激活“規定性”知識，學習“有溫度”的數學

林景 楊彩蘭

【編者按】小學數學中有著許多的規定性知識，就如人們習以為常的“年、月、日”的知識，一些教師在面對這些知識時，處理方式往往簡單粗暴，無法使學生探究規定背后的數學道理與知識本質，使得課堂顯得更加枯燥乏味，更無法達到較為理想的教學實效。本期話題圍繞數學中的規定性知識教學展開探討。

規定性知識因其“先天”的特殊性，導致這部分內容在教學方式的選擇上擺脫不了傳授的屬性。如果在教學中教師只關注知識本身的獲得，習慣對知識進行掐頭去尾，“庖丁解牛”般把自己認為最精華的部分展示給學生，那么讓學生看到的就往往都是X光之下“白骨嶙峋”的數學，這樣要讓學生感受數學之美、涵養數學之智就強人所難了，形成核心素養也就只會是空中樓閣了。如何才能讓學生在數學學習活動中不僅看清知識的骨骼，還能發現知識的脈絡與血肉，學習知識與溫度并存、思維與美同在的數學呢？

一、樹立“大數學”觀，教學完整數學

數學是具象和抽象的結合體，數學概念從現實中抽象出來，形成自身的邏輯結構，然后又通過應用回到現實生活中。所謂大數學觀，就是要跳出教材看數學。一方面，要認識到數學內容的豐富性，數學不僅僅是課本上的那些內容，它包羅萬象。另一方面，要了解到知識間是相互聯系的，數學是一切科學的基礎，數學學科知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間，都有著緊密的聯系。

由于規定性知識純粹是人為規定的，如果教師處理不當，就會在學生的認知里留下“無理”的印象，無法激發學生對其進行主動建構的欲望，從而導致這些知識的學習孤立、浮于表面，無法在學生的知識體系中扎根，有效遷移亦會擱淺。

以蘇教版四下“運算律單元復習”教學為例。當問及“a÷b÷c=a÷（b×c）”或者“（a+b）×c=a×c+b×c”為什么成立的時候，學生往往給出的解釋都是這兩個公式的記憶方法：連續除以兩個數就相當于除以這兩個數的乘積;兩個數的和乘一個數就相當于這兩個數分別和這個數相乘，兩個乘積再相加。個別學生也只能從“舉例”的角度給予論證。由此可以推測，教師在授課時過于注重運算律的“形”，沒有深挖運算律的“質”，過于注重記憶，輕視理解，這就導致學生把運算律看作是封閉、孤立的知識，認為只需要記憶、會用即可。

為此，我們要為學生的學習搭建合理的腳手架，幫規定性知識——運算律把“理”呈現出來，讓學生對其產生親切感，進而習得可遷移的思維，而不是會遺忘的結論。這里的腳手架包括：一是乘、除法的意義和性質，數形結合;二是和其他知識的關聯。對于除法的性質，首先可以用點子圖圈一圈進行呈現：24÷4÷2表示把24平均分成4份，每份6個，6再平均分成2份，每份3個;24÷（4×2）表示24直接平均分成8份，每份3個。同理，乘法分配律也可以借助“點子圖”驗證。其次，為了更好地培養學生的抽象思維和幾何直觀，可以把“點子圖”抽象成“線”（如右圖）。最后，可以通過與豎式，以及長方形周長、面積計算等已學知識融合，打通前后知識點之間的聯系，使運算律的根在學生腦海中扎得更深、更廣。不僅如此，還可以出示諸如“a÷（b+c）=a÷b+a÷c，（a+b）÷c=a÷c+b÷c哪個式子成立，請畫圖探究”等探究題作為實踐性作業，促進學生當下知識學習的完整性：有乘法分配律，是否有除法分配律呢？同時也為后期分數、小數運算律的學習埋下思維的伏筆。

