“包含除”在理解分數意義上的作用

陳小惠

小學數學教材中“分數”的定義為：把一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。這個整體叫做單位“1”。提到“平均分”，自然是離不開除法，學生在二年級學習《除法意義》時已經知道平均分有等分除和包含除兩種，也能理解一個除法算式可以表示兩種意義。如：

（等分除）12個竹筍，平均放在4個盤子里，每盤幾個？

（包含除）12個竹筍，每4個放一盤，能放幾盤？

雖然都是用除法算式12÷4=3來表示，但所代表的意義卻是不同的。

到了分數，同樣也是有等分除和包含除兩種情形，只不過推廣到不是整數的結果。

（等分除）先知道分幾份，求每份所分的結果大小。如：一塊月餅平均分成4塊 , 每塊有多大？答案是塊。

（包含除）先知道部分的大小，求這部分占整體的多少。如：一盒餅干12塊，取出3塊，問取出部分占整盒餅干的多大一部分？由于12包含了4個3（12÷3=4），所以3塊餅干恰好是12塊餅干平均分成4份之后的1份，也就是占整盒餅干的。

通過對比分析可知，等分除的問題是從整體到部分，問的是部分的大小。包含除的問題則是從部分到整體，即已知部分的大小，問整體含有幾個這樣的部分，即部分在整體里“占多少 ”。這兩種平均分的情形同樣重要不可偏廢，如果一提到平均分就只想到等分除的模型，就會限制人們對分數的理解。然而學生和教師往往偏愛“等分除”，而把包含除給忽略了。我們來看下面這道題：

判斷正誤：下圖是一個三角形，兩腰均為三等分（如圖1），因為不是平均分，所以陰影部分不能用分數表示。

這道題考查學生對分數意義本質的理解，學生答題情況如下：三年級正確率1.1%（測試人數87，正確1），四年級正確率8.6%（測試人數93，正確8），五年級正確率55.6%（測試人數81，正確45），六年級正確率67.4%（測試人數95，正確64）。

從數據可以看出，這道題的正確率并不高，尤其是三年級的學生，是什么原因影響了學生的判斷？筆者對部分學生和教師進行了訪談，發現三年級學生主要受“平均分就是等分除”的觀念以及教材課后一道練習題的影響：

判斷正誤：下圖中的涂色部分能用表示嗎？（圖2）

在這道題里涂色部分是不能用表示的，學生受到這道題的負遷移影響很大。

陰影部分能不能用來表示，學生出錯的原因主要是只考慮了平均分的第一種情形，即把一個三角形等分成3份，每份就是這個三角形的。而圖1的分法卻不是學生眼里的平均分，學生自然認為這樣的表示方法是錯誤的。事實上這里是平均分的第二種情形，即知道這部分的大小，求該部分在整體中占多少，也就是問整個圖形里包含幾個這樣的部分。必須以這個部分作為標準，對圖形進行分割。通過新的分割可以得到這個部分占整個圖形的。所以圖1中的陰影部分可以用來表示。如圖3：

這種方法同樣適用在任意三角形中，如圖4：

通過以上分析，如果只停留在“平均分為幾份”的“等分除”模型會固定學生的思維，不利于學生全面理解分數的意義，也不利于學生靈活應用分數解決實際問題。事實上，“包含除”在分數的學習上具有重要的意義。

1. 揭示分數與除法的關系，體現分數的本質

從數產生的歷史來看，在度量和平均分時出現不能正好得到整數結果的情況，就需要將整數進行擴展，分數就在這種需要中應運而生。也就是，分數的來源在于自然數除法的推廣。五年級下冊（人教版）：

該情境提出的問題是：“剩余繩長不足一節，怎么記”。即以一節繩子作為單位長度進行測量，剩余一段不足一節的繩子的長度如何用分數表示？如果按照“等分除”的方法，必須預先知道要把這一節繩子平均分成幾份，再看剩余的那段繩子占其中幾份，才能寫出這個分數。但是在測量前是無法預先知道要把這一節繩子平均分成幾份的，因而這是“包含除”的問題，即要知道“剩余的繩子是幾分之幾節”就要看一節繩子里包含幾個剩余繩子的長度。如果3個“剩余部分”正好是一節繩子的長度，剩余部分的長度就可以用表示。但實際上，這樣度量很多時候不容易得到最后的結果。如果用包含除不能得到整數的結果，例如，一節繩子長度為15厘米，剩下的繩子長度為7厘米，怎么表示？ 其實，“剩余繩子的長度是幾分之幾節”也就是求“剩余繩子的長度占一節繩子長度的幾分之幾”，這就轉化成了求“一個數是另一個數的幾分之幾”的問題。根據除法的意義，可以用“7÷15”計算，根據分數與除法的關系，得到，即剩余繩子的長度是節。張奠宙先生認為，通過大量的包含除的實例，可以幫助學生建立這樣的數學模型：如果一節繩子長n厘米，剩余長度長m厘米，那么，剩余長度是這節繩子長度的。

2. 揭示分數除法顛倒相乘的計算算理

分數除法是依據顛倒相乘的規則進行的，學生在計算方面沒有困難，但對于理解這樣計算的原理卻不大容易。分數除以整數用等分除可以很快理解，如：÷2，即把平均分成2份，也就是求的是多少，所以÷2=×=。但對于分數除以分數的情形如果用等分除就不大適合，但卻可以很方便地使用包含除。

如：分數除整數3÷，總不能說把3塊餅平均分給個人吧，但可以問3里面包含幾個。只要畫圖（圖5）一看就知道，1里面包含3個，所以3里面包含9個，即3÷=3×3=9。

又如：分數除分數÷，即求里有幾個。如圖6 ，左面的圖通過數軸上的點，說明里有2個，即÷=2。右圖的數軸則說明了2里包含了4個，即×4=2。所以÷=×4=2。

3. 理解比和比例

為了便于學生理解，分數的學習是從部分——整體之間的關系出發的，從表面上看，是表示“這樣的一份或幾份”，從數學本質上看，表示的是“部分和整體的比”。即，“比”的定義則將分數進行了擴展，使分數不再局限于部分和整體之間的比，而是“一部分和另一部分的比”。另一部分可以是整體也可以是部分，也就是說，可以把一部分當作新的整體。比如，半個蘋果是一個蘋果的，個蘋果是半個蘋果的。一個蘋果可以看成整體，半個蘋果也可以看成整體。也就是說，“比 ”的概念是把一個部分作為新的整體來看，研究彼此之間的“包含除”關系，如圖7。

把白色這一部分圖形當作整體看，白色部分圖形的大小包含了4個黑色部分圖形的大小，從包含除的角度看，可以得出黑色部分圖形的大小是白色部分的。即二者的面積之比是1；4，比值為。但這種包含除與“比”的關系，并非自然而然地獲得，大部分學生看到的分數是和，需要在平時的教學中大力培養。

從上文的分析對比中，我們可以看到等分除的模型告訴學生分數是什么，而包含除的模型則需要學生探索如何用分數表示。這兩種平均分的方法在分數的認識和應用中是“一體兩翼”的關系，同樣重要，不可偏廢。