數(shù)學探究活動，讓學習真正發(fā)生

◎徐華峰

(山東省青島第十七中學，山東 青島 266000)

數(shù)學以“鋼鐵般的邏輯”著稱，數(shù)學學習在幫助學生形成理性思維、科學精神方面具有不可取代的重要作用，在促進學生的智力發(fā)展方面也是舉足輕重.數(shù)學的邏輯之美、思辨之美、靈活的應用、巧妙的解答……令人沉醉.喜愛數(shù)學的人無不感嘆“數(shù)學是世界上最美的詩篇”.

怎樣讓學生領略數(shù)學之美,提升數(shù)學素養(yǎng)呢? 裴斯泰洛齊認為,思想應該通過思維活動而產(chǎn)生.贊可夫曾經(jīng)說過，教學法一旦觸及學生的情意領域和精神需要，這種教學法就能發(fā)揮高度有效的作用.數(shù)學探究活動可以使學生獲得快樂感、成就感，使學習真正發(fā)生.

一、數(shù)學探究活動的特征

相對于其他教學模式，探究性的數(shù)學活動具有自身鮮明的特征.具體來講，數(shù)學探究活動的特征主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

第一，指導性.指導性是使探究活動得以順利完成的重要前提.尤其是在數(shù)學課程中，部分知識具有一定的抽象性，對于學生來說具有一定的難度，所以更加離不開教師的恰當指導.同時，教師在數(shù)學課堂中承擔著指導者的角色.從實際的教學效果來看，盲目的自由探究并不能使學生獲得良好的探究效果，而“填鴨式”的指導同樣難以發(fā)揮數(shù)學探究活動的真正作用.因此，教師需要準確把握學生的認知特點，并根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”對學生進行恰當?shù)囊龑?，這樣才可以使學生的探究過程更加有的放矢.

第二，問題性.“數(shù)學問題”是數(shù)學的心臟，這一教育理念說明在整個數(shù)學探究活動中，教師教要以學生對問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決為線索，同時，問題情境的創(chuàng)設要能夠在一定程度上激發(fā)學生的學習積極性.而學習熱情作為學生參與學習活動的重要驅動力，會對學生的探究質量產(chǎn)生直接影響.

第三，建構性.開展數(shù)學探究活動最主要的目的就是使學生在自身已有知識的基礎上，通過教師的適當引導，從而實現(xiàn)新知識結構的建立，即在客觀環(huán)境因素的相互影響下進行新知識的建構.從認知發(fā)展規(guī)律來看，學生的知識建構能力往往存在一定的差異，好奇心的強弱也會不同，所以在探究活動的組織過程中，教師也需要尊重學生的差異，這樣會更加有利于促進學生知識建構能力的發(fā)展.

第四，自主性.探究活動可以視為一種知識建構的過程，這一過程需要充分發(fā)揮學生的能動性.基于自主性原則，教師應該調(diào)整“灌輸式”教學模式，將學習活動的主動權交給學生，以此來使學生自主進行發(fā)現(xiàn)問題、提出假設、設計探究、交流合作等活動，并通過這一探究過程拓展學生在探究活動中的參與深度.從長遠來看，自主性探究活動有利于鞏固學生的主體地位，從而促進學生學習能力的發(fā)展.

第五，創(chuàng)新性.在傳統(tǒng)的教學模式中，教師是知識的傳授者，而學生則是接受者的角色，整個過程都沒有太多探究內(nèi)容的呈現(xiàn).毋庸置疑，這種按部就班的教學不利于學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).而探究活動的開展不但可以幫助學生建構基礎知識，而且能夠使學生在探究活動中進行知識的再創(chuàng)造，從而促進學生思維的發(fā)生.同時，問題的解決能體現(xiàn)學生的探究精神，引導學生展示自己獨特的思維能力，從而促進學生創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的發(fā)展.需要指出的是，探究活動中的創(chuàng)新性不僅體現(xiàn)在形式上，還體現(xiàn)在內(nèi)容上.

二、重視概念教學，多角度、多方面探究數(shù)學概念本質

邏輯推理是一種思維品質、一種素養(yǎng)，這種思維品質的形成需要借助“推理”這一邏輯形式.邏輯推理有三個關鍵要素：邏輯的起點、推理的形式、結論的表達.而概念就是邏輯的起點之一，一些命題、定理也是邏輯的起點.一些學生不會進行邏輯推理，很大程度上是因為不理解概念，或者說沒有真正理解概念.

提升數(shù)學素養(yǎng)，需要重視學生對數(shù)學概念的學習，教師在日常教學中也要充分重視概念教學.不重視概念教學會導致學生難以找到邏輯的起點，解題時沒有思路.不少學生感覺老師講解之后很明白，但是看到一道新題還是無從下手.如何進行概念教學呢？

比如“奇函數(shù)”的概念教學，教師可從正向、逆向兩個角度，通過問題引導學生思考，達到對概念的真正理解.奇函數(shù)的概念：一般的，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).為了讓學生掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念，教師可設置如下7個問題.

