準(zhǔn)確把握認(rèn)知起點(diǎn) 提高數(shù)概念課教學(xué)的有效性

李志

摘 要：數(shù)概念課的教學(xué)是抽象、枯燥的。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)概念時(shí)，往往需要經(jīng)歷認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，才能建構(gòu)起概念的直觀模型。因此，教師在教學(xué)中要準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，讓抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根。本文以“倍的認(rèn)識”教學(xué)為例，談?wù)勌岣邤?shù)概念課教學(xué)有效性的策略。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知起點(diǎn)；數(shù)概念課；有效性；案例分析

案例背景：

“倍的認(rèn)識”是人教版數(shù)學(xué)三年級上冊第五單元第一課時(shí)的內(nèi)容，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的一節(jié)典型概念課。比較兩個(gè)數(shù)量大小，一種是比較它們的差（相差問題），另一種是比較它們的比率關(guān)系（倍比問題），比率這一概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的作用，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)比例、一次函數(shù)的基礎(chǔ)。而倍的認(rèn)識又是進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比這些比率關(guān)系的基礎(chǔ)。

在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建立的是“加法結(jié)構(gòu)”，是數(shù)量的合并與多少的比較，而對兩個(gè)量之間的比率關(guān)系問題的理解，則需要在頭腦中建構(gòu)起“乘法結(jié)構(gòu)”，“倍的認(rèn)識”正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的開始。心理學(xué)研究表明：“乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，乃是對乘除法問題中的兩組對應(yīng)的四個(gè)數(shù)值構(gòu)成的關(guān)系（對應(yīng)、倍數(shù)關(guān)系）的認(rèn)知過程”，可見，理解兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系（比率）也是學(xué)生乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立的重要方面。

乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化。“倍”的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會（乘法的認(rèn)識還是“合并”與“累加”的過程，本質(zhì)還是“加法結(jié)構(gòu)”）。學(xué)生學(xué)習(xí)倍需要經(jīng)歷認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)習(xí)中最大的困難。因此，建構(gòu)倍的直觀模型，認(rèn)識倍這個(gè)抽象的概念學(xué)生存在困難就很容易理解了。

平利縣教研師訓(xùn)中心呂蒙老師執(zhí)教的“倍的認(rèn)識”一課，就為廣大教師提供了很好的范式。其課堂最大的亮點(diǎn)在于教師能夠根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，做到了三個(gè)注重：一是注重用直觀、趣味化的呈現(xiàn)方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念；二是注重用多樣化的體驗(yàn)方式引導(dǎo)學(xué)生感知內(nèi)化概念；三是注重用靈活的變式學(xué)習(xí)活動拓展學(xué)生的思維寬度。抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根。

一、課前精彩互動，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感有溫度

【片段】

師：同學(xué)們，你們喜歡看電視嗎？喜歡看什么電視節(jié)目呀？

生：動畫片、科幻片……

師：溫馨小提示，同學(xué)們看電視可要控制好時(shí)間，注意保護(hù)好我們的視力！你們想知道老師喜歡看什么電視節(jié)目嗎？

生（急切）：想！

師：老師可喜歡看魔術(shù)表演了。今天，老師也給大家?guī)砹艘粋€(gè)小魔術(shù)，你們想看嗎？不過呀，今天我?guī)淼男∧g(shù)需要和同學(xué)們合作才能完成，你們愿意跟老師合作嗎？

生（激動）：愿意！

師：（師出示道具）現(xiàn)在由你們來施魔法，一起做手勢說魔法咒語“魔法變變變”看看會發(fā)生什么奇跡呢？

…………

魔術(shù)表演，很吸引學(xué)生的眼球，伴隨著“魔法變變變”的聲音，開始魔術(shù)表演。

片段分析：

魔術(shù)表演既為探索新知做了鋪墊，又讓課堂有序有度，有思維含量。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高了，學(xué)習(xí)熱情就高了。這樣的課堂，學(xué)生喜歡，課堂氛圍也非常好。

二、靈活處理教材，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)參與有興趣

【片段】

師：剛才我們一起玩了一個(gè)小魔術(shù)，好玩嗎？

生（興奮拍手）：好玩好玩！

師：在今天的數(shù)學(xué)課堂上，我們也來感受一下魔法的神奇、魔術(shù)的魅力吧！

課件出示：

師：看，這里有3個(gè)水果魔盒（蘋果、梨、桔子），只要你在任意一個(gè)水果魔盒里面放入相應(yīng)的一個(gè)水果，它就能變出不止一個(gè)這樣的水果，想不想來見證一下？

