把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?/h1>
2022-05-30 10:48:04趙維坤
教育研究與評(píng)論 2022年9期
摘要：教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝瑥亩嬲郎p輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。基于“熟悉了，簡(jiǎn)單了，想通了，直觀了，就容易”的想法。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀椎淖龇ㄓ校焊淖兏拍疃x的表述;建立更簡(jiǎn)易、更有力的方法，提供解題的“中巧”。教育數(shù)學(xué)40多年的研究在五個(gè)方面有重要進(jìn)展：在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，進(jìn)而發(fā)展出消點(diǎn)法;發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的生長(zhǎng)點(diǎn);針對(duì)高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法;解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴};探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，開發(fā)了更智能化的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——網(wǎng)絡(luò)畫板，使得數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動(dòng)有趣。
關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué);解題教學(xué);機(jī)器證明;網(wǎng)絡(luò)畫板
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家，中國(guó)科學(xué)院院士張景中長(zhǎng)期關(guān)注數(shù)學(xué)教育（將其作為數(shù)學(xué)科普工作的重要組成部分），提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實(shí)踐研究。近期，趙維坤老師對(duì)張景中院士進(jìn)行了訪談，請(qǐng)他就有關(guān)話題發(fā)表看法。本次訪談得到了張景中團(tuán)隊(duì)堯剛老師、陳如燦老師、李靜老師等的支持，在此謹(jǐn)表謝意。
一、 從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)
趙維坤：張?jiān)菏浚茫》浅８兄x您接受我的采訪。作為數(shù)學(xué)家，您在科研之外，為什么關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育？
張景中：我感到，關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育不是科研之外的事情。研究數(shù)學(xué)教育會(huì)遇到長(zhǎng)期以來沒有解決甚至被認(rèn)為不能解決的問題，需要長(zhǎng)時(shí)間地研究思考。如幾何解題簡(jiǎn)便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數(shù)學(xué)家思考過而沒有解決的問題。關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育是難度很大的科研活動(dòng)。做這樣的研究，往往幾十年才能前進(jìn)一步，但這一步就很有意義。由于無法預(yù)期其進(jìn)展，所以我沒有將其作為項(xiàng)目或課題提出，而是將其作為自己選定的長(zhǎng)期研究目標(biāo)。
趙維坤：在數(shù)學(xué)教育方面，您最重要的貢獻(xiàn)是提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實(shí)踐研究。您致力于改造數(shù)學(xué)，提出更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)的新概念、新方法、新思路。那么，您提出教育數(shù)學(xué)的思想，是針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的哪些問題呢？希望起到什么樣的作用呢？
張景中：數(shù)學(xué)教育中，“教什么”往往比“怎么教”更重要。如果內(nèi)容不當(dāng)，怎么教都不行。教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是長(zhǎng)期以來被數(shù)學(xué)教育研究忽視的重要問題，即教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，亦即張奠宙先生指出的“去數(shù)學(xué)化”問題。1989年，我在15年思考探索和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了教育數(shù)學(xué)的概念。所謂“教育數(shù)學(xué)”，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)，使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。簡(jiǎn)單而通俗地說，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住Ｈ绻虒W(xué)內(nèi)容得到優(yōu)化了，概念變得容易理解了，解題方法改進(jìn)得更好用了，再加上生動(dòng)直觀的信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)演示，各種教學(xué)方法都會(huì)有更好的效果。
趙維坤：確實(shí)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，都有過痛苦的經(jīng)歷，都覺得數(shù)學(xué)很難，尤其是在做不出一些題目之后。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝@真的可能是數(shù)學(xué)教育中最重要的問題了，那么，基本的想法是什么？
張景中：數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年就任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)的演說中說：“如果我們積累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一。”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”
把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝镜南敕ㄊ牵菏煜ち司腿菀祝M可能把要學(xué)的新知識(shí)和學(xué)生已經(jīng)熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新;簡(jiǎn)單了就容易，要尋求更簡(jiǎn)單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑;想通了就容易，盡量把前后左右的知識(shí)串通起來，把道理說清楚;直觀了就容易，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)靜結(jié)合，充分利用教育信息技術(shù)提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中變抽象為具體，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美。
為此，就要做切實(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)。基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，講的是最普適的數(shù)學(xué)事實(shí)。大道至簡(jiǎn)，最一般的道理應(yīng)當(dāng)是易于表達(dá)和理解的。因此，有可能讓“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。
趙維坤：說到基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，很多人都覺得它已經(jīng)十分成熟了，很難再變得更容易。現(xiàn)在我國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革，乃至世界各地的數(shù)學(xué)課程改革，似乎都是通過刪減內(nèi)容、降低要求來使其變?nèi)菀祝@一點(diǎn)在初中的平面幾何中表現(xiàn)得特別明顯。但您卻說：“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀状笥锌蔀椤！蹦敲矗窃鯓幼龅哪兀?/p>
張景中：說到對(duì)數(shù)學(xué)的改造，其實(shí)要回到一個(gè)源頭性的話題，也就是數(shù)學(xué)的起源。數(shù)學(xué)最初的研究并不是為了孩子、為了教育，而是為了解決工程、技術(shù)、科學(xué)等方面的問題。所以，數(shù)學(xué)不會(huì)自然地適用于教學(xué)。而要讓數(shù)學(xué)更適合孩子學(xué)習(xí)，就必須對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行加工和改造，讓它變得更容易理解和掌握。這包括改變概念定義的表述，以及建立更簡(jiǎn)易、更有力的方法。
定義是知識(shí)學(xué)習(xí)的門檻，定義如果很難、很煩瑣，學(xué)生繼續(xù)學(xué)下去就會(huì)感到吃力。比如三角函數(shù)，學(xué)生普遍覺得難學(xué)。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的教材中，“三角函數(shù)”部分的內(nèi)容一下子就出現(xiàn)了sin、cos、tan、cot四個(gè)概念和有關(guān)公式。這些內(nèi)容因?yàn)樯婕跋嗨迫切蔚闹R(shí)，到九年級(jí)才引進(jìn);學(xué)了之后還沒有得到足夠的應(yīng)用鞏固，初中課程就結(jié)束了。如果改變定義，在七年級(jí)甚至小學(xué)就能教三角函數(shù)。也就是說，這些關(guān)于三角函數(shù)的定義一開始就把門檻定得較高，需要較多的準(zhǔn)備知識(shí)，這樣學(xué)起來就難了。20世紀(jì)70年代，我在新疆教中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，用小學(xué)的面積知識(shí)引進(jìn)正弦概念，學(xué)生在七、八年級(jí)就能學(xué);之后把余角的正弦叫余弦，把三角、代數(shù)、幾何相結(jié)合，學(xué)生學(xué)起來容易多了。