如此教學，運算律不再局限于其“簡便運算”功能，其“孕育”學生思維的作用就大大顯現了。因此，樹立大數學觀，就需要把規定性知識的學習置于一個縱橫交錯、千絲萬縷的背景中，打通、建立它與其他知識之間的聯系，找到其“源”與“流”，賦予其應有的生命力。長此以往，學生的知識網鏈接方式漸漸由“單點結構”“多點結構”向“關聯結構”“拓展結構”躍遷，確保深度學習真正發生。

二、滲透數學史，洞悉知識之源

對于規定性知識的學習，如果僅僅停留于知識的“結果”狀態，那么對于學習者來說是很難引起學習的興趣及欲望的，也不利于對知識的理解與掌握。而當學習者有機會參與或經歷知識的形成過程，即了解知識的來龍去脈，那么學習對他而言，就不僅僅是思維的活動，還應該是各種認知感官、情感態度共同參與的活動。數學史呈現了數學知識的來龍去脈，敘述了人類對數學的認知如何步步深入，在知識的抽象過程中我們就能體會和把握數學知識認識提升的關鍵之處。

以蘇教版三下“年、月、日”的教學為例，該部分內容比較繁雜：“年、月、日”的認識;大月、小月、二月的區分和記憶;平年、閏年的區分和判定等。通過前測可知，大部分學生對“一年有12個月，一年有365天（部分學生也知道366天），年有平年、閏年之分，大月31天，小月30天”等知識都有或多或少的了解，至于為什么這么規定則知之甚少。學生對這些知識的了解大多數來自媒體、家長或課外書，言語中多見別人的思想，不見自己的思考。針對這種情況，為了讓課堂教學更為飽滿，學生的思考和交流更加充分，可以讓學生的學習前置。筆者設置了如下關于“年、月、日”的課前預學單。

學生先在課前查閱資料，填寫上表，獨立展開對“年、月、日”的初步學習，從而了解關于“年、月、日”的歷史信息。如年是人們根據地球繞太陽公轉產生的四季交替現象而形成的，日是人們根據地球自轉產生晝夜交替的現象形成的，等等。學習搜集這些資料的過程就是一個“浸入式”的學習、研究過程，這個過程也培養了學生搜集信息、處理信息的能力。在這些基礎上，學生帶著自己的收獲走進課堂，在教師的引導、組織下，與小組成員共享資料、交流思考，對信息進行整合、完善后總結提煉出本組觀點。最后，進行全班展示，擴大交流范圍，教師相機指導，結合課件（教師提前準備關于“年、月、日”的史實資料，如前述的內容），合理利用課堂生成資源促進學生對“年、月、日”的深度學習。

數學史的參與讓規定性知識的教學體現知識之和諧，展示文化之魅力，彰顯德育之效用，學生還可以從中獲取探究之樂趣。學生循著“相似”的發展歷史，分別在課前、課中、課后與古人進行隔空交流。理解知識的來龍去脈，可以為其增添歷史的縱深感和厚重感，讓學生帶著“創造”與“發現”奔向未來。

三、融合多學科，提升核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了“跨學科主題學習”概念，這是教育改革順應時代發展潮流的體現，其宗旨是以真實問題為載體，適當采取主題活動或項目學習的方式，通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質。規定性知識本身的探究成分不足，卻可以通過其他途徑來維系其深度學習，跨學科主題學習就是一個很好的選擇。如常見的量的學習，包括長度、面積、質量等，可以設計主題學習活動：度量衡的“前世今生”。

1. 了解度量衡。

讓學生通過各種途徑查閱有關度量衡的資料，了解度量衡的歷史與發展，然后組織學生在適當的場合進行面對面的交流。

2. 找出下列內容中的計量單位。

（1）歷史故事中的計量單位。如“差之毫厘，失之千里”的故事，“半斤八兩”的故事……通過這些歷史故事的學習，可以讓學生了解到我國古代度量衡單位及其標準的創立經歷了從“直觀感知”“假借器物測量”到“創造出專用度量衡器具”的過程。

