重視思維推理，倡導反思拓展

王劍

[摘? 要] 拋物線與直線綜合題型常作為壓軸題在中考中出現，該類問題往往條件信息眾多，數形結合緊密. 問題突破建議深入分析問題條件的特點，立足知識考點開展思路突破. 同時注重解后反思，全面認識問題，強化解題方法. 文章以2021年連云港市的中考拋物線壓軸題為例，開展解題探究，并提出了相應的教學建議.

[關鍵詞] 拋物線;幾何;面積;角度;拓展;轉化

考題呈現，問題解讀

考題? （2021年江蘇省連云港市中考卷第26題）如圖1所示，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知B（3，0）.

（1）求m的值和直線BC對應的函數解析式;

（2）P是拋物線上的一點，若S△PBC=S△ABC，請直接寫出點P的坐標;

（3）Q為拋物線上的一點，若∠ACQ=45°，求點Q的坐標.

解讀? 本考題以拋物線與直線相交為背景，設定了拋物線與坐標軸的三個交點，第（1）問探求m的值和函數解析式，實則考查待定系數法;第（2）問和第（3）問則設定了拋物線上的點，構建了三角形和45°角，屬于函數與幾何的結合，實則考查學生在函數曲線中構建幾何模型. 問題的綜合性極強，對學生的邏輯推理、模型構建、轉化運算能力有著較高的要求.

思維推理，過程突破

問題突破需要把握關鍵點，定位考點，結合知識點來構建模型，轉化條件，準確運算，下面筆者逐問探究.

突破1：待定系數法求解析式

求拋物線解析式中的參數及直線BC的函數解析式的核心解法是待定系數法，因為拋物線的解析式為一般式，所以可以直接代入點的坐標求參數. 將點B（3，0）代入y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）中，化簡后可得m2+m=0，解得m=-1或m=0（舍去），所以拋物線的解析式為y=-x2+4x-3. 因為C為拋物線與y軸的交點，所以C（0，-3）.

設直線BC對應的函數解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標分別代入，可得3k+b=0，

b=-3，可解得k=1，

b=-3，所以直線BC對應的函數解析式為y=x-3.

突破2：等面積轉化求坐標

該問設定P為拋物線上的點，求S△PBC =S△ABC時點P的坐標，而△ABC的三個頂點均為定點，故為固定的三角形，可直接結合面積公式來分析.

可將△ABC視為是以BC為底邊，A為頂點的三角形，而△PBC為以BC為底邊，P為頂點的三角形，則只需滿足點P到直線BC的距離等于點A到直線BC的距離即可.

從幾何視角來突破，利用“平行線之間的距離相等”來確定點P所在直線，有兩種情形. 情形①為直線PA與直線BC相平行，此時點P位于直線BC的上方;情形②為點P所在直線與情形①中的直線PA關于直線BC對稱，此時點P所在直線在BC的下方. 下面筆者結合幾何知識求點P的坐標.

情形①——點P位于直線BC的上方

該情形為圖2所示的直線P1A，設直線P1A的解析式為y=kx+b. 若P1A∥BC，則兩直線解析式的k相等，即k=1. 由拋物線的解析式可知點A（1，0），B（3，0），將點A代入y=x+b中，可得y=x-1，聯立直線與拋物線的解析式，可得點P1（2，1）.

情形②——點P位于直線BC的下方

該情形下點P所在直線應與拋物線有兩個交點，如圖2所示的點P2和P3，同理可知直線P2P3與BC平行，解析式中k=1. 對于其中的對稱關系，可通過直線平移來實現，即直線P1A向下平移線段DC得到直線BC，再平移等長線段得到直線P2P3，故可推知CD=CE. 其中點D（0，-1），點C（0，-3），則CD=CE=2，所以點E的坐標為（0，-5）. 結合k=1及點E坐標可求得直線P2P3的解析式為y=x-5. 聯立直線y=x-5與拋物線解析式，可求得點P2

，，P3

，.

綜上可知，滿足條件的點P有三個，分別為（2，1），

，

，

，.

突破3：模型構建求坐標

該問設定點Q為拋物線上的點，探究生成∠ACQ=45°時點Q的坐標，筆者采用數形結合的方法，構建幾何模型，利用模型確定Q所在直線上的第2點，具體過程如下.

取點Q，連接CQ，過點A作CQ的垂線，垂足為D（如圖3所示）. 過點D作DF⊥x軸于點F，再過點C作CE⊥FD交FD的延長線于點E，則圖中存在“一線三直角”全等模型，由模型及∠ACQ=45°可知△CDE≌△DAF，由全等性質可得AF=DE，CE=DF.