另外，就是簡(jiǎn)化方法。幾何的難點(diǎn)可以通過創(chuàng)新的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例如基于小學(xué)知識(shí)總結(jié)出的“三共定理”：共高定理、共角定理、共邊定理。這些定理易學(xué)好用，使大量幾何題變?nèi)菀琢恕葌鹘y(tǒng)的歐式幾何特別重視的全等三角形這一工具易學(xué)好用。其中，前兩個(gè)是人們熟知的古老命題，但沒有得到重視，共邊定理則是新的發(fā)現(xiàn)。一些復(fù)雜的幾何題運(yùn)用共邊定理就能迎刃而解。但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年，應(yīng)周咸青博士邀請(qǐng)到美國(guó)合作研究幾何定理的機(jī)器證明，我提出用面積法。他問：如何把面積法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的算法呢？夜里，我想了一個(gè)例子，即用面積法機(jī)械地證明平行四邊形對(duì)角線相互平分，并由此認(rèn)識(shí)到，原來共邊定理的作用在于消去直線的交點(diǎn)。幾何解題的傳統(tǒng)思路是作輔助圖形，作不出來就設(shè)法添加?xùn)|西，現(xiàn)在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡(jiǎn)化;最后不能再簡(jiǎn)化了，就水落石出。這樣，數(shù)學(xué)教育和人工智能就密切聯(lián)系起來了。在2021年第13屆幾何自動(dòng)推理國(guó)際會(huì)議上，沃爾夫勒姆公司的一個(gè)報(bào)告詳細(xì)介紹了他們實(shí)現(xiàn)面積消點(diǎn)法的情形，說明這個(gè)領(lǐng)域中國(guó)人30年前的工作，仍然處于前沿。
趙維坤：您對(duì)教育數(shù)學(xué)的具體研究和教學(xué)實(shí)踐已歷經(jīng)40余年，這么多年的研究肯定有很多重要進(jìn)展，您能不能簡(jiǎn)要介紹一下這方面的進(jìn)展？
張景中：回顧40多年的研究，教育數(shù)學(xué)主要在五個(gè)方面有了重要進(jìn)展。
一是在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，這一基于小學(xué)知識(shí)得出的方法，把大量幾何題變?nèi)菀琢恕６遥谖覈?guó)幾位學(xué)者的共同努力，面積法已發(fā)展成為幾何定理機(jī)器證明的消點(diǎn)法，成為國(guó)內(nèi)外奧數(shù)培訓(xùn)的內(nèi)容，還被編入一些高校師范類專業(yè)的教材。
二是發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的生長(zhǎng)點(diǎn)，提出了用面積關(guān)系來定義正弦，實(shí)現(xiàn)了國(guó)際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在40多年前提出而國(guó)外未能實(shí)現(xiàn)的“提前兩年學(xué)正弦”，讓學(xué)生能夠在義務(wù)教育階段掌握三角形的作圖推理與計(jì)算。這項(xiàng)研究始于1974年，成果發(fā)表于1980年，并在2012年正式進(jìn)入全班級(jí)、全學(xué)段教學(xué)實(shí)踐。廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班中考數(shù)學(xué)優(yōu)秀率達(dá)到百分之百，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，負(fù)擔(dān)減輕，成績(jī)上升，入學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)中下的學(xué)生畢業(yè)時(shí)也達(dá)到了優(yōu)秀。
三是針對(duì)高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法，消解了師生關(guān)于向量解幾何題不如傳統(tǒng)方法簡(jiǎn)便的困難。由此聯(lián)系到數(shù)學(xué)與哲學(xué)大師萊布尼茲曾提出的“點(diǎn)如何相加”的問題，我提出了點(diǎn)幾何的綱要，用點(diǎn)的代數(shù)關(guān)系直接表達(dá)幾何性質(zhì)，用代數(shù)運(yùn)算表達(dá)幾何推理。我和華中師范大學(xué)彭翕成博士合著的《點(diǎn)幾何解題》一書，引起不少師生的興趣。點(diǎn)幾何有助于串聯(lián)坐標(biāo)、向量和復(fù)數(shù)，目前有待進(jìn)入教學(xué)實(shí)踐。
四是解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴}。我曾經(jīng)教過微積分，做過把極限概念和實(shí)數(shù)理論變?nèi)菀椎呐Γ岢隽溯^容易理解的定義極限的方法，發(fā)現(xiàn)了能簡(jiǎn)化實(shí)數(shù)理論的連續(xù)歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達(dá)方法，并且有成功的教學(xué)實(shí)踐案例。近幾年，我在林群院士的帶動(dòng)激勵(lì)下，在這個(gè)方向開展合作研究，獲得了新的進(jìn)展。我們發(fā)現(xiàn)，可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)叵纫胛⒎e分再講極限，而且可以在學(xué)習(xí)微積分之前系統(tǒng)而簡(jiǎn)捷地解決通常認(rèn)為用微積分才能解決的許多問題。我和林群院士合作出版了《減肥微積分》一書，所提出的新的微積分邏輯體系已經(jīng)通過了Coq機(jī)器檢驗(yàn)，使得今后開展這方面的工作更有信心。目前也有待進(jìn)一步開展教學(xué)實(shí)踐。
五是探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動(dòng)有趣。我們學(xué)習(xí)了美國(guó)的動(dòng)態(tài)幾何軟件——幾何畫板，經(jīng)過幾年努力，推出了更為智能化的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——超級(jí)畫板，具有“寫畫測(cè)算編演推算”多種功能。2015年以來，我組建專業(yè)的團(tuán)隊(duì)，將超級(jí)畫板進(jìn)一步發(fā)展成為基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)畫板，幫助師生更輕松地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。目前，網(wǎng)絡(luò)畫板注冊(cè)用戶已超過200萬，其中主要是數(shù)學(xué)教師。網(wǎng)絡(luò)畫板支持多種終端，無須安裝，支持其他教學(xué)系統(tǒng)共享，支持資源共建共享，2020年獲四川省年度科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。
趙維坤：感謝您這么系統(tǒng)地梳理和總結(jié)，讓我們對(duì)話題做一點(diǎn)發(fā)散和聯(lián)系。您說過“數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放”，指的是“數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)”，但是，多數(shù)人可能感受不深。結(jié)合您的教育數(shù)學(xué)思想，我覺得“解放”也可從減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的角度理解。那么，廣大的一線教師應(yīng)該如何從中受到啟發(fā)，真正尋求到更有效的減負(fù)路徑？
張景中：減輕負(fù)擔(dān)是教育的一個(gè)重要議題。對(duì)數(shù)學(xué)教育來說，減輕負(fù)擔(dān)最有效、最根本的一個(gè)方法，就是把數(shù)學(xué)本身變得更容易學(xué)。本來要花很多時(shí)間才能學(xué)會(huì)的內(nèi)容，現(xiàn)在花很少時(shí)間就能學(xué)會(huì)。這就真正減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)了。
長(zhǎng)期以來，我們?cè)跍p負(fù)方面都存在一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為減負(fù)就是刪繁就簡(jiǎn)。我認(rèn)為，這不是真正的減負(fù)。繁難的知識(shí)可能也非常重要，不能簡(jiǎn)單刪掉或死記硬背下來。在教育數(shù)學(xué)中，我提出化繁為簡(jiǎn)的理念，具體來說，就是提出更簡(jiǎn)潔的概念表述方式和解決問題的方法。
我們開展教育數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有十多年了，發(fā)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)本身是可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的。比如，一道中學(xué)數(shù)學(xué)題讓學(xué)生學(xué)（解）起來比較難，因?yàn)榕录又貙W(xué)生的負(fù)擔(dān)，就被列入“負(fù)面清單”了。可是，如果研究出新的方法，用小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以輕松解決，那就不僅減輕了負(fù)擔(dān)，而且能提高能力。也就是說，教育數(shù)學(xué)使學(xué)生本來不會(huì)的內(nèi)容現(xiàn)在會(huì)了，本來要花很多時(shí)間才能學(xué)會(huì)的內(nèi)容現(xiàn)在花很少時(shí)間就能學(xué)會(huì)。這就真正減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。回顧40多年教育數(shù)學(xué)走過的路，這也是在對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行加工、改造和研究，即改造數(shù)學(xué)知識(shí)體系，研究更優(yōu)的解決方法，從數(shù)學(xué)里尋求更有效的減負(fù)增效的途徑。