（2）古詩詞里的計量單位。如李白《夜宿山寺》中的“危樓高百尺，手可摘星辰”。岳飛《滿江紅·怒發沖冠》中的“三十功名塵與土，八千里路云和月。莫等閑，白了少年頭，空悲切”。李白《行路難·其一》中的“金樽清酒斗十千，玉盤珍羞直萬錢”等。

（3）成語典故中的計量單位。如寸步不離、百步穿楊、膽大如斗等。

3. 開展主題匯報活動。

可以引導學生制作小報、故事演講、錄制小視頻等，組織一次匯報交流活動，讓學生有機會相互學習。

這樣的活動不僅豐富了學生的學習方式，有效地宣傳中華優秀傳統文化，促進文化自信;還使學生的量感、推理意識、應用意識等核心素養得以提升。

四、課堂評價多元化，關注學生的持續發展

對于學生的學習來說，規定性知識掌握得扎實固然重要，但更重要的是學生對學習的持續興趣和動力。課堂評價是課堂教學不可分割的部分，與課堂教學的其他活動交錯進行，它在課堂教學過程中起到銜接、調整、糾正、指導、激勵等作用。課堂評價的多元化，一方面指評價的主體多元，包括師生評價、生生評價、學生自評等;另一方面是評價內容的多元化，評價的內容可以是學習的結果，也可以是學習的過程，甚至包括學習過程中體現的情感態度價值觀，這點在強調學科育人的教育背景下顯得尤為重要。

如以上“年、月、日里的秘密”的案例中，我們要關注學生對學習內容掌握程度的評價，包括年、月、日之間的關系，大月、小月及其相關知識，平年、閏年等方面的基本知識。還要關注學生在收集資料過程中使用的方法、技巧，合作探討、交流互動中表現出來的獨立思考能力、團隊合作能力、創新意識等的水平。在“我會查”這個環節中，有些學生可能通過查閱紙質資料的方式，這種方式雖然安全、可靠，但不比網絡搜索的方式更快捷、內容更豐富，當然，網絡搜索的內容真假不一，還需提高甄別能力。教師可以基于以上情況，對學生使用的方法、技巧等進行評價。

另外，要關注“評他”的教育效應，即通過對數學家們的不懼困難、矢志求真等精神的評價，來提高學生對數學學習的興趣，來激發他們克服學習困難的信心和求知欲。例如，對圓周率的學習，一方面要設置情境，讓學生充分參與探究圓周率的產生過程，另一方面要給學生介紹與圓周率命名相關的歷史，尤其是圓周率原來也叫“祖率”等，借機讓學生了解關于圓周率研究的故事，如我國古代數學家劉歆、祖沖之等，僅借助算籌等工具計算圓周率，其繁雜的計算過程和龐大的計算量是現代人無法想象的，從中可以引導學生看到數學家們為追求真理所付出的努力，嘗試讓學生對這種行為作出評價。在此基礎上，教師的評價既要肯定學生在研究的過程當中體現出來的精神與態度，更要弘揚數學家們為追求科學而不懈努力的精神，這是學生終身學習所必備的素養。

對“規定性知識”教學方式的研究不僅對數學一般知識的教學起到一定的啟發和指引作用，更重要的是，它還為量感等學生核心素養的培育提供了新的思路和可供參考的可視化路徑。知其然，不僅要知其所以然，還要知其所以用。一直以來，我們都是倡導“授人以魚，不如授人以漁”。筆者以為，較之“魚”和“漁”本身，“魚”和“漁”所帶來的能促進學生身心發育的素養才是我們更應該關注和追求的。如此，學生便對數學教學有了期待，數學本身也便有了溫度。

（作者單位：海南省教育研究培訓院 ? ? ? 中國人民大學附屬中學海口實驗學校）