“逆運算”的內(nèi)涵解析及其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

摘要 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確提出：“減（除）法是加（乘）法的逆運算”，為何不提“加（乘）法是減（除）法的逆運算”或者“加減、乘除互為逆運算”呢？對逆運算、互為逆運算有三種解釋：映射視角、函數(shù)視角以及單位元視角，不同視角的解釋會帶來不同答案。小學(xué)階段在具體情境中可以說“加減、乘除互為逆運算”，不應(yīng)拘泥于映射視角的解釋，并以“減法是加法的逆運算”為例提出了它的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。

關(guān)? 鍵? 詞 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》 四則運算 逆運算 內(nèi)涵解析 表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

引用格式 劉加霞.“逆運算”的內(nèi)涵解析及其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)[J].教學(xué)與管理，2022（32）：31-33.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》明確指出：數(shù)與代數(shù)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，在小學(xué)階段包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。強調(diào)“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。”[1]該內(nèi)容要求與以往數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)相比發(fā)生很大變化。簡言之，特別強調(diào)數(shù)概念、數(shù)的運算的一致性，特別強調(diào)整體地把握運算之間的關(guān)系。例如，《2022年版課標(biāo)》中多次（共計10次提及“逆運算”，其中2次提到“乘方與開方互為逆運算”，其他8次關(guān)涉四則運算）強調(diào)“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”。而以往數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“四則運算”都沒有明確提及“逆運算”這個術(shù)語。如此強調(diào)“逆運算”顯然是凸顯“運算之間的關(guān)系”，即從“整體上”理解運算。但是關(guān)于四則運算均不談“互為逆運算”，而乘方與開方談“互為逆運算”，為何呢？

一、“逆運算”與“互為逆運算”帶來的“麻煩”

《2022年版課標(biāo)》中非常謹慎地、只是明確地提出“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”。很自然地，有老師會問為何不提出“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”呢？甚至再追問“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”是正確的還是錯誤的？后兩者在《2022年版課標(biāo)》中沒有提及，我們知道這是編寫者“小心翼翼”選擇的結(jié)果。因為“嚴格地說”，后面兩種觀點是“不正確的”或者是“不妥的”。那么，既然要“嚴格、謹慎地”對待“逆運算”，有教師馬上就提出，在第四學(xué)段的“內(nèi)容要求”與“學(xué)業(yè)要求”中明確寫著“了解乘方與開方互為逆運算”“知道乘方與開方互為逆運算”。既然可以說“乘方與開方互為逆運算”，那為何不能說“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)教材以及實際教學(xué)中，是否要明確提出“逆運算”這個術(shù)語，是否要明確提出“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”這兩個事實？如果明確地提出來了，學(xué)生通過“類比推理”得出“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”到底算正確還是錯誤？

從“學(xué)理”上教師可以解釋說明“加與減、乘與除互為逆運算”是不正確的，但這些解釋不可能“講給”小學(xué)生聽。實際教學(xué)中，總有一些特別愛思考的學(xué)生非要追問“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”到底“對不對”時，一線教師該怎樣回答呢？專家可能會說“模糊處理”，只要學(xué)生“知道減法是加法逆運算、除法是乘法逆運算”就行。但是，不是一直倡導(dǎo)要讓學(xué)生“學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題（猜想）了，總要知道它“正確與否”吧。既不能判斷它正確與否、更不能解釋“其所以然”，那么在教學(xué)實踐中到底該如何處理呢？教師日常教學(xué)中如果說它們“互為逆運算”難道算“科學(xué)性錯誤”？

還有另一個“麻煩”，《2022年版課標(biāo)》的第一學(xué)段“數(shù)與運算”的“學(xué)業(yè)要求”有“知道減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算[2]”，既然是“學(xué)業(yè)要求”，學(xué)段結(jié)束后學(xué)生就必須達到該要求。但是，判定是否達到學(xué)業(yè)要求的“標(biāo)準(zhǔn)”是什么？即如何判斷學(xué)生是否“知道”呢？學(xué)生能夠完成哪些任務(wù)或解決哪些問題就表明學(xué)生已經(jīng)“知道”這些結(jié)論（命題）？這又涉及到“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)問題。作為綱領(lǐng)性文件的課程標(biāo)準(zhǔn)不可能將每一個“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)都“描述出來”，需要教材編寫者、一線教師與專家學(xué)者共同來研究。