趙維坤：我想到，吳文俊先生說過“數(shù)學(xué)是笨人學(xué)的”，陳省身先生也表達(dá)過類似的意思。這是不是說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無捷徑？和您的教育數(shù)學(xué)思想有矛盾嗎？這句話應(yīng)該如何理解呢？
張景中：我來說說我對(duì)這句話的理解。一方面，正如吳文俊先生所說：“做研究不要自以為聰明，總是想些怪招，要實(shí)事求是，踏踏實(shí)實(shí)。功夫不到，哪里會(huì)有什么靈感？”這是指學(xué)數(shù)學(xué)需要縝密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼瓤雌饋怼安惶罱j(luò)”的能力，而且，不畏困難的執(zhí)著精神有時(shí)也會(huì)給人比較“笨”的感覺。另一方面，有些領(lǐng)域要求某種天賦，例如歌唱、運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)則不然。有人問陳省身先生：為什么選擇研究數(shù)學(xué)？他說：我動(dòng)手能力差，做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)都不行，只好做數(shù)學(xué)了。被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯說：任何一個(gè)正常人，只要像我這樣持續(xù)地思考，都能得出同樣的結(jié)論。我理解的吳先生的意思和陳先生、高斯的說法是一致的。
同時(shí)，數(shù)學(xué)可以變簡(jiǎn)單。最經(jīng)典、最重要的事往往是最簡(jiǎn)單的。“數(shù)學(xué)本身確實(shí)太難了”，關(guān)鍵不是教學(xué)方法的問題，而是從改造數(shù)學(xué)本身入手。研究如何把數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單，需要老老實(shí)實(shí)地做、腳踏實(shí)地地做。當(dāng)然，也需要一些方法、路徑，或者說，更重要的是一些原則、方向。那就是，觀點(diǎn)高一些，往問題的本質(zhì)上想;思想解放一些，不要被成見、套路束縛住;尤其不要把簡(jiǎn)單的問題復(fù)雜化，而要反其道而行。這是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙。對(duì)數(shù)學(xué)家的已有成果，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，使之有更平易近人的數(shù)學(xué)概念、更簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)、更高效的解題方法，使之成為新的“經(jīng)典”的教程，使之更適宜于教與學(xué)，其實(shí)就是教育數(shù)學(xué)在做的事。
趙維坤：您的思考對(duì)我很有啟發(fā)，非常感謝！另外，我在學(xué)習(xí)您的教育數(shù)學(xué)思想時(shí)感覺到，“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住弊罱K指向“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住薄Ｎ蚁耄@不難理解：數(shù)學(xué)解題難是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難最直接、最根本的體現(xiàn)。對(duì)于數(shù)學(xué)解題，您在《走進(jìn)教育數(shù)學(xué)》叢書的總序中提出過“中巧說”。也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機(jī)械執(zhí)行的方法，即算法。這一想法給我一種“恰到好處”的感覺：觀點(diǎn)較高，看透問題本質(zhì)，但不是大而無當(dāng)，而是針對(duì)具體問題。您能再解釋解釋這一想法，以給一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)更多的啟示嗎？
張景中：學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)然要解題。而數(shù)學(xué)難學(xué)，特別是幾何難學(xué)，主要也是學(xué)了知識(shí)之后仍不會(huì)解題。年復(fù)一年的考試不斷產(chǎn)生花樣翻新的題目，使學(xué)生接觸到越來越多的自己不會(huì)的題目。如何教會(huì)學(xué)生解題呢？
一種方法是收集大量問題，分成類型，傳授巧法和妙招，以備套用。我國(guó)近年出版的大量數(shù)學(xué)讀物，屬于此類。這樣做教師省心，應(yīng)付考試也有短期效果，所以頗受歡迎，流行不衰。
一種方法是強(qiáng)調(diào)基本知識(shí)和技能，關(guān)注一般的解題思考原則。這是數(shù)學(xué)家G.波利亞在他的一系列著作中所提倡的，也是許多數(shù)學(xué)家所贊成的。可惜曲高和寡，多數(shù)教師和學(xué)生難以掌握，實(shí)效不大。
我曾在新加坡和項(xiàng)武義教授討論過這個(gè)問題。他把前一種方法叫作小巧，后一種方法叫作大巧。他主張教學(xué)生大巧，提倡靈活，“運(yùn)用之妙，存乎一心”。但我以為，小巧一題一法，固不應(yīng)提倡;大巧法無定法，也確實(shí)太難。吳文俊先生也指出過：“不能用數(shù)學(xué)家的要求來指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。”要求學(xué)生掌握大巧，是想讓他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)家的思維方法。這對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言，不是幾年內(nèi)能做到的。而事實(shí)上，即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長(zhǎng)領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了大巧。
我想，出路在于提倡“中巧”。所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式。它不像小巧那么呆板瑣碎，又不像大巧那么法無定法。代數(shù)里的解方程、列方程解題，分析里的求導(dǎo)數(shù)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹，還有數(shù)學(xué)歸納法，均屬中巧。長(zhǎng)期以來，幾何難學(xué)是因?yàn)閹缀卫镏挥行∏伞⒋笄桑鴽]有中巧。我們則用面積法和消點(diǎn)法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧，使初等幾何方法從“四則運(yùn)算雜題”的水平提高到代數(shù)方程的水平。
中巧要靠數(shù)學(xué)家研究創(chuàng)造出來，才能編入教材，教給學(xué)生。學(xué)生主要是學(xué)，而不是創(chuàng)，最多是在教師的指導(dǎo)下創(chuàng)（也就是弗賴登塔爾所說的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”）。在學(xué)習(xí)中巧的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧——至于小巧，學(xué)一點(diǎn)也好，但不足為法。小巧是零食，大巧是養(yǎng)生之道，中巧才是主食正餐。教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧。
二、 從計(jì)算機(jī)解幾何題，到信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)
趙維坤：最后這個(gè)比喻非常生動(dòng)貼切！我想，當(dāng)下一線教師，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，面對(duì)應(yīng)試的壓力以及核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，尤其需要中巧這樣的指導(dǎo)思想。現(xiàn)在，讓我們專門來談一談您教育數(shù)學(xué)思想有關(guān)信息技術(shù)的方面，這也是您同時(shí)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)家研究的重要方向。您把多年來在教育數(shù)學(xué)研究中發(fā)展的幾何新方法用于機(jī)器證明，并提出了消點(diǎn)思想，創(chuàng)建了幾何定理可讀證明自動(dòng)生成的原理和方法。請(qǐng)您簡(jiǎn)單介紹一下幾何定理的機(jī)器證明。
張景中：簡(jiǎn)單地說，機(jī)器證明就是用計(jì)算機(jī)來機(jī)械化地判定數(shù)學(xué)命題的真假，判定命題為真就是給出了證明。其實(shí)，機(jī)械化的思想早就蘊(yùn)含在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用中了。幾何問題變化多，法無定法，技巧性強(qiáng)，如何找到機(jī)械化處理方法是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。吳文俊先生創(chuàng)造性地提出“吳方法”，將幾何證明問題轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式方程組的代數(shù)問題，對(duì)一大類等式型問題找到了高效率的判定算法。“吳方法”的成功讓這個(gè)領(lǐng)域活躍起來，極大地推動(dòng)了幾何自動(dòng)推理的研究。但是，代數(shù)法也有缺點(diǎn)，那就是計(jì)算過程比較復(fù)雜，人工很難檢驗(yàn)其正確性并理解其幾何意義。能不能讓計(jì)算機(jī)生成較為直觀、簡(jiǎn)單而容易理解、檢驗(yàn)的解題過程，即所謂“可讀的”解答？當(dāng)時(shí)，國(guó)內(nèi)外研究這個(gè)領(lǐng)域的專家認(rèn)為是不可能的。
后來，我們將面積法改造成機(jī)械化算法消點(diǎn)法，并進(jìn)一步發(fā)展成“幾何不變量”方法，對(duì)相當(dāng)大的一類幾何問題可以用機(jī)器生成“可讀的”解答。該方法可以推廣拓展至非歐幾何，獲得了許多新定理，被國(guó)際同行譽(yù)為突破性的成果。
近年來，我們提出了“點(diǎn)幾何”，這是一種以“點(diǎn)”為基本運(yùn)算對(duì)象的新的幾何理論體系，很多常見的幾何命題用點(diǎn)幾何表達(dá)，往往能得到僅有一兩行長(zhǎng)度的簡(jiǎn)單證明。彭翕成博士基于此發(fā)展了點(diǎn)幾何恒等式機(jī)械化算法，取得了良好的效果。
趙維坤：那么，機(jī)器證明會(huì)給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來哪些改變呢？
