更為廣泛和寬闊的理論視角去看待有關數學的各種問題[2]4-7。這種觀念必然會對數學教與學產生新的認識和要求。張維忠指出，數學文化的學習表現為群體的活動性、系統的開放性、知識的默會性等特征[3]。筆者認為，活動性是數學文化學習的基礎性特征，唯有活動才能讓系統的開放性特征得以再現，默會性知識得以學習。更重要的是，數學文化觀使我們看到了作為個體或群體的人在數學及其發展過程中的主體作用，即認識到了作為人類的一項創造性活動的數學。因此，主體性的數學活動或者說數學實踐是數學文化觀的其中一個要義。換言之，在數學教與學中，應利用數學實踐體現數學文化。

數學實踐是一種特殊的學科實踐，在教育領域中體現了一般的學科實踐的基本內涵。崔允漷等認為，學科實踐是指具有學科意蘊的典型實踐，即學科專業共同體懷著共享的愿景與價值觀，運用該學科的概念、思想與工具，整合心理過程與操控技能，解決真實情境中的問題的一套典型做法[4]。因此，數學課程中的數學實踐，是一種具有數學學科意蘊、具有教育意義的典型實踐。數學實踐過程負載著數學特有的價值觀、精神與思維，同時也是由這些要素推動著數學實踐的發展與數學實踐結果的凝練。

那么，彰顯數學文化的數學實踐活動應是怎樣的？對教與學提出了什么樣的價值追求？

首先，彰顯數學精神與思維支撐下的數學發生發展過程。從數學文化觀來看，數學并非僅僅是靜態的、已完成的知識體系，而是呈現出由擁有共同信念的數學共同體在數學精神的支撐下，利用數學思維不斷推動數學發展的動態過程。因此，教學中的數學實踐就不能只是強調作為結果的數學知識的傳承，還應強調讓學生經歷數學發生發展的過程，體驗其背后所蘊含的數學思維與精神。

其次，彰顯數學發展的文化動因。數學發展有其自身內部的動因，也有如前文所述技術發展等數學所處的人類文化的外部動因，并受相應文化所擁有的價值觀、行為模式等的影響。比如，正是對實用與理論的不同志趣，在很大程度上導致了中國古代數學重應用、古希臘數學重理論的特點。因此，教學中的數學實踐需要將數學的發展背景放大到人類文化的大視野中，使學生更好地理解數學及其發展。

最后，彰顯數學的文化力量。無論是歷史還是當下，數學在人類文明的進步過程中都做出了重要的貢獻，在許多領域數學已從后臺走向前臺。但在學生的數學學習中，仍然存在著將數學與學生的現實生活、所處的文化相剝離的現象。因此，教學中的數學實踐應進一步密切數學與人類文化其他部分之間的聯系，讓學生感受到數學的文化價值。

三、問題鏈是激活數學實踐、彰顯數學文化的抓手

由上述分析可知，數學實踐是體現數學文化的重要途徑。然而在教學實踐中，如何才能讓學生進入并持續性地維持在有價值的數學實踐中呢？筆者認為，數學問題鏈是一個重要的抓手。數學問題鏈教學是指教師借助由有序的、主干數學問題組成的問題鏈展開教學的一種教學模式[5]。這里的問題是指在數學發展或在數學學習中具有核心地位的，處于關鍵位置的大問題、主干問題，問題與問題之間的關系反映了重要的數學思維及數學發展的基本脈絡。問題鏈在激活學生的數學實踐并彰顯數學文化上有以下價值。

（一）問題吸引學生參與數學實踐，體會數學發展的文化動因

將學生吸引到數學實踐中來，這是數學實踐發揮育人價值的前提。如果學生游離在數學實踐的學習活動之外，那么數學實踐活動設計得再好，也無法真正起到育人的作用。在數學教學中，也不乏因為學生不理解學習的必要性、缺乏足夠的學習動機而對其學習造成消極影響的現象。出現這種現象的一個重要原因在于，教學中將數學從其豐富的意義脈絡中剝離出來，變成了純粹知識的教學與符號技能的訓練。數學文化觀告訴我們，數學是在受到內外部問題的驅動下得到不斷發展的。在教學中，通過問題可以還原數學在其發展過程中遇到的困境，揭示數學發展的文化動因，從而讓學生投入到為了解決問題而開展的數學實踐中來。

首先，數學史中的問題吸引學生理解歷史上的數學實踐。比如，在高中數學虛數的學習中，如果只是將虛數作為一種新的數，只是著重于運算法則之下的符號操作的話，也許能達成技能的熟練，但對虛數的意義以及為什么要學習虛數等問題是缺乏理解的。在筆者參與的一個課例研究中，為了吸引學生賞析歷史中的數學實踐過程，筆者設置了以下問題。首先，設置一個引入性問題：對于三次方程x3=15x+4，你能求出它的根嗎？是怎么求的？經過討論，學生發現這個方程可通過因式分解變成（x-4）（x2+4x+1）=0，從而找到方程的一個根4。接著，這個問題又引發學生思考另一個問題：如果遇到不容易因式分解的三次方程，又該如何求解呢？從而將學生吸引到數學家卡丹對解三次方程的研究中。[6]

