素養立意下一道視角極值題的溯源、破解與思考

張志剛

摘 要：對一道最大張角聯考試題進行了深度剖析，揭示了試題命制的歷史背景，分別從幾何和代數視角進行了解答，歸納提煉出解決問題的通性通法，以期提高解題的效益.

關鍵詞：米勒問題;直觀想象;數學建模

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）25-0063-04

1 題目呈現

題目 （2022年1月廣東省華附、省實、廣雅、深中高三四校聯考第7題）在足球比賽中，球員在對方球門前的不同位置起腳對球門的威脅是不同的，出球點對球門的張角越大， 射門的命中率就越高.如圖1為室內5人制足球場示意圖，設球場（矩形）長BC大約為40米，寬AB大約為20米，球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點M處射門（假設球貼地直線運行），為使∠PMQ最大，則BM大約是（? ）. （精確到1米）

A.8米? ?B.9米? C.10米? D.11米

本題通過設置鮮活的生活情境，考查一類最大張角問題，重點考查直觀想象、數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養，內蘊豐富，具有較高的挖掘價值.

2 命制背景

2.1 問題探源

通過對典型習題的深度挖掘，有利于我們發現問題的內涵和本質，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，概括歸納深藏其中的思維主線，以此為中心推而廣之，可以收到以一敵百的良好成效.本題源于歷史上經典的米勒問題.1471年，德國數學家、天文學家米勒（Johannes，miller）向諾德爾（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即可視角最大）？上述最大視角問題因米勒首先提出，故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實際問題，例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點等，成為世界數學史上100個著名極值問題的第一個極值問題.歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間.作為實際問題，我們首先抽象出數學模型.如圖2所示，相對于懸桿而言，地球的體積是相當大的，我們可視地球表面為平面，為了簡化模型，同時忽略觀察者身高的影響，即觀察者的身高視為0，且懸桿在地面上的投影也為0，因為懸桿垂直于地面，所以到點O距離相同的點所得可視角相同.

參考文獻：

[1]戴建國.對高考中導數試題命制過程的一些思考[J].數學通訊，2021（18）：52-55.

[2] 史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[責任編輯：李 璟]