張景中：這方面的工作僅是開始，需要更多的研究和教學(xué)實(shí)踐。初步能想到的是，把機(jī)器證明的成果用于教育信息化，有助于減輕教師的負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生的興趣。例如，用超級(jí)畫板或網(wǎng)絡(luò)畫板，在屏幕上畫一個(gè)任意三角形和三條高線，讓計(jì)算機(jī)推一推這個(gè)圖形里有什么幾何性質(zhì)。幾秒鐘后，計(jì)算機(jī)會(huì)顯示出圖中有幾百條幾何性質(zhì)，例如四條線段的比例式就能列出上百條。分析討論一下這些比例式是如何推出來的，可以分成幾類，涉及哪些幾何知識(shí)，就是很有趣的教學(xué)活動(dòng)。如果沒有自動(dòng)推理軟件，要組織這樣的教學(xué)活動(dòng)，教師要花的時(shí)間和精力要多得多。基于自動(dòng)推理，還可以為研究者、教師和數(shù)學(xué)愛好者提供智能性幾何解題電子詞典，對(duì)兩千多年來的初等幾何做一個(gè)相對(duì)完美的總結(jié)。這一工作工程浩大，但如果做得好，將是對(duì)科學(xué)文化事業(yè)的重要貢獻(xiàn)。在不久的將來，機(jī)器推理可以使數(shù)學(xué)教學(xué)場(chǎng)景更加智能化，如輔助教師出題、批改作業(yè)試卷等，將教師從耗時(shí)費(fèi)力的機(jī)械性工作中解脫出來，從而可以更好地關(guān)注并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
00趙維坤：您的介紹讓我們看到了一個(gè)更加美好、值得期待的未來！現(xiàn)在是信息技術(shù)時(shí)代，信息技術(shù)的應(yīng)用不斷地滲透到各個(gè)領(lǐng)域。新課改以來，各版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都專門提到了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》又指出：“重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動(dòng)作用，改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變。”這就要求教師充分利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望。您能不能就這個(gè)話題給予一些指導(dǎo)？
張景中：教師應(yīng)當(dāng)利用信息技術(shù)深度挖掘課程內(nèi)容的精神實(shí)質(zhì)，課程內(nèi)容中蘊(yùn)含的思想方法、探究性素材，課程內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系等;利用信息技術(shù)對(duì)文本、圖像、聲音、動(dòng)畫等進(jìn)行綜合處理;注重信息技術(shù)與教學(xué)過程的深度融合，如組織好活動(dòng)、落實(shí)好評(píng)價(jià)等。最終，達(dá)到豐富教學(xué)場(chǎng)景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望的目的。
趙維坤：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)”，這是新課標(biāo)的新要求。而網(wǎng)絡(luò)畫板是您創(chuàng)立的可廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)專用軟件。請(qǐng)您談?wù)勚行W(xué)教師應(yīng)該如何利用網(wǎng)絡(luò)畫板開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。
張景中：中小學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中用幾次網(wǎng)絡(luò)畫板，就會(huì)親身體驗(yàn)到這類動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的價(jià)值。動(dòng)態(tài)幾何圖形有兩個(gè)基本特點(diǎn)：圖中的某些對(duì)象可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)或用參數(shù)的變化直接驅(qū)動(dòng);其他沒有被拖動(dòng)或直接驅(qū)動(dòng)的對(duì)象會(huì)自動(dòng)調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。學(xué)生可以利用其動(dòng)態(tài)作圖、動(dòng)態(tài)計(jì)算、動(dòng)態(tài)測(cè)量以及編程功能來幫助自己理解概念，啟迪思路，探索疑問，檢驗(yàn)答案，用直觀的動(dòng)態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理公式。例如，自己定義函數(shù)并讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，有助于理解函數(shù)概念;通過作圖測(cè)量、觀察差商趨于微商（導(dǎo)數(shù)）的極限過程;等等。有些歷史上著名的實(shí)驗(yàn)，例如蒲豐投針實(shí)驗(yàn)，做起來很花時(shí)間，可以用計(jì)算機(jī)模擬;有些數(shù)學(xué)事實(shí)，例如正弦級(jí)數(shù)收斂于矩形波，很難想象，可以作出動(dòng)態(tài)圖像來觀察。基于動(dòng)態(tài)幾何的平臺(tái)，能畫、能算、能測(cè)、能動(dòng)、能變，是實(shí)驗(yàn)探索得心應(yīng)手的環(huán)境。除此之外，這樣的平臺(tái)，還可以用來模擬探索物理過程和其他有趣的自然現(xiàn)象，例如單擺、布朗運(yùn)動(dòng)、多普勒效應(yīng)、混沌與分形等。
網(wǎng)絡(luò)畫板的特點(diǎn)是：（1） 上網(wǎng)就能用，無須下載安裝;（2） 適應(yīng)于Windows、蘋果、安卓多種系統(tǒng)和手機(jī)、平板、電腦各種終端;（3） 支持多種資源形態(tài)，可無縫嵌入Microsoft Office、WPS，離線斷網(wǎng)也能用;（4） 支持豐富的教學(xué)模式，適應(yīng)多樣化的教學(xué)環(huán)境;（5） 是開放性的平臺(tái)，可以與多種教學(xué)系統(tǒng)有機(jī)整合，目前已經(jīng)融入希沃、科大訊飛、天喻信息、騰訊教育、聯(lián)想、立思辰、華漁、歐帝等多家教育服務(wù)產(chǎn)品;（6） 匯聚豐富資源，共建共享統(tǒng)一管理，按教學(xué)需求組織，用起來很方便。幾年來，不少老師用網(wǎng)絡(luò)畫板創(chuàng)作了大量教學(xué)資源，供選擇使用。例如，進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)畫板網(wǎng)站可以看到，一位老師的原創(chuàng)作品已有6000多條，100條以上的有400多位老師，50條以上的有1186位老師，等等。這些作品還可以按區(qū)域、學(xué)校分類查閱，對(duì)于了解各地各校數(shù)學(xué)教學(xué)情形，相互交流，很有參考價(jià)值。
趙維坤：感謝您這么詳細(xì)的介紹！最后，想問兩個(gè)比較大的問題。作為數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是計(jì)算機(jī)科學(xué)家，在您看來，數(shù)學(xué)在增強(qiáng)國(guó)家科技創(chuàng)新能力方面有著怎樣的作用？
張景中：增強(qiáng)國(guó)家數(shù)學(xué)實(shí)力，要重視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究，重視數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要前提。學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)探索精神、思維的嚴(yán)密性、求真的執(zhí)著精神等都有重要意義。科技創(chuàng)新和數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切。科技創(chuàng)新研究的方法主要表現(xiàn)為邏輯推理、實(shí)驗(yàn)觀察和計(jì)算，而這三種方法都需要數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)做支撐;實(shí)驗(yàn)以觀察和總結(jié)自然規(guī)律為特征，涉及數(shù)據(jù)的記錄和分析，也不能沒有數(shù)學(xué)知識(shí);至于計(jì)算，更是數(shù)學(xué)的領(lǐng)地。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)為科學(xué)探究提供了簡(jiǎn)潔的語言、分析的方法與計(jì)算的工具。沒有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，想要擁有良好的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神是不可能的。
趙維坤：在數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)方面，您有什么建言？
張景中：我想，思想要再解放一些，教學(xué)方法和教材要更多地鼓勵(lì)創(chuàng)新和多樣化;要關(guān)注不同能力層次的孩子，鼓勵(lì)課外閱讀、數(shù)學(xué)編程，為基礎(chǔ)不同的學(xué)生提供多樣化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要完善和加強(qiáng)的方面，最重要的是教材的精煉提升，以及教育信息技術(shù)的普及深入，這也是教育數(shù)學(xué)努力的方向。（張景中，廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院名譽(yù)院長(zhǎng)。中國(guó)科學(xué)院院士，全國(guó)優(yōu)秀教師。主要從事機(jī)器證明、距離幾何、動(dòng)力系統(tǒng)及教育數(shù)學(xué)方面的研究。2021年，被中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)（CCF）獎(jiǎng)勵(lì)委員會(huì)授予“CCF終身成就獎(jiǎng)”。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校，特級(jí)教師，正高級(jí)教師。中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事、學(xué)術(shù)委員。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材核心編寫人員。曾獲國(guó)家教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)特等獎(jiǎng)。）
