解答圓錐曲線中點弦問題的三種途徑

廖芳婷

與圓錐曲線的弦及其中點有關的問題稱之為圓錐曲線中點弦問題．中點弦問題在解析幾何試題中比較常見，側重于考查圓錐曲線與直線的位置關系、弦長公式、中點坐標公式、直線的斜率以及韋達定理，下面談一談解答圓錐曲線中點弦問題的三種途徑．

當遇到中點弦問題時，應很快聯(lián)想到韋達定理，將圓錐曲線的方程和直線的方程聯(lián)立起來，構造一元二次方程，建立方程兩根之間的關系式，這是解題的關鍵．

二、采用點差法

點差法是解答中點弦問題的常用方法．運用點差法解題，要先設出或明確圓錐曲線的方程、弦的兩個端點的坐標、弦的中點坐標；然后將弦的兩個端點的坐標代人圓錐曲線的方程中，并將兩式作差；再根據中點坐標公式和直線的斜率公式進行求解．

運用點差法解題，可以達到設而不求的效果，大大減少計算量．但點差法的適用范圍比較窄，只有在已知直線的方程、圓錐曲線的方程、弦中點的坐標三者中的兩者時，才可運用此方法求解．

三、運用導數法

借助導數法來求解圓錐曲線中點弦問題，需要先對圓錐曲線的方程進行求導，得到曲線在某點處的切線的斜率，就能將其看作中點弦的斜率，再根據中點坐標公式求解，

本題運用導數法求解十分簡單、便捷，但需明確曲線的切線的斜率與曲線在某點處的導數之間的關系，據此建立關系式，即可快速解題，

總之，在求解圓錐曲線中點弦問題時，同……