二、“逆運算”與“互為逆運算”的含義

有很多人認為“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”是不正確的，也認為減法、除法“不存在逆運算”，有人甚至認為也不能說“乘方與開方互為逆運算”[3]。為何《2022年版課標(biāo)》在小學(xué)階段“小心翼翼”地提加法與乘法的逆運算，但不提“互為逆運算”，而到了初中階段卻“直截了當(dāng)”地寫上“乘方與開方互為逆運算”呢？難道小學(xué)階段要“嚴謹”而中學(xué)階段卻可以“模糊”“不糾纏”互為逆運算的內(nèi)涵？

判斷前述命題是否正確的前提是“什么是運算以及逆運算、什么是互為逆運算”。前面提及的研究者基本都是按照1986年6月新疆青少年出版社出版的由鐵鵬主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)詞典》中對逆運算的定義：設(shè)某一集合內(nèi)定義了一種運算*，且對其中的元素a、b、c有a*b=c，則把已知a、c求b或已知b、c求a的過程叫做*的逆運算。由這個定義（稱之為映射定義）可以知道，如果*是加（乘）法運算，則前述兩個過程都是減（除）法，所以減（除）法是加（乘）法的逆運算。但是，如果*是減（除）法，則前述兩個過程中雖然有b+c=a（b×c=a），但是還有a+c≠b（a×c≠b）的存在，所以“加（乘）法不是減（除）法的逆運算”，即不能說“加減法互為逆運算，乘除法互為逆運算”。當(dāng)*是“乘方”時，乘方的逆運算是開方運算與對數(shù)運算，即乘方存在兩種逆運算，所以說“乘方與開方互為逆運算”不正確。

“乘方與開方互為逆運算”真的不正確嗎？不是，論述之不正確是按照前述逆運算的映射定義推理得到的。但是，從函數(shù)及其反函數(shù)的角度看，“乘方與開方互為逆運算”是正確的。從函數(shù)角度（稱之為函數(shù)定義）看，兩種運算互為逆運算就是指一個函數(shù)存在反函數(shù)，二者“互反”，當(dāng)然其前提是“函數(shù)存在反函數(shù)”且是指一元函數(shù)，有的函數(shù)不存在反函數(shù)在此不論及。例如，當(dāng)*是乘方運算時，前面的映射（即乘方運算）就是ab=c，這是一個二元函數(shù)（涉及三個變量），為了將其變?yōu)橐辉瘮?shù)，需要將a或b看作常數(shù)：當(dāng)將b看作常數(shù)，就是冪函數(shù)y=xb（乘方運算），它的反函數(shù)是y=b=（開方運算）；反過來也成立，所以可以說“乘方與開方互為反函數(shù)”，也可以說“乘方與開方互為逆運算”。當(dāng)將a看作常數(shù)，就是指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1），它的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）；反之，對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以“指數(shù)運算與對數(shù)運算互為逆運算”也是正確的。

當(dāng)*是減法、除法運算時，如果把減數(shù)、除數(shù)當(dāng)作常數(shù)，則x-b=y或x÷b=y存在反函數(shù)，分別是y=x+b或者y=b×x，此時，可以說加（乘）法是減（除）法的逆運算。但是，當(dāng)被減數(shù)、被除數(shù)是常數(shù)時，而a-x=y或a÷x=y的反函數(shù)是它自身，此時不能說“加（乘）法是減（除）法的逆運算”。所以，一般不說“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”，由第一種情況可知，“加（乘）法是減（除）法的逆運算”不能算錯誤。

在小學(xué)階段可以再換一個角度（稱之為單位元定義）來看互逆運算：對某個運算對象A進行*運算，然后再進行**運算（或者先進行**運算，再進行*運算），如果所得到的結(jié)果仍然是A，則稱*與**互為逆運算。例如，因為有：A+b-b=A、A-b+b=A，則稱加法減法互為逆運算也解釋得通，其直觀表現(xiàn)就是“向右走5步，再向左走5步，一定回到了原點”。同理，乘法除法也可以稱作“互為逆運算”，其直觀表現(xiàn)就是“把一段繩子先放大5倍，再縮小到它的，繩子長短沒變”。小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中教師們不要去糾結(jié)“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”是否正確、是否能說，在具體情境中“說了”不算錯誤。例如，經(jīng)典的“一圖四式”都有助于學(xué)生認識到加法和減法運算的互逆關(guān)系[4]。