可設DE=AF=a，則CE=DF=a+1，由OC=3可得DF=3-a，即a+1=3-a，可解得a=1，所以點D（2，-2）. 結合點C的坐標可得直線CD的解析式，即y=x-3. 聯立直線CD與拋物線的解析式即可求點Q的坐標，即Q

，

-.

反思總結，解法拓展

1. 反思總結

上述對一道拋物線綜合題進行了思路突破，整個過程充分把握問題特征，探索解法，下面筆者深入反思，賞析解法.

上述考題第（1）問的思維過程極具連貫性，可概括為“拋物線參數→點坐標→直線解析式”，即構建了“直線或曲線解析式?點的坐標”的推理關系，這也是待定系數求解的知識核心，該思維方法在函數綜合題第（1）問求參數、點的坐標、解析式問題中應用廣泛.

第（2）問可歸為等面積問題，其突出特征是所涉兩三角形可視為是同底三角形，該條件為上述平行或重合轉化提供了基礎. 而在求對稱直線時所采用的平行構建策略，避免了繁復的代數運算，極大地簡化了解題過程.

第（3）問給出特殊的45°角，同樣求點的坐標，確定點所在直線的解析式是關鍵，上述基于45°角構建了“一線三直角”全等模型，利用模型特性來推導點坐標. 其中的等腰直角三角形、全等關系是該模型的核心，也是思路構建的關鍵.

2. 解法拓展

上述考題的第（3）問的思維過程可概括為：把握45°角→定位“一線三直角”全等模型→模型性質求線段→確定關鍵點坐標. 將“∠ACQ=45°”轉化為模型中的特殊三角形，再由幾何知識確定點坐標. 但其推理過程的難度較大，后續還需多步運算，實則可對模型進行簡化，可避免無用計算.

以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，再過點A作AC的垂線，與☉A的交點設為點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，如圖4所示. 可知△ACD為等腰直角三角形，圖中有“一線三直角”全等模型，可證△ADF≌△CAO，由全等性質可得AF=OC=3，DF=AO=1，從而可得點D（4，-1），可求得直線CD的解析式為y=x-3，直線CD與拋物線的交點就為點Q，直線與拋物線聯立即可求得點Q的坐標為

，

-.

評析? 上述“橫向”構建了“一線三直角”全等模型，教師可直接利用線段長確定CQ所在直線上的點D的坐標，有效避免了線段長的推導. 其中的隱圓是實現等線段轉化的重要策略，而構建垂直線段則呈現了特殊的模型.

解后反思，教學建議

上述對一道拋物線綜合題進行了思路突破，充分呈現了解題的思維過程，有利于幫助學生掌握綜合性問題的分析方法，下面筆者基于教學進一步反思.

1. 關注問題特點，分析轉化策略

綜合性問題的條件信息較為豐富，挖掘問題特點，開展條件轉化是解題的關鍵環節，將直接影響解題思路的構建. 如上述第（2）問中給出了等面積條件，把握兩三角形共底的特征，則可將問題轉化為兩線平行問題. 故解題教學要引導學生總結問題特點，提取條件特征，然后結合特征來轉化問題. 同時問題條件的轉化過程，也是對問題的本質探索. 常見的轉化策略較多，除了上述平移轉化等面積條件外，還有旋轉轉化、對稱轉化、線段截取轉化等.

2. 立足問題條件，合理構建模型

數學模型在綜合性問題中有著重要應用，模型的特征結論可降低思維難度，提升解題效率. 本題第（3）問中充分應用了“一線三直角”全等模型，利用模型呈現了45°角，并由模型結構推導了線段長，為后續的求解提供了條件. 實際教學中教師應注重數學模型的總結歸納，尤其是常用的幾何模型，如“一線三等角”模型、“手拉手”模型、“將軍飲馬”模型、“半角”模型等. 引導學生關注模型特征，掌握模型結論的應用思路，豐富學生的知識儲備.

3. 重視方法拓展，提升綜合素養

上述考題來源于中考真題，問題的解法策略有著極高的應用價值，解題教學不僅要引導學生探索問題的常規解法，還應注重方法的拓展，如上述完成第（3）問的解法探究后，筆者進一步對模型進行了優化，使得學生可直接利用模型結論求關鍵點的坐標. 解法拓展不僅可以使學生深刻認識問題，豐富解題方法，還可以鍛煉學生思維，提升學生的綜合能力. 在實際探究中，建議教師立足優秀的中考真題，依托考題分析方法，思考方法的拓展方向. 同時注重學生的思維引導，給學生留足思考空間，以培養學生的綜合素養為教學目標.