立足情境 重視過程 深化變式

華利新

［摘 ?要］ 文章以“銳角三角函數（第1課時）”為例，提出概念教學的有效方法與路徑，以使學生體驗概念形成的過程，深化對概念的理解.

［關鍵詞］ 銳角三角函數；情境；初中數學

在數學教學中，概念教學是重要的一環，如何有效地進行概念教學呢？以下，筆者將結合“銳角三角函數（第1課時）”，談一談對概念教學的一些思考.

教學設計與意圖分析

1. 創設情境，導入新課

問題1：請同學們閱讀有關比薩斜塔的材料，如果把塔身中心線與鉛垂線的夾角作為比薩斜塔的傾斜程度，如何根據材料中的數據求出這個角度呢？

問題2：梳理上述問題，你可以抽象出什么幾何圖形？上述現實問題可以轉化成什么數學問題？

問題3：對于直角三角形，我們已經研究了三邊關系即勾股定理，研究了兩銳角互余以及斜邊中線的性質，研究了含30°角的直角三角形的性質，我們還可以研究直角三角形的什么性質呢？

設計意圖 通過閱讀材料，引導學生了解本章學習的主體知識，喚起學生學習的興趣，為培養學生應用數學知識解決實際問題做好鋪墊.

2. 設置探究情境，引入概念

（1）結合情境，首次感知.

問題情境：如圖1所示，在山坡上植樹，已知山坡的傾斜角α是30°，小明種植的兩棵樹之間的坡面距離AB是6米，要求相鄰兩棵樹之間的鉛垂距離BC在2.7～3.2米范圍內，問小明種植的這兩棵樹是否符合這個要求？

問題4：試著用數學語言表達這個現實問題，如何解答這個現實問題呢？如果相鄰兩棵樹之間的坡面距離是7米，那么小明種植的這兩棵樹是否符合要求？

設計意圖 在真實的生活情境中，讓學生體會數學知識源于生活，引導學生經歷現實問題轉化為數學問題的過程.

（2）去除現實意義，提煉概念.

問題5：如果一個直角三角形有一個銳角是30°，那么30°銳角所對的直角邊與這個直角三角形的斜邊有何數量關系？試用一個算式予以表達.

設計意圖 對于數學化后的問題，去掉了具體情境，讓學生形成共識：任何一個直角三角形，只要其有一個角是30°，那么這個角所對的直角邊就是斜邊的一半.

（3）同類比較，明晰概念.

問題6：任意畫一個等腰直角三角形ABC，如果∠C為直角，那么∠A，∠B都是45°，試計算∠A所對的直角邊與斜邊的比值；任意畫一個直角三角形ABC，∠C為直角，∠A=60°，試計算∠A所對的直角邊與斜邊的比值.

師：由上述兩個問題的討論我們可以看出，在直角三角形ABC中，當銳角A為30°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為；當銳角A為45°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為；當銳角A為60°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為.由此你發現了什么結論？

設計意圖 先探究直角三角形ABC的特殊角，學生可以從中發現當銳角A是某一特殊角時，它的對邊與斜邊的比值是一個特殊的固定不變的值；同時，初步感受銳角三角函數就是研究直角三角形中的兩邊與角度之間的對應關系.

（4）推理論證，得到概念.

問題7：如圖2所示，兩個大小不等但形狀相同的直角三角形ABC和A′B′C′，且∠C，∠C′都是直角，∠A=∠A′，請探究與有什么關系，你能解釋一下嗎？

生：因為∠C=∠C′，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′；根據相似三角形的對應邊成比例，得=.

師：從這里可以看出，當直角三角形中的一個銳角固定時，那么它的對邊與斜邊的比值也就固定了. 在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA；也就是說，sinA=. 在正弦概念中最重要的四個要素是什么？

剖析正弦概念：①概念的名稱是正弦；②概念的定義：在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA， sinA=；③本質屬性：正弦是∠A的度數與∠A的對邊、斜邊之間的一種對應關系，在直角三角形ABC中，直角邊小于斜邊，因此sinA的取值范圍是0

設計意圖 從四個方面剖析正弦概念，讓學生準確掌握正弦.

3. 辨析概念，深化理解

例1 如圖3所示，求圖中各直角三角形銳角的正弦值.