此外，隨著數(shù)系的擴充只剩下兩種運算：加法、乘法。例如，從自然數(shù)集合擴充到整數(shù)集，減法也是加法，即“減去一個數(shù)等于加這個數(shù)的相反數(shù)”，再擴充到有理數(shù)集，除法也是乘法，即“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。既然數(shù)系擴充后，只剩加法、乘法兩種運算，再強調(diào)“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”意義不大。在群論中，單位元以及逆元的價值更大，即單位元定義更有價值。

由上述論證看出，什么是“逆運算”可以從不同角度定義和解釋。所以，強烈建議：在小學(xué)第一學(xué)段的教材中不要明確寫出“逆運算”“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”等術(shù)語和事實性結(jié)論，否則將引發(fā)太多的“解釋不清”、太多的“麻煩”。但是，在第一學(xué)段如何讓學(xué)生直觀地感知“減法是加法的逆運算（學(xué)生提出‘加法是減法的逆運算不能算錯誤）”呢？如何判斷學(xué)生是否“知道減法是加法的逆運算”而不糾纏前述跟學(xué)生“說不清、道不明”的命題？這就涉及表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)問題，即第一學(xué)段的該項學(xué)業(yè)要求要滲透在理解加減法運算意義及其問題解決中。

三、“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)亟待厘清

《2022年版課標(biāo)》中明確提出了“學(xué)業(yè)要求”“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”這一“創(chuàng)新點”，“學(xué)業(yè)要求主要明確學(xué)段結(jié)束時學(xué)習(xí)內(nèi)容與相關(guān)核心素養(yǎng)所要達到的程度[5]”。如何判斷學(xué)生是否達到了“學(xué)業(yè)要求”呢？學(xué)生有哪些“行為表現(xiàn)”就說明他達到了“知道減法是加法的逆運算”的學(xué)業(yè)要求呢？即這個學(xué)業(yè)要求的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？如果沒有表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，教材編寫者如何編寫教材？一線教師如何有效實施教學(xué)以達到“學(xué)業(yè)要求”呢？如果表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)不明確、不具備可操作性，教材編寫者的理解、一線教師的理解都與《2022年版課標(biāo)》的要求“不一致”，如何落實新課標(biāo)呢？由此可見，“學(xué)業(yè)要求”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)亟待厘清。

下面以“知道減法是加法的逆運算”為例闡述其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)下各版小學(xué)數(shù)學(xué)教材都將加減法、乘除法分別編寫在同一冊教材中，讓學(xué)生在“比較”中學(xué)習(xí)加減法各自能解決的實際問題，利用實際問題情境感悟兩種運算的互逆關(guān)系。學(xué)生能解決哪些問題或有哪些行為表現(xiàn)即能表明學(xué)生“知道減法是加法的逆運算”？筆者認為其表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)主要包括以下幾方面。

1.能夠正確完成如圖1所示的問題

2.能夠正確填寫□-5=7中的數(shù)，且學(xué)生思考過程是“因為5+7=12，所以填寫12”。或者能夠完成圖2所示的內(nèi)容。

可以看出，圖1、圖2的問題都在強調(diào)“加減法互為逆運算”。

3.借助“左右跳”游戲活動，只要“左右跳”的步數(shù)相同，一定可以“跳回原點”。當(dāng)然，能夠在數(shù)線上“表達”前述“活動過程”更可以表明學(xué)生“知道減法是加法的逆運算”。

4.能夠解決“逆向加法”問題。例如，飛機場停放著9架飛機，飛走了3架，問飛機場原來有多少架飛機。其思考過程是：多少架飛機減去3架等于9架？用“9+3=？”解決。

5.利用加減法的互逆關(guān)系正確計算出結(jié)果。例如，計算71-69=？有學(xué)生通過“69+2=71”得到“71-69=2”。

此外，脫式計算、利用等式性質(zhì)解決問題等等都蘊含著加減法、乘除法為“互逆運算”。作為“基本事實”，它們無處不在。

參考文獻

[1][2][5] 中華人們共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：18，19，17.

[3] 蘭昌雄.談?wù)劵槟孢\算[J].四川教育學(xué)院學(xué)報，2001（05）：64.

[4] 蔡金法，江春蓮，聶必凱.我國小學(xué)課程中代數(shù)概念的滲透、引入和發(fā)展：中美數(shù)學(xué)教材比較[J].課程·教材·教法，2013，33（06）：57-61+122.

［責(zé)任編輯：陳國慶］