摘要：教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝瑥亩嬲郎p輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。基于“熟悉了，簡(jiǎn)單了，想通了，直觀了，就容易”的想法。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀椎淖龇ㄓ校焊淖兏拍疃x的表述;建立更簡(jiǎn)易、更有力的方法，提供解題的“中巧”。教育數(shù)學(xué)40多年的研究在五個(gè)方面有重要進(jìn)展：在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，進(jìn)而發(fā)展出消點(diǎn)法;發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的生長(zhǎng)點(diǎn);針對(duì)高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法;解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴};探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，開發(fā)了更智能化的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——網(wǎng)絡(luò)畫板，使得數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動(dòng)有趣。
關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué);解題教學(xué);機(jī)器證明;網(wǎng)絡(luò)畫板
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家，中國(guó)科學(xué)院院士張景中長(zhǎng)期關(guān)注數(shù)學(xué)教育（將其作為數(shù)學(xué)科普工作的重要組成部分），提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實(shí)踐研究。近期，趙維坤老師對(duì)張景中院士進(jìn)行了訪談，請(qǐng)他就有關(guān)話題發(fā)表看法。本次訪談得到了張景中團(tuán)隊(duì)堯剛老師、陳如燦老師、李靜老師等的支持，在此謹(jǐn)表謝意。
一、 從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)
趙維坤：張?jiān)菏浚茫》浅８兄x您接受我的采訪。作為數(shù)學(xué)家，您在科研之外，為什么關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育？
張景中：我感到，關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育不是科研之外的事情。研究數(shù)學(xué)教育會(huì)遇到長(zhǎng)期以來沒有解決甚至被認(rèn)為不能解決的問題，需要長(zhǎng)時(shí)間地研究思考。如幾何解題簡(jiǎn)便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數(shù)學(xué)家思考過而沒有解決的問題。關(guān)注和推動(dòng)數(shù)學(xué)教育是難度很大的科研活動(dòng)。做這樣的研究，往往幾十年才能前進(jìn)一步，但這一步就很有意義。由于無法預(yù)期其進(jìn)展，所以我沒有將其作為項(xiàng)目或課題提出，而是將其作為自己選定的長(zhǎng)期研究目標(biāo)。
趙維坤：在數(shù)學(xué)教育方面，您最重要的貢獻(xiàn)是提出了教育數(shù)學(xué)的思想，并付諸了大量的實(shí)踐研究。您致力于改造數(shù)學(xué)，提出更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)的新概念、新方法、新思路。那么，您提出教育數(shù)學(xué)的思想，是針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的哪些問題呢？希望起到什么樣的作用呢？
張景中：數(shù)學(xué)教育中，“教什么”往往比“怎么教”更重要。如果內(nèi)容不當(dāng)，怎么教都不行。教育數(shù)學(xué)關(guān)注的是長(zhǎng)期以來被數(shù)學(xué)教育研究忽視的重要問題，即教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化問題，亦即張奠宙先生指出的“去數(shù)學(xué)化”問題。1989年，我在15年思考探索和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了教育數(shù)學(xué)的概念。所謂“教育數(shù)學(xué)”，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)，使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。簡(jiǎn)單而通俗地說，就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住Ｈ绻虒W(xué)內(nèi)容得到優(yōu)化了，概念變得容易理解了，解題方法改進(jìn)得更好用了，再加上生動(dòng)直觀的信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)演示，各種教學(xué)方法都會(huì)有更好的效果。
趙維坤：確實(shí)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，都有過痛苦的經(jīng)歷，都覺得數(shù)學(xué)很難，尤其是在做不出一些題目之后。把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝@真的可能是數(shù)學(xué)教育中最重要的問題了，那么，基本的想法是什么？
張景中：數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年就任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)的演說中說：“如果我們積累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一。”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”
把數(shù)學(xué)變?nèi)菀祝镜南敕ㄊ牵菏煜ち司腿菀祝M可能把要學(xué)的新知識(shí)和學(xué)生已經(jīng)熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新;簡(jiǎn)單了就容易，要尋求更簡(jiǎn)單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑;想通了就容易，盡量把前后左右的知識(shí)串通起來，把道理說清楚;直觀了就容易，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)靜結(jié)合，充分利用教育信息技術(shù)提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中變抽象為具體，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美。
為此，就要做切實(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)。基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，講的是最普適的數(shù)學(xué)事實(shí)。大道至簡(jiǎn)，最一般的道理應(yīng)當(dāng)是易于表達(dá)和理解的。因此，有可能讓“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。
趙維坤：說到基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，很多人都覺得它已經(jīng)十分成熟了，很難再變得更容易。現(xiàn)在我國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革，乃至世界各地的數(shù)學(xué)課程改革，似乎都是通過刪減內(nèi)容、降低要求來使其變?nèi)菀祝@一點(diǎn)在初中的平面幾何中表現(xiàn)得特別明顯。但您卻說：“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀状笥锌蔀椤！蹦敲矗窃鯓幼龅哪兀?/p>
張景中：說到對(duì)數(shù)學(xué)的改造，其實(shí)要回到一個(gè)源頭性的話題，也就是數(shù)學(xué)的起源。數(shù)學(xué)最初的研究并不是為了孩子、為了教育，而是為了解決工程、技術(shù)、科學(xué)等方面的問題。所以，數(shù)學(xué)不會(huì)自然地適用于教學(xué)。而要讓數(shù)學(xué)更適合孩子學(xué)習(xí)，就必須對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行加工和改造，讓它變得更容易理解和掌握。這包括改變概念定義的表述，以及建立更簡(jiǎn)易、更有力的方法。
定義是知識(shí)學(xué)習(xí)的門檻，定義如果很難、很煩瑣，學(xué)生繼續(xù)學(xué)下去就會(huì)感到吃力。比如三角函數(shù)，學(xué)生普遍覺得難學(xué)。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的教材中，“三角函數(shù)”部分的內(nèi)容一下子就出現(xiàn)了sin、cos、tan、cot四個(gè)概念和有關(guān)公式。這些內(nèi)容因?yàn)樯婕跋嗨迫切蔚闹R(shí)，到九年級(jí)才引進(jìn);學(xué)了之后還沒有得到足夠的應(yīng)用鞏固，初中課程就結(jié)束了。如果改變定義，在七年級(jí)甚至小學(xué)就能教三角函數(shù)。也就是說，這些關(guān)于三角函數(shù)的定義一開始就把門檻定得較高，需要較多的準(zhǔn)備知識(shí)，這樣學(xué)起來就難了。20世紀(jì)70年代，我在新疆教中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，用小學(xué)的面積知識(shí)引進(jìn)正弦概念，學(xué)生在七、八年級(jí)就能學(xué);之后把余角的正弦叫余弦，把三角、代數(shù)、幾何相結(jié)合，學(xué)生學(xué)起來容易多了。