分析 如圖3①所示，因為AC=1，BC=3，由勾股定理得AB==. 在直角三角形ABC中，根據正弦概念可得sinA===，sinB===. 如圖3②所示，因為DF=4，EF=3，由勾股定理得DE=. 在直角三角形DEF中，由正弦概念得sinF==，sinD==.

設計意圖 通過例題訓練，學生可以看到，求一個銳角的正弦值需要確定的要素，進而把正弦概念具體化，深化學生對正弦概念的理解.

例2 判斷下列說法是否正確：①在直角三角形DEF中，把直角三角形DEF的各邊都擴大10倍后，銳角E的正弦值也擴大了10倍. ②如圖4所示，△ABC為格點三角形，那么sinB=.

分析 ①此說法錯誤，因為當直角三角形DEF的各邊都擴大10倍后，擴大前后的兩個直角三角形相似，對應邊成比例，所以銳角E的正弦值沒有變化；②此說法錯誤，因為求一個銳角的正弦值必須放在直角三角形中，而不是任意的三角形中，所以sinB正確的結果為.

設計意圖 通過第一個反例，旨在說明一個銳角的正弦值不是邊長，而是邊長與邊長的比值；通過第二個反例，旨在說明求一個銳角的正弦值必須放在直角三角形中.

4. 變式訓練，加強應用

例3 在直角三角形ABC中，∠C為直角，a，b，c分別是各角的對邊，當c=12，sinA=時，求a，b的長.

分析 在直角三角形ABC中，sinA==，設a=x，則c=3x；因為c=12，所以3x=12，解得x=4，所以a=4. 由勾股定理得b==8.

設計意圖 讓學生利用正弦概念得到邊與邊的比值，通過方程求得直角邊a的長，然后利用勾股定理求得直角邊b的長. 這種變式訓練，實現了從知識到能力的轉化，為解直角三角形積累了經驗.

5. 自我反思，總結評價

問題8：（1）什么叫做銳角的正弦？（2）我們是如何構建研究正弦函數的思路的？

設計意圖 梳理本課知識，進一步歸納探究數學活動的思路.

教學設計的反思

1. 重視概念的基礎性作用

數學概念是組成數學大廈的基石，是進行嚴謹推理與邏輯論證的基礎. 因此，教師應重視概念教學的基礎性作用. 在本節課教學中，教師首先通過四個環節讓學生掌握概念，即感受—提煉—類比—證明，這也是探究概念的一般規律，凸顯了本節課的重點；然后通過概念解讀、正反例辨析、變式訓練等活動，進一步深化學生對概念的理解.

2. 體驗概念形成的過程

數學概念是對生活的抽象化與符號化，方便了人們研究客觀世界的共性. 從發展的角度來看，概念教學不僅要關注其結果，更要關注其形成過程. 在本節課教學中，教師設計了三個步驟促進學生形成概念：一是從小明植樹的具體情境中提出概念；二是從30°，45°，60°中識別共性；三是去掉具體情境，提煉正弦符號sinA.使學生在數學活動中體驗到數學概念形成的過程.

3. 認識概念的內涵與外延

如何準確把握正弦概念是本節課的關鍵，也是學生能否正確使用正弦的前提. 在本節課教學中，教師從四個方面引導學生去把握正弦概念：一是正弦的名稱；二是正弦的定義；三是正弦的屬性；四是針對正弦舉例. 對于符號sinA，學生比較陌生，為了防止學生在理解與使用上出現偏差，教師通過求一個直角三角形中兩個銳角的正弦值，深化了學生對正弦的理解；又通過兩個反例，強調了正弦中的兩個關鍵點，進而使學生全面準確地認識了銳角的正弦概念.

4. 提煉概念的表現形式

學習是為了進一步應用，特別是銳角三角函數，一定要轉化為對應的算式. 在變式訓練中，已知直角三角形的斜邊與一銳角的正弦，如何求其他兩條直角邊呢？必須把銳角的正弦轉化為直角邊與斜邊的比值，由此先求出一條直角邊，再用勾股定理求出另一條直角邊. 需要注意的是，已知一銳角的正弦，要轉化為直角三角形中直角邊與斜邊的比值才能應用.