其次，現實中面臨的問題能激活學生的求知欲，激發學生的實踐興趣。比如，在小學折線統計圖的教學中，教師可以通過“如何直觀地反映某地新冠疫情的變化趨勢”這一問題，讓學生產生“條形統計圖雖然也能反映變化趨勢，但還不夠直觀”的不滿足感，以及激發學生開展以改進數據呈現模型為目標的數學實踐的興趣[7]。

（二）問題為學生提供應用性的數學實踐機會，感受數學的文化價值

如何在教學中凸顯數學的文化價值，這其實并沒有想象中那么容易。黃秦安指出，許多自然科學的新突破和新進展，例如克隆、大爆炸、基因圖譜與基因工程、超導、納米等，能夠較快地被普通公民所接受并迅速成為大眾文化的一部分，然而，數學的情況卻要糟糕得多。隨著數學專業化程度的日益提高，數學的最新成果難于被社會公眾所理解，甚至通俗的解釋都是十分困難的。[2]2-7因此，教師需要通過合適的問題設計，為學生提供應用性的數學實踐機會，讓學生感受數學所發揮的文化價值。

比如，幾何變換是圖形與幾何中的重要內容并在現實世界中有著廣泛的應用。然而如何才能讓學生認識這一點？教師可以通過以下兩個問題引發學生數學實踐：一是在我們生活的現實世界中，哪些體現了幾何變換？具體是怎樣的幾何變換？二是你能用幾何變換設計一個漂亮的美術作品嗎？[8]其中第一個問題的目的是讓學生帶著關于“幾何變換”的認識，去觀察現實世界，發現如建筑、服飾、美術作品中存在的幾何變換，這既是對幾何變換相關知識的鞏固與應用，也為學生感受數學的美學價值提供機會。第二個問題的目的是讓學生利用數學知識進行創作，在自己的作品創作過程中體會數學的應用價值。

（三）問題鏈為學生脈絡化的數學實踐提供線索，體會數學的文化系統

數學實踐是一個整體，有實踐的目的與緣起，也有實踐的過程，還有實踐的結果。課堂中的數學實踐不會像數學學術研究中那么完整，往往是經過理性重建后的簡約的實踐。盡管如此，仍然需要為學生提供數學實踐的關鍵脈絡，否則會造成學生理解的片面與碎片化。而且數學實踐背后的脈絡凸顯了數學內在的思維方式及更隱性的數學精神。問題鏈中問題與問題之間的關系，其實體現了數學的思維及精神。正是數學思維，才使一個問題發展到另一個問題，而數學精神則為這種發展提供了動力。

比如，擴張化精神驅動人們將問題做一般化處理，反過來基于一般化思維的數學問題鏈也能讓學生體會到數學的擴張化精神。舉例而言，以下關于“圓錐曲線一類定點問題的探索”中設置的幾個問題[9]，體現了數學的擴張化精神和一般化思維。

問題1：已知拋物線y2=4x，過x軸上一點K的直線與拋物線交于點P，Q兩點。證明：存在唯一的點K，使得[1PK2+1KQ2]為常數，并確定點K的坐標。

問題2：其他的拋物線也存在這樣唯一的點，使[1PK2+1KQ2]為常數嗎？

問題3：如果把上述問題的背景推廣到橢圓、雙曲線上，也存在類似的結論嗎？

又比如，數學中的統一建設精神驅動人們尋找系列問題的共通視角、一般性質及基本方法等，同時也驅動人們利用統一性提出問題、分析問題、解決問題。以下關于“立方根”教學中設置的幾個問題即體現了視角關聯背后的統一建設精神[10]。

問題1：我們在學習數的平方后，還學習了立方以及乘方。類似地，在學完平方根后，你認為還可以研究什么？

問題2：根據平方根的學習經驗，你認為可以怎樣研究立方根？

綜上所述，數學文化既表現為數學是一種相對獨立的文化體系，又表現為人類文化的一個子文化。其一方面受人類文化其他部分的影響，另一方面又在人類文明進程中發揮了重要的文化價值。數學實踐是數學教學中體現數學文化的重要途徑，而問題鏈則能為激活數學實踐并彰顯數學文化提供抓手。

參考文獻：

[1]李鐵安.文化意義下的數學及其教育意蘊[J].數學教育學報，2008（6）：16-20.

[2]黃秦安.關于數學文化的若干重要相關研究領域：兼論如何進一步開展數學教育的文化研究[J].數學教育學報，2007（2）：4-7.

[3]張維忠.數學教育中的數學文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[4]崔允漷，張紫紅，郭洪瑞.溯源與解讀：學科實踐即學習方式變革的新方向[J].2021（12）：55-63.

[5]唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的理論與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[6]吳英，徐元根，唐恒鈞.基于數學本質的“數系的擴充和復數的概念”教學探索[J].中學教研（數學），2019（3）：1-4.

[7]唐恒鈞，李婉玥.指向核心素養的小學數學文化主題活動及設計要點[J].浙江師范大學學報（自然科學版），2021（4）：476-480.

[8]唐恒鈞，張維忠.民俗數學及其教育學轉化：基于非洲民俗數學的討論[J].民族教育研究，2014（2）：115-120.

[9]徐麗峰，唐恒鈞.通過數學思維框架助推學生有效探究：基于“圓錐曲線中一類定點問題”的教學探索[J].中學數學雜志，2017（3）：19-22.

[10]胡艷，唐恒鈞.“立方根”概念的問題鏈教學探索[J].中學數學研究（華南師范大學），2019（6）：8-10.

（責任編輯：陸順演）