基于卡爾曼濾波算法的精密數控加工方法

趙 銘 張 宇 賈志綱 馬清濤

（太原科技大學 機械工程學院，太原 030024）

精密加工和超精密加工是機械制造中的重要領域，對尖端技術和國防工業的發展具有重要影響。確保零件加工精度的方案有兩個方面：一種方案是靠機床自身的精度，制造超精密機床技術方面難度很大，且隨著精度不斷逼近極限，耗資越來越高，技術難度越來越大；另一種方案是誤差補償技術。

精密機床都裝有在線檢測系統，檢測機床運動部件的位移位置，并有精密反饋閉環控制系統，以保證加工的尺寸精度[1]。然而，加工過程的熱變形、切削液和削屑引起的震動、傳感器的安置以及傳感器的性能等，會導致在線檢測數據包含一定頻率的噪聲干擾信號，造成在線監測獲得的觀測值出現偏差而影響誤差補償，影響加工精度。

卡爾曼濾波算法是當前熱門的去噪聲算法，廣泛應用于導彈制導、無人駕駛以及機器人視覺定位等。分析精密機床自身加工誤差規律和機床在線監測系統觀測誤差的規律，通過卡爾曼濾波算法對在線檢測數值進行去噪處理，以獲得工件加工狀態的最優估計值，然后進行加工誤差補償。這種方法可以降低由于在線檢測系統誤差導致的加工誤差，提高精密機床的加工精度。

1 加工方法

基于卡爾曼濾波算法的精密數控加工方法流程，如圖1所示。針對當前檢測系統中存在的不確定性噪聲，采用卡爾曼濾波算法對所獲的檢測數據進行濾波處理，以獲得零件實際加工過程中加工狀態的最優估計值，隨后數控機床反饋調節，補償運動。

2 卡爾曼濾波算法模型構建

卡爾曼濾波（Kalman filtering）是利用線性動態系統狀態方程，結合觀測值和觀測系統狀態方程，計算獲得系統狀態最優估計值的算法[2]。由于存在不確定性精密數控加工過程，實際上是一個隨機過程，即在線觀測系統也存在不確定性，觀測值也可以看作是一個隨機過程。

一方面，研究精密數控機床的加工性能和在線檢測系統的性能。刀具定位的誤差噪聲的波動服從高斯分布，確定噪聲波動的方差，建立狀態轉移方程[3]；在線檢測系統獲得的觀測值與加工狀態的真實值也存在誤差噪聲，噪聲波動服從高斯分布，確定噪聲的方差，建立觀測方程。另一方面，根據工藝系統的狀態轉移方程和觀測方程的參數建立卡爾曼濾波算法模型，對觀測值進行降噪處理。

圖1 基于卡爾曼濾波算法的精密數控加工方法流程圖

2.1 建立工藝系統狀態轉移方程和觀測方程

建立精密數控加工過程的離散系統模型，如圖2所示。

反復檢測誤差出現的規律，分析其數值和方向，尋找規律，找出影響誤差的主要因素，確定誤差項目，并分析誤差的期望值和方差。加工誤差產生的原因一般包括原理誤差、裝夾誤差、工藝系統精度及刀具磨損等[4]。

根據加工過程刀具路徑和誤差規律建立工藝系統方程，其中Mk為工藝系統狀態向量，Hk、uk為狀態轉移矩陣，于是建立k-1時刻到k時刻的加工狀態轉移過程方程：

工藝系統噪聲服從高斯分布：

分析在線觀測系統的誤差，找出其規律，在線觀測系統的期望值和方差。檢測值誤差產生的原因一般包括加工過程的熱變形、切削液和削屑引起的震動、傳感器的安置以及傳感器的性能。建立觀測方程，Ak為在線檢測系統獲得的觀測向量：

觀測噪聲vk服從高斯分布vk~N(0,Q)。

2.2 卡爾曼濾波算法對在線觀測系統的觀測值去噪處理

根據離散系統的參數，建立卡爾曼濾波算法模型，如圖3所示。

對誤差信號，應用卡爾曼濾波算法進行去噪聲處理，獲得加工狀態的最優估計值。

通過卡爾曼濾波算法獲得加工狀態的最優估計值需要5步[5]。

（1）通過k-1時刻加工狀態向量及系統方程計算k時刻工藝狀態向量的預測值：

（2）協方差預測值：

圖2 離散系統模型

圖3 卡爾曼濾波算法計算加工狀態最優估計值模型

（3）卡爾曼增益：

（4）k時刻觀測系統降低噪聲后加工狀態向量的最優估計值：

（5）k時刻協方差的最優估計值，用于下一個時刻計算：

閉環系統根據去噪后的觀測向量也就是卡爾曼濾波算法的最優估計值作補償運動。

3 仿真實驗與結論

本文以直線度為衡量標準，精密加工直線度小于0.1 μm。為了驗證通過卡爾曼濾波算法降噪后的檢測值精度優于傳統精密數控機床在線檢測系統的檢測值的精度，利用Matlab對這一問題進行仿真實驗。

3.1 仿真實驗

首先，建立離散系統方程。利用Matlab的隨機數函數模擬未作補償運動前的真實狀態。加工狀態波動k-1時刻和k時刻的關系為R(k)=R(k-1)+u，設置u~N(0,m)，m=0.000 9，R(0)=0，生成50個加工狀態真實值。

其次，觀測系統的觀測值G(k)=R(k)+v，設置v~N(0,n)，n=0.000 4，在加工狀態真實值的基礎上生成50個觀測值。

最后，設P(k)為卡爾曼濾波算法最優估計值，L(k)為協方差最優估計值，將卡爾曼濾波算法模型5個步驟簡化為2個步驟：

設置P(1)=1，L(1)=0，k=1,2, ,50，應用Matlab編程進行遞推運算獲得加工狀態的真實值，在線觀測系統獲得加工狀態觀測值，卡爾曼濾波算法計算獲得加工狀態最優估計值。

3.2 仿真結果與結論

通過仿真實驗獲得50個真實值(A1,A2, ,A50)，在線檢測系統獲得的50個測量值(B1,B2, ,B50)，50個卡爾曼（Kalman）濾波算法最優估計值(C1,C2, ,C50)，一次仿真結果如圖4所示。

圖4 基于卡爾曼濾波算法的精密數控加工仿真結果

檢測裝置的精度可以通過檢測噪聲的方差體現。檢測噪聲方差越小，檢測裝置的精度越高。下面計算卡爾曼濾波最優估計值的噪聲方差D(G)和檢測值的噪聲方差D(L)進行對比，分別為：

同樣方法仿真5次，卡爾曼濾波最優估計值噪聲與測量值噪聲對比如表1所示。

表1 卡爾曼濾波最優估計值噪聲與測量值噪聲對比

4 結語

由仿真實驗可以看出，通過卡爾曼濾波算法對機床在線檢測獲得的檢測數據進行去噪處理，卡爾曼最優估計值的噪聲方差明顯低于觀測值的噪聲方差。可見，通過卡爾曼濾波算法明顯提高了在線檢測系統的精度，提升了數控機床的加工精度。