生（迫不及待）：想！

師：我們首先來看看蘋果魔盒吧！當(dāng)在魔盒里放入一個(gè)蘋果后，大家就一起說魔法咒語“魔法變變變”，看看會有什么神奇的變化呢？

…………

（伴隨著“魔法變變變”的有節(jié)奏的聲音，學(xué)生在神奇的魔術(shù)變化中發(fā)現(xiàn)蘋果魔盒變出了2個(gè)蘋果，梨魔盒變出了6個(gè)梨，教師板貼其個(gè)數(shù)，為新知學(xué)習(xí)提供了素材。）

師：我發(fā)現(xiàn)咱們班的同學(xué)都有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，作為數(shù)學(xué)老師，必須為你們點(diǎn)贊！數(shù)學(xué)的課堂，不僅需要我們具有數(shù)學(xué)的眼光，還要能從數(shù)學(xué)的角度思考問題才行，那現(xiàn)在請同學(xué)們比一比這兩種水果的數(shù)量，說說有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：梨比蘋果多4個(gè)。

生2：梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍。

師：是的，在比較兩個(gè)事物的數(shù)量時(shí)，除了誰比誰多、誰比誰少這種相差關(guān)系，還有一種關(guān)系就是剛才這位同學(xué)（生2）說的倍的關(guān)系。今天這節(jié)課，我們就一起來研究：倍的認(rèn)識。（生書空板書課題。）

片段分析：

教師評價(jià)語言豐富、多樣，對學(xué)生的評價(jià)有揚(yáng)有抑，并且絲絲入扣，直抵內(nèi)心。教師在自然和諧的氛圍中與學(xué)生一起寫課題“倍的認(rèn)識”，小手隨教師板書書空，有示范性和重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的作用。在有趣的情境中，從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，讓學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)他們主動參與的意識和愿望。

三、注重操作體驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識有建構(gòu)

【片段】

師：剛才這位同學(xué)說是3倍的關(guān)系，你能說說是怎樣想的嗎？

生：蘋果有2個(gè)，我看梨有3份蘋果那么多，所以數(shù)量就是蘋果的3倍。

師：有什么好辦法能讓別人從圖中一眼看出梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍嗎？

（生將梨2個(gè)2個(gè)圈起來。）

師：她剛才是怎樣圈的？（2個(gè)2個(gè)圈）你有什么疑問？

生：我想問你，你為什么要兩個(gè)兩個(gè)圈呀？

師：這位同學(xué)是今天課堂上第一個(gè)主動提出問題的，會提問的學(xué)生一定是會思考、會學(xué)習(xí)的學(xué)生，希望大家能向她學(xué)習(xí)。

生：蘋果有2個(gè)，2個(gè)2個(gè)地圈能讓我們清楚看出梨有這樣的3份，就是蘋果個(gè)數(shù)的3倍。

師引導(dǎo)梳理：哦！蘋果有2個(gè)，梨圈出了（3個(gè)2），也就是圈出了這樣的3份，我們就說梨的個(gè)數(shù)是蘋果的（3倍）。（板書：梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍。）

師：圈的過程中有什么要注意？

生：不能隨便圈。

生：要把蘋果的數(shù)量看作一份，2個(gè)2個(gè)地圈。

片段分析：

核心環(huán)節(jié)教學(xué)活動的組織，一定要讓學(xué)生在自主參與中經(jīng)歷概念的形成過程。教師在引導(dǎo)學(xué)生感知兩種水果倍數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，啟發(fā)思考：為什么這樣做？這樣做要注意什么問題？很好地將操作和思維有機(jī)結(jié)合，不僅更好地建構(gòu)“倍”的直觀模型，也促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

【片段】

師：剛才我們用的什么方法一眼看出來梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍？

生：圈一圈。

師：我們一起再來回顧一下剛才的過程吧！

…………

師：誰能完整地再說一說？

片段分析：

課堂中，教師反復(fù)讓學(xué)生完整的表達(dá)和清晰的思考，從這一過程中，學(xué)生不僅能初步感知倍的概念，還能體會到語言表達(dá)的重要性。語言是思維的外殼，只有想得清，才能說得明。注重語言表達(dá)的條理性，就能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性。而且在說的過程中，還明確了標(biāo)準(zhǔn)量和比較量的關(guān)系，讓倍的概念真正內(nèi)化于學(xué)生心中。