另外，就是簡(jiǎn)化方法。幾何的難點(diǎn)可以通過創(chuàng)新的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例如基于小學(xué)知識(shí)總結(jié)出的“三共定理”：共高定理、共角定理、共邊定理。這些定理易學(xué)好用，使大量幾何題變?nèi)菀琢恕葌鹘y(tǒng)的歐式幾何特別重視的全等三角形這一工具易學(xué)好用。其中，前兩個(gè)是人們熟知的古老命題，但沒有得到重視，共邊定理則是新的發(fā)現(xiàn)。一些復(fù)雜的幾何題運(yùn)用共邊定理就能迎刃而解。但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年，應(yīng)周咸青博士邀請(qǐng)到美國(guó)合作研究幾何定理的機(jī)器證明，我提出用面積法。他問：如何把面積法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的算法呢？夜里，我想了一個(gè)例子，即用面積法機(jī)械地證明平行四邊形對(duì)角線相互平分，并由此認(rèn)識(shí)到，原來共邊定理的作用在于消去直線的交點(diǎn)。幾何解題的傳統(tǒng)思路是作輔助圖形，作不出來就設(shè)法添加?xùn)|西，現(xiàn)在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡(jiǎn)化;最后不能再簡(jiǎn)化了，就水落石出。這樣，數(shù)學(xué)教育和人工智能就密切聯(lián)系起來了。在2021年第13屆幾何自動(dòng)推理國(guó)際會(huì)議上，沃爾夫勒姆公司的一個(gè)報(bào)告詳細(xì)介紹了他們實(shí)現(xiàn)面積消點(diǎn)法的情形，說明這個(gè)領(lǐng)域中國(guó)人30年前的工作，仍然處于前沿。
趙維坤：您對(duì)教育數(shù)學(xué)的具體研究和教學(xué)實(shí)踐已歷經(jīng)40余年，這么多年的研究肯定有很多重要進(jìn)展，您能不能簡(jiǎn)要介紹一下這方面的進(jìn)展？
張景中：回顧40多年的研究，教育數(shù)學(xué)主要在五個(gè)方面有了重要進(jìn)展。
一是在初等幾何領(lǐng)域發(fā)展了面積法，這一基于小學(xué)知識(shí)得出的方法，把大量幾何題變?nèi)菀琢恕６遥谖覈?guó)幾位學(xué)者的共同努力，面積法已發(fā)展成為幾何定理機(jī)器證明的消點(diǎn)法，成為國(guó)內(nèi)外奧數(shù)培訓(xùn)的內(nèi)容，還被編入一些高校師范類專業(yè)的教材。
二是發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)在小學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的生長(zhǎng)點(diǎn)，提出了用面積關(guān)系來定義正弦，實(shí)現(xiàn)了國(guó)際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在40多年前提出而國(guó)外未能實(shí)現(xiàn)的“提前兩年學(xué)正弦”，讓學(xué)生能夠在義務(wù)教育階段掌握三角形的作圖推理與計(jì)算。這項(xiàng)研究始于1974年，成果發(fā)表于1980年，并在2012年正式進(jìn)入全班級(jí)、全學(xué)段教學(xué)實(shí)踐。廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班中考數(shù)學(xué)優(yōu)秀率達(dá)到百分之百，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，負(fù)擔(dān)減輕，成績(jī)上升，入學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)中下的學(xué)生畢業(yè)時(shí)也達(dá)到了優(yōu)秀。
三是針對(duì)高中向量部分的學(xué)習(xí)，發(fā)展了向量回路方法，消解了師生關(guān)于向量解幾何題不如傳統(tǒng)方法簡(jiǎn)便的困難。由此聯(lián)系到數(shù)學(xué)與哲學(xué)大師萊布尼茲曾提出的“點(diǎn)如何相加”的問題，我提出了點(diǎn)幾何的綱要，用點(diǎn)的代數(shù)關(guān)系直接表達(dá)幾何性質(zhì)，用代數(shù)運(yùn)算表達(dá)幾何推理。我和華中師范大學(xué)彭翕成博士合著的《點(diǎn)幾何解題》一書，引起不少師生的興趣。點(diǎn)幾何有助于串聯(lián)坐標(biāo)、向量和復(fù)數(shù)，目前有待進(jìn)入教學(xué)實(shí)踐。
四是解決了有關(guān)微積分如何變?nèi)菀椎膯栴}。我曾經(jīng)教過微積分，做過把極限概念和實(shí)數(shù)理論變?nèi)菀椎呐Γ岢隽溯^容易理解的定義極限的方法，發(fā)現(xiàn)了能簡(jiǎn)化實(shí)數(shù)理論的連續(xù)歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達(dá)方法，并且有成功的教學(xué)實(shí)踐案例。近幾年，我在林群院士的帶動(dòng)激勵(lì)下，在這個(gè)方向開展合作研究，獲得了新的進(jìn)展。我們發(fā)現(xiàn)，可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)叵纫胛⒎e分再講極限，而且可以在學(xué)習(xí)微積分之前系統(tǒng)而簡(jiǎn)捷地解決通常認(rèn)為用微積分才能解決的許多問題。我和林群院士合作出版了《減肥微積分》一書，所提出的新的微積分邏輯體系已經(jīng)通過了Coq機(jī)器檢驗(yàn)，使得今后開展這方面的工作更有信心。目前也有待進(jìn)一步開展教學(xué)實(shí)踐。
五是探索如何將信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更為生動(dòng)有趣。我們學(xué)習(xí)了美國(guó)的動(dòng)態(tài)幾何軟件——幾何畫板，經(jīng)過幾年努力，推出了更為智能化的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——超級(jí)畫板，具有“寫畫測(cè)算編演推算”多種功能。2015年以來，我組建專業(yè)的團(tuán)隊(duì)，將超級(jí)畫板進(jìn)一步發(fā)展成為基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)畫板，幫助師生更輕松地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。目前，網(wǎng)絡(luò)畫板注冊(cè)用戶已超過200萬，其中主要是數(shù)學(xué)教師。網(wǎng)絡(luò)畫板支持多種終端，無須安裝，支持其他教學(xué)系統(tǒng)共享，支持資源共建共享，2020年獲四川省年度科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。
趙維坤：感謝您這么系統(tǒng)地梳理和總結(jié)，讓我們對(duì)話題做一點(diǎn)發(fā)散和聯(lián)系。您說過“數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放”，指的是“數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)”，但是，多數(shù)人可能感受不深。結(jié)合您的教育數(shù)學(xué)思想，我覺得“解放”也可從減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的角度理解。那么，廣大的一線教師應(yīng)該如何從中受到啟發(fā)，真正尋求到更有效的減負(fù)路徑？
張景中：減輕負(fù)擔(dān)是教育的一個(gè)重要議題。對(duì)數(shù)學(xué)教育來說，減輕負(fù)擔(dān)最有效、最根本的一個(gè)方法，就是把數(shù)學(xué)本身變得更容易學(xué)。本來要花很多時(shí)間才能學(xué)會(huì)的內(nèi)容，現(xiàn)在花很少時(shí)間就能學(xué)會(huì)。這就真正減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)了。
長(zhǎng)期以來，我們?cè)跍p負(fù)方面都存在一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為減負(fù)就是刪繁就簡(jiǎn)。我認(rèn)為，這不是真正的減負(fù)。繁難的知識(shí)可能也非常重要，不能簡(jiǎn)單刪掉或死記硬背下來。在教育數(shù)學(xué)中，我提出化繁為簡(jiǎn)的理念，具體來說，就是提出更簡(jiǎn)潔的概念表述方式和解決問題的方法。
我們開展教育數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有十多年了，發(fā)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)本身是可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的。比如，一道中學(xué)數(shù)學(xué)題讓學(xué)生學(xué)（解）起來比較難，因?yàn)榕录又貙W(xué)生的負(fù)擔(dān)，就被列入“負(fù)面清單”了。可是，如果研究出新的方法，用小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以輕松解決，那就不僅減輕了負(fù)擔(dān)，而且能提高能力。也就是說，教育數(shù)學(xué)使學(xué)生本來不會(huì)的內(nèi)容現(xiàn)在會(huì)了，本來要花很多時(shí)間才能學(xué)會(huì)的內(nèi)容現(xiàn)在花很少時(shí)間就能學(xué)會(huì)。這就真正減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。回顧40多年教育數(shù)學(xué)走過的路，這也是在對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行加工、改造和研究，即改造數(shù)學(xué)知識(shí)體系，研究更優(yōu)的解決方法，從數(shù)學(xué)里尋求更有效的減負(fù)增效的途徑。
趙維坤：我想到，吳文俊先生說過“數(shù)學(xué)是笨人學(xué)的”，陳省身先生也表達(dá)過類似的意思。這是不是說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無捷徑？和您的教育數(shù)學(xué)思想有矛盾嗎？這句話應(yīng)該如何理解呢？