問題1：找出奇函數(shù)概念的關鍵詞.(使學生正向理解概念)

問題2：f(x)=x3,x∈[-1,2]是奇函數(shù)嗎？(引導學生理解概念中“任意”一詞的含義)

問題3：若f(x)是奇函數(shù)，則其定義域需要滿足什么條件呢？(讓學生在理解的基礎上形成自己的推理)

問題5：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，求f(0).(逆向理解奇函數(shù)概念)

問題6：若f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=0一定成立嗎？(培養(yǎng)學生思維的嚴謹性)

問題7：若f(x)=x2,x∈[b-1,b+3]是偶函數(shù)，你能求b的值嗎？(逆向理解偶函數(shù)概念)

其實大多數(shù)數(shù)學概念的正向使用都是一個判定，逆向使用就是一條性質.簡潔是數(shù)學的一大特點，概念中的每一個字、每一個詞教師都要充分重視，并且?guī)椭鷮W生理解.

三、重視概念教學，揭示概念發(fā)生的背景、過程和本質，揭示人們探索真理的過程

比如導數(shù)概念的教學，導數(shù)是一個非常抽象的概念，教師通過再現(xiàn)數(shù)學史上導數(shù)的發(fā)展歷程，并且與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，將抽象概念具體化，設置以下三個環(huán)節(jié)，可幫助學生理解“導數(shù)”這一概念.

1.環(huán)節(jié)一：實際問題引入，從學生已有的認知出發(fā)，引導學生在原有知識基礎之上生成新的知識.

首先以一段運動員在奧運會上高臺跳水的視頻引入，提出問題：運動員在高臺跳水的時候，他相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

問題1:當0≤t≤0.5時，求運動員在這段時間里的平均速度.

計算得知，這段時間的平均速度為0，故思考下面的問題3.

問題3：運動員在這段時間里是靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

讓學生體會新知的生成源于實際生產(chǎn)生活的需要.平均速度不能滿足人們的需要，人們需要對運動狀態(tài)進行更精確的研究，故“瞬時速度”向我們走來.

問題4：你能求出運動員起跳2秒后，即t=2時的瞬時速度嗎？或者你能估計t=2時的瞬時速度嗎？

有學生提出自己的想法，可以讓時間間隔很小，比如2≤t≤2.000001，那么在這一段時間內(nèi)的平均速度可近似表示t=2時的瞬時速度.

“偉大的想法！牛頓當年就是這么想的.”教師對學生的合理想法給予充分的肯定.

2.環(huán)節(jié)二：介紹牛頓當年提出導數(shù)、創(chuàng)建微積分的過程，給出導數(shù)的概念.

Δt<0時，在[2+Δt,2]這段時間內(nèi)，

Δt>0時，在[2，2+Δt]這段時間內(nèi)，

問題5：觀察上面表格，當時間改變量趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？

學生容易發(fā)現(xiàn)平均速度都趨近于一個確定的值-13.1，這個定值就是t=2時的瞬時速度.

給出導數(shù)的概念，導數(shù)就是“瞬時變化率”，它的物理意義是瞬時速度.這樣借助瞬時速度來理解導數(shù)，能將抽象的導數(shù)概念具體化.

3.環(huán)節(jié)三：介紹萊布尼茲當年提出導數(shù)、創(chuàng)建微積分的過程.

國際上公認由牛頓、萊布尼茲共同創(chuàng)建微積分.他倆在同一時期、從不同的角度研究，提出導數(shù)的概念.牛頓通過求瞬時速度進行研究，而萊布尼茲通過求切線的斜率，從幾何角度進行研究.

問題6：當點Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿著曲線趨近于點P(x0,f(x0))時，割線PPn的變化趨勢是什么？

以此引出“曲線在點P處的切線”的概念，并且通過割線的斜率得出曲線在某點處切線的斜率，從導數(shù)的幾何意義方面給出導數(shù)的概念.

四、創(chuàng)設情境，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”“再創(chuàng)造”的過程

荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾提出：數(shù)學教學方法的核心是“再創(chuàng)造”.他指出教師在數(shù)學教學中不是將公式、定理直接灌輸給學生，而是為學生創(chuàng)造合適的條件，讓學生根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數(shù)學知識，讓學生探索發(fā)現(xiàn)或“再創(chuàng)造”，從而完成數(shù)學知識的學習.當然，這種再創(chuàng)造不是當時歷史的完全再現(xiàn)，而是假設我們的祖先已經(jīng)具有學生現(xiàn)在所具備的知識，在此基礎上進行再創(chuàng)造.

在重新創(chuàng)造數(shù)學知識的過程中，弗賴登塔爾強調(diào)個性，即讓學生根據(jù)自己的獨特體驗，用自己的思維方式進行創(chuàng)造.不同的學生具有不同的“數(shù)學現(xiàn)實”，于是他們會達到不同的學習水平.整個數(shù)學學習過程都要讓學生主動參與，全程進行“再創(chuàng)造”，教師為學生提供廣闊的天地，讓不同的思維、不同的方法自由發(fā)展.只有學生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學理解力時才能真正懂得數(shù)學，學好數(shù)學.學習數(shù)學需要學生的切身感受、體驗、思考的過程.老師要想方設法創(chuàng)設情境，讓學生用內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造的方法來學習數(shù)學，經(jīng)歷“數(shù)學化”“再創(chuàng)造”的活動過程.