四、落實(shí)四基四能，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維有發(fā)展

【片段】

師：我們再來看看桔子魔盒有什么神奇的魔力吧！（課件演示：魔盒中放入一個(gè)桔子，變出12個(gè)桔子。）

生（驚訝）：哇！變出了這么多的桔子呀！

師：當(dāng)然魔盒的魔力變大了，思考的難度也就變大了。仔細(xì)觀察，桔子和蘋果的數(shù)量，想一想，它的個(gè)數(shù)和蘋果又有著怎樣的倍數(shù)關(guān)系呢？

生：桔子的個(gè)數(shù)是蘋果的6倍。

師：咦，同樣都是和蘋果比較，為什么這次比出的倍數(shù)關(guān)系不一樣呢？

生：因?yàn)樘O果有2個(gè)，梨圈出了3個(gè)2，梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍；而桔子圈出了6個(gè)2，桔子的個(gè)數(shù)就是蘋果的6倍，所以它們的倍數(shù)關(guān)系不一樣。

片段分析：

在學(xué)生通過“圈一圈”的活動初步感知倍的概念后，讓學(xué)生在觀察、對比中引發(fā)進(jìn)一步思考：為什么梨、桔子都和蘋果比，倍數(shù)關(guān)系不一樣？（標(biāo)準(zhǔn)相同，倍數(shù)變化）教學(xué)中，教師抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以標(biāo)準(zhǔn)量為切入點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生思考，不僅使學(xué)生對倍的認(rèn)識更加深刻，而且也把學(xué)生的思維逐步引向了深入。將思考與操作有機(jī)結(jié)合，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生的操作更有效，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有序。

五、感悟數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動有意義

【片段】

師：同樣都是在跟蘋果比，梨有3個(gè)2，梨是蘋果的3倍，桔子有6個(gè)2，桔子的個(gè)數(shù)就是它的6倍。如果桔子魔盒的魔力更大，變出這樣的10個(gè)2呢？

生：它的個(gè)數(shù)就是蘋果的10倍。

師：如果變出這樣的50個(gè)2呢？

生：它的個(gè)數(shù)就是蘋果的50倍。

師：如果變出100個(gè)2呢？

生：它的個(gè)數(shù)就是蘋果的100倍。

師：如果再繼續(xù)這樣變的話，誰能用一句話概括一下？

生：桔子的個(gè)數(shù)變出了這樣的幾個(gè)2，它的個(gè)數(shù)就是蘋果的幾倍。

師：說得太好了！在比較的時(shí)候，雖然它們的倍數(shù)關(guān)系不一樣，但是它們有沒有什么相同的地方？

生：都是2個(gè)2個(gè)一圈。

師：為什么都是2個(gè)2個(gè)的圈呢？

生：因?yàn)槎荚诤吞O果比較，蘋果有2個(gè)。

師：蘋果有2個(gè)，我們就把蘋果的這兩個(gè)作為一份。我們?nèi)Τ隽诉@樣的幾份，個(gè)數(shù)就是它的幾倍。

師：再來看看這些水果的數(shù)量，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)桔子的個(gè)數(shù)是梨的2倍。

師：你是怎么看出來的呢？

生：把6個(gè)梨的數(shù)量看成一份，桔子能圈出這樣的2份，所以桔子的個(gè)數(shù)就是梨的2倍。

師（故作疑惑）：咦，剛才不都是2個(gè)2個(gè)的圈，這次怎么要6個(gè)作為一份圈呢？

…………

引導(dǎo)小結(jié)：一份的量變了，它們之間的倍數(shù)關(guān)系也就變了。看來，我們在比較的時(shí)候，確定一份的量很重要。

片段分析：

抽象、推理、模型是基本的數(shù)學(xué)思想。數(shù)概念課是培養(yǎng)學(xué)生抽象思想的一種非常好的載體。本節(jié)課從蘋果和梨、蘋果和桔子具體的3倍、6倍的倍數(shù)關(guān)系，到誰里面有幾個(gè)幾，誰就是誰的幾倍，以及在活動中進(jìn)一步引發(fā)思考：為什么梨、蘋果都和桔子比，倍數(shù)也變了？（標(biāo)準(zhǔn)不同，倍數(shù)就不同。）這不僅讓學(xué)生更加深入理解倍的概念，也體現(xiàn)了從具體到一般的推理思想。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用完整的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，這正是在培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