張景中：我來說說我對(duì)這句話的理解。一方面，正如吳文俊先生所說：“做研究不要自以為聰明，總是想些怪招，要實(shí)事求是，踏踏實(shí)實(shí)。功夫不到，哪里會(huì)有什么靈感？”這是指學(xué)數(shù)學(xué)需要縝密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼瓤雌饋怼安惶罱j(luò)”的能力，而且，不畏困難的執(zhí)著精神有時(shí)也會(huì)給人比較“笨”的感覺。另一方面，有些領(lǐng)域要求某種天賦，例如歌唱、運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)則不然。有人問陳省身先生：為什么選擇研究數(shù)學(xué)？他說：我動(dòng)手能力差，做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)都不行，只好做數(shù)學(xué)了。被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯說：任何一個(gè)正常人，只要像我這樣持續(xù)地思考，都能得出同樣的結(jié)論。我理解的吳先生的意思和陳先生、高斯的說法是一致的。
同時(shí)，數(shù)學(xué)可以變簡(jiǎn)單。最經(jīng)典、最重要的事往往是最簡(jiǎn)單的。“數(shù)學(xué)本身確實(shí)太難了”，關(guān)鍵不是教學(xué)方法的問題，而是從改造數(shù)學(xué)本身入手。研究如何把數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單，需要老老實(shí)實(shí)地做、腳踏實(shí)地地做。當(dāng)然，也需要一些方法、路徑，或者說，更重要的是一些原則、方向。那就是，觀點(diǎn)高一些，往問題的本質(zhì)上想;思想解放一些，不要被成見、套路束縛住;尤其不要把簡(jiǎn)單的問題復(fù)雜化，而要反其道而行。這是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙。對(duì)數(shù)學(xué)家的已有成果，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，使之有更平易近人的數(shù)學(xué)概念、更簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)、更高效的解題方法，使之成為新的“經(jīng)典”的教程，使之更適宜于教與學(xué)，其實(shí)就是教育數(shù)學(xué)在做的事。
趙維坤：您的思考對(duì)我很有啟發(fā)，非常感謝！另外，我在學(xué)習(xí)您的教育數(shù)學(xué)思想時(shí)感覺到，“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住弊罱K指向“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住薄Ｎ蚁耄@不難理解：數(shù)學(xué)解題難是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難最直接、最根本的體現(xiàn)。對(duì)于數(shù)學(xué)解題，您在《走進(jìn)教育數(shù)學(xué)》叢書的總序中提出過“中巧說”。也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機(jī)械執(zhí)行的方法，即算法。這一想法給我一種“恰到好處”的感覺：觀點(diǎn)較高，看透問題本質(zhì)，但不是大而無當(dāng)，而是針對(duì)具體問題。您能再解釋解釋這一想法，以給一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)更多的啟示嗎？
張景中：學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)然要解題。而數(shù)學(xué)難學(xué)，特別是幾何難學(xué)，主要也是學(xué)了知識(shí)之后仍不會(huì)解題。年復(fù)一年的考試不斷產(chǎn)生花樣翻新的題目，使學(xué)生接觸到越來越多的自己不會(huì)的題目。如何教會(huì)學(xué)生解題呢？
一種方法是收集大量問題，分成類型，傳授巧法和妙招，以備套用。我國(guó)近年出版的大量數(shù)學(xué)讀物，屬于此類。這樣做教師省心，應(yīng)付考試也有短期效果，所以頗受歡迎，流行不衰。
一種方法是強(qiáng)調(diào)基本知識(shí)和技能，關(guān)注一般的解題思考原則。這是數(shù)學(xué)家G.波利亞在他的一系列著作中所提倡的，也是許多數(shù)學(xué)家所贊成的。可惜曲高和寡，多數(shù)教師和學(xué)生難以掌握，實(shí)效不大。
我曾在新加坡和項(xiàng)武義教授討論過這個(gè)問題。他把前一種方法叫作小巧，后一種方法叫作大巧。他主張教學(xué)生大巧，提倡靈活，“運(yùn)用之妙，存乎一心”。但我以為，小巧一題一法，固不應(yīng)提倡;大巧法無定法，也確實(shí)太難。吳文俊先生也指出過：“不能用數(shù)學(xué)家的要求來指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。”要求學(xué)生掌握大巧，是想讓他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)家的思維方法。這對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言，不是幾年內(nèi)能做到的。而事實(shí)上，即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長(zhǎng)領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了大巧。
我想，出路在于提倡“中巧”。所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式。它不像小巧那么呆板瑣碎，又不像大巧那么法無定法。代數(shù)里的解方程、列方程解題，分析里的求導(dǎo)數(shù)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹，還有數(shù)學(xué)歸納法，均屬中巧。長(zhǎng)期以來，幾何難學(xué)是因?yàn)閹缀卫镏挥行∏伞⒋笄桑鴽]有中巧。我們則用面積法和消點(diǎn)法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧，使初等幾何方法從“四則運(yùn)算雜題”的水平提高到代數(shù)方程的水平。
中巧要靠數(shù)學(xué)家研究創(chuàng)造出來，才能編入教材，教給學(xué)生。學(xué)生主要是學(xué)，而不是創(chuàng)，最多是在教師的指導(dǎo)下創(chuàng)（也就是弗賴登塔爾所說的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”）。在學(xué)習(xí)中巧的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧——至于小巧，學(xué)一點(diǎn)也好，但不足為法。小巧是零食，大巧是養(yǎng)生之道，中巧才是主食正餐。教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧。
二、 從計(jì)算機(jī)解幾何題，到信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)
趙維坤：最后這個(gè)比喻非常生動(dòng)貼切！我想，當(dāng)下一線教師，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，面對(duì)應(yīng)試的壓力以及核心素養(yǎng)的導(dǎo)向，尤其需要中巧這樣的指導(dǎo)思想。現(xiàn)在，讓我們專門來談一談您教育數(shù)學(xué)思想有關(guān)信息技術(shù)的方面，這也是您同時(shí)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)家研究的重要方向。您把多年來在教育數(shù)學(xué)研究中發(fā)展的幾何新方法用于機(jī)器證明，并提出了消點(diǎn)思想，創(chuàng)建了幾何定理可讀證明自動(dòng)生成的原理和方法。請(qǐng)您簡(jiǎn)單介紹一下幾何定理的機(jī)器證明。
張景中：簡(jiǎn)單地說，機(jī)器證明就是用計(jì)算機(jī)來機(jī)械化地判定數(shù)學(xué)命題的真假，判定命題為真就是給出了證明。其實(shí)，機(jī)械化的思想早就蘊(yùn)含在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用中了。幾何問題變化多，法無定法，技巧性強(qiáng)，如何找到機(jī)械化處理方法是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。吳文俊先生創(chuàng)造性地提出“吳方法”，將幾何證明問題轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式方程組的代數(shù)問題，對(duì)一大類等式型問題找到了高效率的判定算法。“吳方法”的成功讓這個(gè)領(lǐng)域活躍起來，極大地推動(dòng)了幾何自動(dòng)推理的研究。但是，代數(shù)法也有缺點(diǎn)，那就是計(jì)算過程比較復(fù)雜，人工很難檢驗(yàn)其正確性并理解其幾何意義。能不能讓計(jì)算機(jī)生成較為直觀、簡(jiǎn)單而容易理解、檢驗(yàn)的解題過程，即所謂“可讀的”解答？當(dāng)時(shí)，國(guó)內(nèi)外研究這個(gè)領(lǐng)域的專家認(rèn)為是不可能的。
后來，我們將面積法改造成機(jī)械化算法消點(diǎn)法，并進(jìn)一步發(fā)展成“幾何不變量”方法，對(duì)相當(dāng)大的一類幾何問題可以用機(jī)器生成“可讀的”解答。該方法可以推廣拓展至非歐幾何，獲得了許多新定理，被國(guó)際同行譽(yù)為突破性的成果。
近年來，我們提出了“點(diǎn)幾何”，這是一種以“點(diǎn)”為基本運(yùn)算對(duì)象的新的幾何理論體系，很多常見的幾何命題用點(diǎn)幾何表達(dá)，往往能得到僅有一兩行長(zhǎng)度的簡(jiǎn)單證明。彭翕成博士基于此發(fā)展了點(diǎn)幾何恒等式機(jī)械化算法，取得了良好的效果。
趙維坤：那么，機(jī)器證明會(huì)給中小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來哪些改變呢？