例如，教師可以創(chuàng)設情境，讓學生“發(fā)現(xiàn)”并應用同角三角函數(shù)基本關系式.

提出問題：前面我們研究了任意角的三角函數(shù)的定義，它是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質出發(fā)，研究一下同一個角的不同三角函數(shù)值之間有怎樣的關系嗎？

應用同角三角函數(shù)基本關系式求值時，教師可通過設置下面的問題情境引導學生逐步探索，尋求解決方法.

問題4：已知tanα=2，α是第三象限角，求sinα,cosα的值.

問題5：已知tanα=2，求sinα,cosα的值.

由特殊到一般，學生通過對特殊問題的研究，歸納、總結出新知.求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，有時區(qū)間含有參數(shù)，有時二次函數(shù)中含有參數(shù)，這樣都需要分類討論，有時討論還比較復雜.那么，如何解決這類問題呢？教師可以通過設置如下問題串，引導學生自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、邏輯推理.

問題1：求函數(shù)y=x2-2x+3的最值.

問題2：求函數(shù)y=x2-2x+3，x∈[-1,2]的最值.

問題3：當自變量x在下列范圍取值時，分別求函數(shù)y=x2-2x+3的最值.

①x∈[-1,0];②x∈[-1,3];③x∈[-1,4]；④x∈[2,4].

思考1：(1)a>0時，當自變量x在某個閉區(qū)間內(nèi)取值時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值一定在對稱軸時取得嗎？

(2)在(1)的條件下，二次函數(shù)y的最大值何時取得？

問題4：求函數(shù)y=-x2+4x-2，x∈[0,3]的最值.

思考2：當自變量在某個閉區(qū)間內(nèi)取值時，求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值需要考慮哪些方面？

問題5：當x∈[0,a]，討論函數(shù)y=x2-2x+3的最值.

該問題為“定軸動區(qū)間”，學生在前面歸納、思考的前提下，可以較好地解決.

問題6：已知函數(shù)y=-x2-ax+3，x∈[-3,3]，討論y的最值.

該問題為“定區(qū)間動軸”，換一個角度使學生加深理解.

思考3：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值，當區(qū)間或者函數(shù)含參數(shù)的時候，如何進行分類討論？

五、設置“問題串”，類比研究，引導學生探究

問題是數(shù)學的心臟，好的問題勝過透徹的講解.例如，函數(shù)中學生較難以理解的“恒成立問題”與“存在性問題”，一般情況下，可以轉化成最大值、最小值問題.教師可通過設置如下四個問題，使學生輕松解決這一問題.

“?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等價于“函數(shù)f(x)在D1上的值域A與函數(shù)g(x)在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠?”.

“對?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等價于“函數(shù)f(x)在D1上的值域A是函數(shù)g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B”.

問題3：已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，對任意的x1，x2∈[1,4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

“對?x1，x2∈D，有f(x1)≤g(x2)”，等價于“f(x)max≤g(x)min(這里假設f(x)max，g(x)min存在)”.

“對?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)”，等價于“f(x)min≥g(x)min(這里假設f(x)min，g(x)min存在)”.

六、結合內(nèi)容，拓展推廣，拓展探究深度

受多種因素的限制，數(shù)學教材在描述中存在一定的局限性.為了真正促進學生學習能力的發(fā)展，教師不能僅僅依靠教材引導學生學習，而是需要對重點進行深化，并以此為基礎組織學生進行更加深層次的探究活動.這樣不但可以強化學生對課內(nèi)知識與技能的理解和掌握，而且有利于鍛煉學生的思維，發(fā)展學生的探究能力.

以“等差數(shù)列前n項和”為例，教師針對公式推導可以進行如下設計.

問題1：數(shù)學家高斯在10歲的時候曾經(jīng)解過這樣一個問題：1+2+3+…+100，你們知道怎么解嗎？

問題2：如果將問題擴展到1+2+3+…+n呢？

問題3：n是奇數(shù)還是偶數(shù)會影響探究結果嗎？可以避免奇偶的討論嗎？

問題4：是否還有別的方法？

對于剛剛接觸數(shù)列知識的學生來說，等差數(shù)列前n項和與學生認知能力相差較遠，而利用比較弱化的問題1與問題2可以構建教學內(nèi)容與學生最近發(fā)展區(qū)的聯(lián)系，從而逐步拓展探究活動的深度.

數(shù)學學習是一種活動，這種活動類似于游泳、騎自行車，如果沒有親身體驗，只是看書本、聽講解、觀察他人的演示，付出再多也難以學會.數(shù)學學習需要學生親自參與、切身感受，在活動中收獲學習.

提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界，這是高中數(shù)學的重要學習目標.只有當學生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學理解力時，才能真正懂得數(shù)學，學好數(shù)學，學習才能真正發(fā)生.