基于數學推理的情境教學策略

郭力丹

數學是一門嚴謹性與邏輯性都很強的學科，數學知識內部存在著千絲萬縷的關系，環環相扣、逐層推進。數學推理能力作為小學數學核心素養的重要內容，是解決問題的基本技能之一，更是學生今后學習和生活中所需要的重要的數學素養。因此，小學數學教師應關注學生推理能力的培育，并立足于學生的思維實際與教學內容的實際在課堂教學中給予滲透落實。筆者以為，可以通過多元的情境創設，助推數學抽象能力的提升。

一、創設認知沖突的情境，激發數學推理意識

心理學研究表明，學生思考的積極性和主動性往往來自于讓他們能產生強烈認知沖突的情境。因此，教師要及時讀懂學生在課堂中的思維困惑，根據教學內容的特點，巧妙地用問題來導引、點燃學生的思考。問題情境應能促使學生“觸景生思”，將其置于一種“思而不達”的境遇，激發學生的數學推理意識。

例如，在教學“三角形內角和”時，筆者先是讓學生用自己喜歡的方法自主探索各自手中的三角形三個內角的總度數。用量角器量并計算出三個內角的和后，有的學生匯報三角形的內角和是178°，有的學生匯報是181°，有的學生匯報是180°……當學生的答案不一致時，其思維處于一種強烈的認知沖突之境，產生了“三角形內角和是不是都約等于180°”這樣的疑問。于是，筆者相機追問：“三角形內角和到底是約為180°，還是等于180°？”學生的認知沖突被提升到了一個新的高度，急切想探個究竟。于是，有的學生興奮地發現：“三角形的內角和就是180°。”筆者讓這位學生有條有理地說說理由，只見學生是這樣推理的：“將這個三角形的三個角‘折’在一起（邊說邊動手折），就拼成了平角，因為平角是180°，所以這個三角形的內角和就是180°。”筆者故意不及時評價，環顧四周，讓其他學生來評價。接著，學生紛紛按這個方法動手操作驗證，并將推理簡述成“三個角拼成一個平角，平角是180°，所以三角形的內角和是180°”。這時，又有一學生驚訝地發現：“老師，我不用折，而是把三個角都撕下再‘拼’，也得出了一個平角，也得出三角形內角和是180°。”還有一個學生發現：“我不用折，也不用拼，而是用畫的方法，看！隨便拿一個內角和是360°的四邊形沿對角一畫，這樣每個三角形內角和是180°。”正是讓學生思維處于一種認知沖突的困擾之中，有效地點燃了他們思維的火花，學生自主地找到打開“困惑”的鑰匙，學會用“因為……所以……”進行推理，數學推理在“潤物細無聲”中得以激發并培育。

二、搭建思辨說理的情境，掌握數學推理方法

對于還是以直觀形象思維為主的小學生來說，在數學推理的過程中，為保證其思維過程的清晰，應給他們搭建充分的思辨說理的情境，讓學生通過相互間的討論來支撐自己的想法，在討論之中檢驗其正確性，找到最為簡便、有條理的推理方法。

例如，在教學“大數的認識”后，教師編排了一節綜合實踐活動課。課始，教師提出了這樣的問題：“1億張紙摞在一起會有多高？”有部分學生并沒有養成嚴謹的數學推理的習慣，而是隨意猜測說出“15 米”“20米”“100米”等答案，這些答案顯然毫無理由與根據。這時，教師可以繼續引導：“1億張紙摞在一起會有多高，這不是在猜謎語，而應該用數學方法有理有據地進行推理，你能想到什么方法？”有學生馬上質疑，表示：“老師，我們沒有1億那么多紙張來摞”“就算有1億張紙張，摞起來也要好長時間呢”等。正當學生處于一種悱憤的思維狀態之時，教師引導學生以小組的形式一起討論如何解決問題。有位小組代表這樣說：“我們小組認為不用拿1億張紙張，只需要用100張紙摞在一起量出是多高，就可以推理出1億張紙的高度了。”話音剛落，教室里掌聲四起。學生動手量出了100張紙的高度是1厘米之后，教師讓學生試著推理出“1億張紙的高度”。這時，學生能有理有據地進行這樣的推理：“100張是1厘米，1000張就是1分米，10000張就是1米，而1億里有10000個10000，所以1億張紙就是10000米，也可以說是10千米。”這樣的教學，將學生的思維置于一種思辨說理的輕松、和諧的課堂氛圍中，讓學生實現從“隨意猜測”到“有條理推理”的提升，找到合理的推理方法，推理得出了 “1億張紙摞在一起有10千米高”的正確結論，促使學生的數學推理能力得以發展。

三、設置靈活變式的情境，鍛煉學生推理能力

數學推理能力的培養重在讓學生能有理有據地按一定的方法、程序進行推理。教師要關注課堂教學素材的豐富性，讓學生能真正建構概念，為數學推理儲備扎實的理論支撐;還要關注課堂練習設計的變式，讓學生的數學推理能力能得以鍛煉。教師可充分利用變式，多呈現一些靈活的題型，讓學生能感知多種解決問題的背景、適用條件和可能，從而不斷鍛煉學生的推理能力。

例如，在教學完“圓的面積”后，幾乎全部學生都能掌握圓的面積公式“S圓=πr2”，并能正確使用這個公式解決有關于圓的面積的一些實際問題。然而，大多的練習只是停留于提供圓的半徑、直徑或是周長，讓學生通過先求出圓的半徑再運用公式進行解決。長期進行這樣的練習，學生只是停留于低階思維層面上的推理，這不但會讓學生形成不良的思維定式（即要算圓的面積必須得先算出半徑，把半徑當作是求圓的面積的必要條件），而且不能很好地鍛煉學生的數學推理能力。基于這樣的認知，筆者以為，可以進行如圖1這樣的變式設計，即“已知正方形的面積是4平方分米，求圓的面積”，促使學生調用已有的知識經驗來解決。學生發現：要求圓的面積得先求出半徑，然而半徑就是正方形的邊長，從而再推理要先算正方形的邊長，需要對4平方分米進行開平方，這顯然已經超出了學生的經驗。這樣，學生就不得不絞盡腦汁另辟路徑。將學生的思維設置到一種“變式場域”中，激發學生不斷地尋找解決問題的路徑，從而促使學生推理發現：正方形的邊長就是圓的半徑，而因為S正=r2=4（平方分米），所以可以直接將r2=4代入到圓的面積公式，得出了S圓=πr2=3.14×4=12.56（平方分米）。至此，學生能進行靈活地推理，能換個角度推算出圓的面積。長期進行這樣的練習，可以很好地發展學生的數學推理能力。

總而言之，數學是一門鍛煉學生思維的學科，若要促使學生從直觀形象思維走向抽象邏輯思維，應當從培養推理能力開始。小學階段是培養學生推理能力重要時期，教師要善于創設各種情境，引導學生進行數學推理，從而培養學生數學核心素養。

（作者單位：福建省福州市鼓樓第二中心小學）