張景中：這方面的工作僅是開始，需要更多的研究和教學(xué)實(shí)踐。初步能想到的是，把機(jī)器證明的成果用于教育信息化，有助于減輕教師的負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生的興趣。例如，用超級(jí)畫板或網(wǎng)絡(luò)畫板，在屏幕上畫一個(gè)任意三角形和三條高線，讓計(jì)算機(jī)推一推這個(gè)圖形里有什么幾何性質(zhì)。幾秒鐘后，計(jì)算機(jī)會(huì)顯示出圖中有幾百條幾何性質(zhì)，例如四條線段的比例式就能列出上百條。分析討論一下這些比例式是如何推出來的，可以分成幾類，涉及哪些幾何知識(shí)，就是很有趣的教學(xué)活動(dòng)。如果沒有自動(dòng)推理軟件，要組織這樣的教學(xué)活動(dòng)，教師要花的時(shí)間和精力要多得多。基于自動(dòng)推理，還可以為研究者、教師和數(shù)學(xué)愛好者提供智能性幾何解題電子詞典，對(duì)兩千多年來的初等幾何做一個(gè)相對(duì)完美的總結(jié)。這一工作工程浩大，但如果做得好，將是對(duì)科學(xué)文化事業(yè)的重要貢獻(xiàn)。在不久的將來，機(jī)器推理可以使數(shù)學(xué)教學(xué)場(chǎng)景更加智能化，如輔助教師出題、批改作業(yè)試卷等，將教師從耗時(shí)費(fèi)力的機(jī)械性工作中解脫出來，從而可以更好地關(guān)注并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。
00趙維坤：您的介紹讓我們看到了一個(gè)更加美好、值得期待的未來！現(xiàn)在是信息技術(shù)時(shí)代，信息技術(shù)的應(yīng)用不斷地滲透到各個(gè)領(lǐng)域。新課改以來，各版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都專門提到了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》又指出：“重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動(dòng)作用，改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變。”這就要求教師充分利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望。您能不能就這個(gè)話題給予一些指導(dǎo)？
張景中：教師應(yīng)當(dāng)利用信息技術(shù)深度挖掘課程內(nèi)容的精神實(shí)質(zhì)，課程內(nèi)容中蘊(yùn)含的思想方法、探究性素材，課程內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系等;利用信息技術(shù)對(duì)文本、圖像、聲音、動(dòng)畫等進(jìn)行綜合處理;注重信息技術(shù)與教學(xué)過程的深度融合，如組織好活動(dòng)、落實(shí)好評(píng)價(jià)等。最終，達(dá)到豐富教學(xué)場(chǎng)景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望的目的。
趙維坤：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)”，這是新課標(biāo)的新要求。而網(wǎng)絡(luò)畫板是您創(chuàng)立的可廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)專用軟件。請(qǐng)您談?wù)勚行W(xué)教師應(yīng)該如何利用網(wǎng)絡(luò)畫板開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。
張景中：中小學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中用幾次網(wǎng)絡(luò)畫板，就會(huì)親身體驗(yàn)到這類動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的價(jià)值。動(dòng)態(tài)幾何圖形有兩個(gè)基本特點(diǎn)：圖中的某些對(duì)象可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)或用參數(shù)的變化直接驅(qū)動(dòng);其他沒有被拖動(dòng)或直接驅(qū)動(dòng)的對(duì)象會(huì)自動(dòng)調(diào)整其位置，以保持圖形原來設(shè)定的幾何性質(zhì)。學(xué)生可以利用其動(dòng)態(tài)作圖、動(dòng)態(tài)計(jì)算、動(dòng)態(tài)測(cè)量以及編程功能來幫助自己理解概念，啟迪思路，探索疑問，檢驗(yàn)答案，用直觀的動(dòng)態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理公式。例如，自己定義函數(shù)并讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，有助于理解函數(shù)概念;通過作圖測(cè)量、觀察差商趨于微商（導(dǎo)數(shù)）的極限過程;等等。有些歷史上著名的實(shí)驗(yàn)，例如蒲豐投針實(shí)驗(yàn)，做起來很花時(shí)間，可以用計(jì)算機(jī)模擬;有些數(shù)學(xué)事實(shí)，例如正弦級(jí)數(shù)收斂于矩形波，很難想象，可以作出動(dòng)態(tài)圖像來觀察。基于動(dòng)態(tài)幾何的平臺(tái)，能畫、能算、能測(cè)、能動(dòng)、能變，是實(shí)驗(yàn)探索得心應(yīng)手的環(huán)境。除此之外，這樣的平臺(tái)，還可以用來模擬探索物理過程和其他有趣的自然現(xiàn)象，例如單擺、布朗運(yùn)動(dòng)、多普勒效應(yīng)、混沌與分形等。
網(wǎng)絡(luò)畫板的特點(diǎn)是：（1） 上網(wǎng)就能用，無須下載安裝;（2） 適應(yīng)于Windows、蘋果、安卓多種系統(tǒng)和手機(jī)、平板、電腦各種終端;（3） 支持多種資源形態(tài)，可無縫嵌入Microsoft Office、WPS，離線斷網(wǎng)也能用;（4） 支持豐富的教學(xué)模式，適應(yīng)多樣化的教學(xué)環(huán)境;（5） 是開放性的平臺(tái)，可以與多種教學(xué)系統(tǒng)有機(jī)整合，目前已經(jīng)融入希沃、科大訊飛、天喻信息、騰訊教育、聯(lián)想、立思辰、華漁、歐帝等多家教育服務(wù)產(chǎn)品;（6） 匯聚豐富資源，共建共享統(tǒng)一管理，按教學(xué)需求組織，用起來很方便。幾年來，不少老師用網(wǎng)絡(luò)畫板創(chuàng)作了大量教學(xué)資源，供選擇使用。例如，進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)畫板網(wǎng)站可以看到，一位老師的原創(chuàng)作品已有6000多條，100條以上的有400多位老師，50條以上的有1186位老師，等等。這些作品還可以按區(qū)域、學(xué)校分類查閱，對(duì)于了解各地各校數(shù)學(xué)教學(xué)情形，相互交流，很有參考價(jià)值。
趙維坤：感謝您這么詳細(xì)的介紹！最后，想問兩個(gè)比較大的問題。作為數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是計(jì)算機(jī)科學(xué)家，在您看來，數(shù)學(xué)在增強(qiáng)國(guó)家科技創(chuàng)新能力方面有著怎樣的作用？
張景中：增強(qiáng)國(guó)家數(shù)學(xué)實(shí)力，要重視數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)研究，重視數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要前提。學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)探索精神、思維的嚴(yán)密性、求真的執(zhí)著精神等都有重要意義。科技創(chuàng)新和數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切。科技創(chuàng)新研究的方法主要表現(xiàn)為邏輯推理、實(shí)驗(yàn)觀察和計(jì)算，而這三種方法都需要數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)做支撐;實(shí)驗(yàn)以觀察和總結(jié)自然規(guī)律為特征，涉及數(shù)據(jù)的記錄和分析，也不能沒有數(shù)學(xué)知識(shí);至于計(jì)算，更是數(shù)學(xué)的領(lǐng)地。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)為科學(xué)探究提供了簡(jiǎn)潔的語言、分析的方法與計(jì)算的工具。沒有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，想要擁有良好的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神是不可能的。
趙維坤：在數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)方面，您有什么建言？
張景中：我想，思想要再解放一些，教學(xué)方法和教材要更多地鼓勵(lì)創(chuàng)新和多樣化;要關(guān)注不同能力層次的孩子，鼓勵(lì)課外閱讀、數(shù)學(xué)編程，為基礎(chǔ)不同的學(xué)生提供多樣化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要完善和加強(qiáng)的方面，最重要的是教材的精煉提升，以及教育信息技術(shù)的普及深入，這也是教育數(shù)學(xué)努力的方向。（張景中，廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院名譽(yù)院長(zhǎng)。中國(guó)科學(xué)院院士，全國(guó)優(yōu)秀教師。主要從事機(jī)器證明、距離幾何、動(dòng)力系統(tǒng)及教育數(shù)學(xué)方面的研究。2021年，被中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)（CCF）獎(jiǎng)勵(lì)委員會(huì)授予“CCF終身成就獎(jiǎng)”。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校，特級(jí)教師，正高級(jí)教師。中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事、學(xué)術(shù)委員。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材核心編寫人員。曾獲國(guó)家教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)特等獎(jiǎng)。）
