幾何體外接球半徑的幾種求法

張宇

幾何體的外接球是指一個(gè)幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的球體．幾何體外接球的半徑問題在各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)，側(cè)重于考查同學(xué)們的抽象思維能力、空間想象能力與運(yùn)算能力，通常難度較大．下面，結(jié)合例題探討一下求解幾何體外接球半徑的幾種方法，

一、補(bǔ)形法

若問題中給出的幾何體不規(guī)則，則可采用補(bǔ)形法，將空間幾何體補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的空間幾何體，如圓錐、正三棱柱、正三棱錐等，便可以根據(jù)新幾何體的性質(zhì)與特點(diǎn)，確定空間幾何體的中心位置，即球心的位置，然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式來求得幾何體外接球的半徑．

若已知三個(gè)平面兩兩互相垂直，我們就可以運(yùn)用補(bǔ)形法，將空間幾何體補(bǔ)為一個(gè)規(guī)則的、熟悉的長(zhǎng)方體，這樣便可以根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為其外接球的直徑，來建立關(guān)于半徑的關(guān)系式，運(yùn)用補(bǔ)形法解題較為簡(jiǎn)便，不僅能簡(jiǎn)化計(jì)算的過程，還能有效降低問題的難度，

二、定義法

球的半徑是指到球心的距離都相等的點(diǎn)的集合，那么外接球的球心到幾何體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，故求幾何體外接球半徑，實(shí)質(zhì)上就是要確定外接球球心的位置，即在空間中找到幾何體上的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)，求出該距離，即可解題，

根據(jù)題意難以確定正三棱錐P-ABC外接球的球心位置，于是采用定義法，根據(jù)球的半徑的定義，找到正三棱錐P-ABC上的部分頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)的……