平面向量等值線定理及其應用

何少杰

摘 要：本文梳理了等值線性質及如何求定值“k”，對等值線進行解讀.應用等值線解高考題及競賽題中出現的一類向量線性表示后的系數問題.

關鍵詞：等值線定理;等值線應用;平面向量

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）25-0038-04

3 對等值線的解讀

定理中系數取定值的等式分別為x+y=k，x-y=k，與平面直角坐標系中的直線方程形式完全一致，而且系數取定值時點P軌跡也是直線，難道是巧合嗎？

顯然不是.當平面內一組基底{OA，OB}是單位正交基底時，通過構建以{O;OA，OB}為標架的平面直角坐標系，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），有序實數對（x，y）就是點P的坐標，也是OP的坐標.事實上，當平面內一組基底{OA，OB}不是單位正交基底時，參照仿射幾何知識，也可以通過構建以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系，使該平面內的任一點同樣地與有序數對（x，y）建立起一一對應關系.需要注意的是，與平面直角坐標系不同，平面仿射坐標系兩軸單位長度無需相同.那么，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），也就會對應唯一的平面仿射坐標系坐標（x，y）.

在平面仿射坐標系中，直線方程也同樣是二元一次方程.這就不難解釋兩種等值線為什么是直線了.事實上，這兩個系數取定值的等式正是以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系中點P的軌跡方程;這兩種等值線正是在以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系中的方程所對應的曲線.那么我們可以想到，除了這兩種等值曲線外，應該還有滿足其它條件的等值曲線，比如等積線、等商線、等平方和線，其實質是平面仿射坐標系中滿足條件的軌跡曲線.

基于以上認識，類比平面直角坐標系中的相關概念，在對應的平面仿射坐標系中，對等值線中的k可以賦予一定的幾何意義.等和線方程x+y=k變形為y=-x+k，則k對應的就是“縱截距”;等差線方程x-y=k變形為y=x-k，則k對應的就是“縱截距的相反數”.至此，我們從另一角度更深刻地認識了平面向量基本定理系數等值線，也可以理解并記憶不同圖形所對應的k的取值情形.

通過以上實例，我們可以發現運用等值線定理解題時，首先三個向量應該共起點，對于沒有共起點的問題，可以通過尋找相等向量轉化進而求解.其次，解題時通常是先找到基底{OA，OB}下的“基準線”，也就是k=1時的等值線，然后平行移動等值線，利用圖形幾何特征，快速找到與“基準線”平行的特殊等值線，再利用文中給出的公式求出對應k值，通過將向量問題轉化為幾何問題，使向量分解后的系數問題以直觀形象的方式得以圓滿解決.

參考文獻：

[1]潘成銀.平面向量基本定理系數等值線[J].數學通訊（下半月），2013（02）：40-43.

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