六、關(guān)注知識本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定位有高度

【練習(xí)一：填一填】

課件出示：

練習(xí)一中呈現(xiàn)了綠、黃、藍(lán)3種點(diǎn)子圖，分四個(gè)層次完成，先讓學(xué)生們自己獨(dú)立完成，然后集體匯報(bào)，誰是誰的幾倍？然后教師追問，還能看到其他的倍數(shù)關(guān)系嗎？學(xué)生說出了藍(lán)色圓點(diǎn)個(gè)數(shù)是黃色圓點(diǎn)的2倍。最后教師追問，在完成的過程中你們?nèi)α藛幔繛槭裁床蝗Γ恳霎?dāng)一組一組呈現(xiàn)的時(shí)候不用圈，可以一眼看出來。

練習(xí)一片段分析：

這是一道基礎(chǔ)性練習(xí)題，綠色、藍(lán)色、黃色三種點(diǎn)子圖，在顏色區(qū)分與一組一組的呈現(xiàn)方式中，學(xué)生可以很直觀地看出三種量中存在的倍數(shù)關(guān)系，鞏固了本節(jié)課的重點(diǎn)知識。教師善于挖掘素材中存在的知識點(diǎn)，完整找出三種量的倍數(shù)關(guān)系，這樣的倍數(shù)關(guān)系顯性的有兩組，隱性的有一組。同時(shí)教師注重?cái)?shù)學(xué)方法的指導(dǎo)，一組一組地看，一組一組地引導(dǎo)。

【練習(xí)二：想一想】

課件出示：

這是一道比較開放的題，呈現(xiàn)的素材是4朵紫花6朵黃花，分三個(gè)層次教學(xué)：首先明確兩種花有關(guān)系嗎？學(xué)生受新知學(xué)習(xí)的影響，認(rèn)為沒有關(guān)系。教師繼續(xù)追問：兩個(gè)量一點(diǎn)關(guān)系都沒有嗎？引出：兩個(gè)量雖然沒有整數(shù)倍關(guān)系，但是它們有相差的關(guān)系，不能“結(jié)識了新朋友忘了老朋友”。最后教師追問：如果要是黃花的朵數(shù)是紫色的2倍，可以怎么辦？給了學(xué)生充分表達(dá)的機(jī)會：可以添上2朵黃花，也可以去掉1朵紫花，或是同時(shí)去掉2朵紫花和2朵黃花……這樣就使得原本不具備整數(shù)倍關(guān)系的兩個(gè)量變成有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)量。在改變標(biāo)準(zhǔn)量與比較量的過程中，不變的是倍的本質(zhì)屬性，一種量中有幾個(gè)另一種量，它就是另一個(gè)量的幾倍。

練習(xí)二片段分析：

這里的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，構(gòu)建了生本、師本、文本的和諧關(guān)系，打破學(xué)生的固化思維，體現(xiàn)了“溫故知新”“學(xué)而時(shí)習(xí)之”的理念。

【練習(xí)三：變魔術(shù)】

課件出示：

課件中呈現(xiàn)直觀的兩條絲帶，分四個(gè)層次教學(xué)：首先綠色絲帶的長度不變，不斷變化紅色絲帶的長度，使紅絲帶的長度是綠絲帶的1倍、2倍、3倍、4倍，在不斷的變化中，體現(xiàn)了一份量不變，變化比較量，倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化，突出了1份量的重要性；接著標(biāo)準(zhǔn)量（綠絲帶）增加一節(jié)，即1份量變化了，倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化；第三個(gè)層次是要使紅絲帶的長度是綠絲帶的3倍，怎么辦？（增加兩節(jié)紅絲帶。）這個(gè)時(shí)候1份量不變，變化比較量。在這三個(gè)層級的基礎(chǔ)上最后教師把這兩根絲帶不斷變細(xì)，變成線段圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間長度的倍數(shù)關(guān)系是不變的，突出了倍的本質(zhì)屬性，倍就是兩個(gè)量之間的一種關(guān)系。

練習(xí)三片段分析：

這樣的練習(xí)設(shè)置體現(xiàn)了層次性，從基礎(chǔ)練習(xí)到拓展性練習(xí)，層層遞進(jìn)，由概念的表象層向深層本質(zhì)挖掘；讓學(xué)生從這些實(shí)物中抽取共同的、本質(zhì)的特征，舍棄非本質(zhì)的特征，以加深學(xué)生對抽象的“倍”的認(rèn)識，從而對倍本質(zhì)屬性的認(rèn)識逐步加深。

總之，概念課教學(xué)是抽象的，枯燥的，教師要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體，和諧共進(jìn)，創(chuàng)造有溫度的課堂；有效地整合教材內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；重視學(xué)生的操作體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的建構(gòu)過程；關(guān)注多維目標(biāo)的落實(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓概念課教學(xué)的有效實(shí)施真正地落地生根。

編輯/魏繼軍